第5節(jié) 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應(yīng)用1.了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義,能畫出y=Asin(x+)的圖象,了解參數(shù)A,對函數(shù)圖象變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.1.y=Asin(x+)的有關(guān)概念y=Asin(x+)(A>0,>0),xR振幅周期頻率相位初相AT=2f=1T=2x+2.用五點法畫y=Asin(x+)(A>0,>0,xR)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五個特征點如表所示:x0-2-32-2-x+02322y=Asin(x+)0A0-A03.函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A>0,>0)的圖象的兩種途徑1.先平移變換再周期變換(伸縮變換),平移的量是|個單位長度;先周期變換(伸縮變換)再平移變換,平移的量是|(>0)個單位長度.2.函數(shù)y=Asin(x+)的對稱軸由x+=k+2,kZ確定;對稱中心由x+=k,kZ確定其橫坐標(biāo).1.函數(shù)y=2sin(12x-3)的振幅、頻率和初相分別為(C)A.2,4,3B.2,14,3C.2,14,-3D.2,4,-3解析:由題意知A=2,f=1T=2=14,初相為-3.故選C.2.為了得到函數(shù)y=2sin(2x-3)的圖象,可以將函數(shù)y=2sin 2x的圖象(A)A.向右平移6個單位長度B.向右平移3個單位長度C.向左平移6個單位長度D.向左平移3個單位長度解析:因為y=2sin(2x-3)=2sin2(x-6).因此,為了得到函數(shù)y=2 sin(2x-3)的圖象,可將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向右平移6個單位長度.故選A.3.把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小為原來的12,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向右平移6個單位長度,則所得圖象對應(yīng)的解析式為(A)A.y=sin(2x-3)B.y=sin(2x-6)C.y=sin(x2-3)D.y=sin(x2-6)解析:把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的12,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin 2x的圖象,再把y=sin 2x的圖象向右平移6個單位長度,得到y(tǒng)=sin2(x-6)即y=sin(2x-3)的圖象.故選A.4.用五點法畫函數(shù)y=sin(x-6)在一個周期內(nèi)的圖象時,主要確定的五個點是、. 答案:(6,0)(23,1)(76,0)(53,-1)(136,0)5.某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn).如表所示是今年前四個月的統(tǒng)計情況.月份x1234收購價格y/(元/斤)6765選用一個正弦型函數(shù)來近似描述收購價格(單位:元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為 . 解析:設(shè)y=Asin(x+)+B(A>0,>0),由題意得A=1,B=6,T=4,因為T=2,所以=2,所以y=sin(2x+)+6.因為當(dāng)x=1時,y=6,所以6=sin(2+)+6,結(jié)合表中數(shù)據(jù)得2+=2k,kZ,可取=-2,所以y=sin(2x-2)+6.答案:y=sin(2x-2)+6(答案不唯一) 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換1.為了得到函數(shù)y=sin(2x+6)的圖象,可將函數(shù)y=sin 2x的圖象(B)A.向右平移12個單位長度B.向左平移12個單位長度C.向右平移6個單位長度D.向左平移6個單位長度解析:因為y=sin(2x+6)=sin2(x+12),因此,為了得到函數(shù)y=sin(2x+6)的圖象,可將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移12個單位長度.故選B.2.(多選題)將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象沿x軸向左平移8個單位長度后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則的值可能是(AB)A.-34B.4C.0D.-4解析:將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象沿x軸向左平移8個單位長度后,得到y(tǒng)=sin(2x+4+)的圖象,由于所得函數(shù)為一個偶函數(shù),則4+=k+2,kZ,=4+k,kZ,故當(dāng)k=0時,=4;當(dāng)k=-1時,=-34.故選AB.3.在函數(shù)y=sin(x+6)的圖象向右平移23個單位長度后與原圖象重合,則正數(shù)不可能是(A)A.2B.3C.6D.9解析:因為函數(shù)y=sin(x+6)的圖象向右平移23個單位長度后得y=sin(x-23)+6,所以當(dāng)=2時,y=sin2(x-23)+6sin(2x+6),當(dāng)=3時,y=sin3(x-23)+6=sin(3x+6),當(dāng)=6時,y=sin6(x-23)+6=sin(6x+6),當(dāng)=9時,y=sin9(x-23)+6=sin(9x+6).故選A.1.函數(shù)y=Asin(x+)的圖象可用“五點法”作簡圖得到,可通過變量代換z=x+計算五點坐標(biāo).2.由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象有兩條途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. 求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,|<2)的部分圖象如圖所示,若x1,x2(-6,3),且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=()A.12B.22C.32D.1(2)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)>0,|<2的部分圖象如圖所示,則y=f(x+6)取得最小值時x的集合為. 解析:(1)由題圖知,T2=2,即T=,則=2,所以f(x)=sin(2x+),因為點(3,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以sin(2×3+)=0,即23+=2k+,kZ,所以=2k+3,kZ,又|<2,所以=3,所以f(x)=sin(2x+3),因為x1,x2(-6,3),且f(x1)=f(x2),所以x1+x22=12,所以x1+x2=6,所以f(x1+x2)=sin(2×6+3)=32.故選C.(2)根據(jù)所給圖象,可得周期T=4×(712-3)=,故=2,所以=2,因此f(x)=sin(2x+),另外圖象經(jīng)過點(712,0),代入有2×712+=+2k(kZ),再由|<2,得=-6,所以f(x)=sin(2x-6),所以f(x+6)=sin(2x+6),當(dāng)2x+6=-2+2k(kZ),即x=-3+k(kZ)時,y=f(x+6)取得最小值.此時x的集合為x|x=k-3,kZ.答案:(1)C(2)x|x=k-3,kZ1.已知f(x)=Asin(x+)(A>0,>0)的部分圖象求其解析式時,A比較容易看圖得出,利用周期性求,難點是“”的確定.2.y=Asin(x+)中的確定方法(1)代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.(2)五點法:確定值時,往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口.針對訓(xùn)練 1.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+),xR(其中A>0,>0,-2<<2),其部分圖象如圖所示,將f(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,再向右平移1個單位長度得到g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為()A.g(x)=sin2(x+1)B.g(x)=sin8(x+1)C.g(x)=sin(2x+1)D.g(x)=sin(8x+1)解析:由題圖可得f(x)=sin(4x+4),橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得y=sin(8x+4),再向右平移1個單位長度,得g(x)=sin8(x-1)+4=sin(8x+8)=sin8(x+1).故選B.2.函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為. 解析:由題圖可知A=2.法一T4=712-3=4,所以T=,故=2,因此f(x)=2sin(2x+),又(3,0)對應(yīng)五點法作圖中的第三個點,因此2×3+=+2k(kZ),所以=3+2k(kZ),又|<,所以=3.故f(x)=2sin(2x+3).法二以(3,0)為第二個“零點”,x為712時,ymin為-2,列方程組·3+=,·712+=32,解得=2,=3,故f(x)=2sin(2x+3).答案:f(x)=2sin(2x+3) 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+3)(>0)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,且g(x)的圖象恰好經(jīng)過點(-3,0),求當(dāng)m取得最小值時,g(x)在-6,712上的單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)函數(shù)f(x)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為2,得函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2×2=22,得=1,故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3sin(2x+3).(2)將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)=3sin2(x+m)+3=3sin(2x+2m+3)的圖象,根據(jù)g(x)的圖象恰好經(jīng)過點(-3,0),可得 3sin(-23+2m+3)=0,即sin(2m-3)=0,所以2m-3=k(kZ),解得m=k2+6(kZ),因為m>0,所以當(dāng)k=0時,m取得最小值,且最小值為6.此時,g(x)=3sin(2x+23).因為x-6,712,所以2x+233,116.當(dāng)2x+233,2,即x-6,-12時,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)2x+2332,116,即x512,712時,g(x)單調(diào)遞增.綜上,g(x)在區(qū)間-6,712上的單調(diào)遞增區(qū)間是-6,-12和512,712.函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題.此類問題常先通過三角恒等變換化簡函數(shù)解析式,再來研究其性質(zhì).針對訓(xùn)練 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),其中0<<3.已知f(6)=0.(1)求;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移4個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在-4,34上的最小值.解:(1)因為f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=3(12sin x-32cos x)=3sin(x-3).由題設(shè)知f(6)=0,所以6-3=k,kZ,故=6k+2,kZ.又0<<3,所以=2.(2)由(1)得f(x)=3sin(2x-3),所以g(x)=3sin(x+4-3)=3sin(x-12).因為x-4,34,所以x-12-3,23,當(dāng)x-12=-3,即x=-4時,g(x)取得最小值-32. 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 如圖,某大風(fēng)車的半徑為2米,每12秒旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點O離地面1米,點O在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始,逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點,則點P到地面的距離是米. 解析:以圓心O1為原點,以水平方向為x軸方向,以豎直方向為y軸方向建立平面直角坐標(biāo)系,則根據(jù)大風(fēng)車的半徑為2米,圓上最低點O離地面1米,12秒轉(zhuǎn)動一周,設(shè)OO1P=,運(yùn)動t秒后與地面的距離為f(t).又周期T=12,所以=6t,則f(t)=3+2sin(-2)=3-2cos 6t(t0),當(dāng)t=40 s時,f(t)=3-2cos(6×40)=4.答案:4三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題;二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.針對訓(xùn)練 據(jù)市場調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(x+)+B(A>0,>0,|<2)的模型波動(x為月份),已知3月份達(dá)到最高價9千元,9月份價格最低為5千元.則7月份的出廠價格為元. 解析:作出函數(shù)簡圖如圖,三角函數(shù)模型為y=Asin(x+)+B,由題意知A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12,所以=2T=6.將(3,9 000)看成函數(shù)圖象的第二個特殊點,則有6×3+=2,所以=0,故f(x)=2 000sinx6+7 000(1x12,xN*).所以f(7)=2 000×sin76+7 000=6 000.故7月份的出廠價格為6 000元.答案:6 000 為了得到函數(shù)y=sin(2x-3)的圖象,只需把函數(shù)y=cos(2x-43)的圖象()A.向左平移4個單位長度B.向右平移4個單位長度C.向左平移2個單位長度D.向右平移2個單位長度解析:y=cos(2x-43)=sin2+(2x-43)=sin(2x-56),故要得到函數(shù)y=sin(2x-3)的圖象,只需要平移(x-6)-(x-512)=4個單位長度,又4>0,所以應(yīng)向左平移.故選A. 已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)+B(A>0,>0,|<2)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(3,32)對稱,則m的值可能為()A.6B.2C.76D.712解析:依題意得A+B=332,-A+B=-32,解得A=3,B=32,T2=23-6=2,故=2,則f(x)=3sin(2x+)+32.又f(6)=3sin(3+)+32=332,故3+=2+2k(kZ),即=6+2k(kZ).因為|<2,故=6,所以f(x)=3sin(2x+6)+32.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度后得到g(x)=3sin(2x+6+2m)+32的圖象,又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(3,32)對稱,故3sin(23+6+2m)=0,即56+2m=k(kZ),故m=k2-512(kZ).令k=2,則m=712.故選D.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,|<2,>0)的圖象的一部分如圖所示,則f(x)的圖象的對稱軸方程是. 解析:由圖象知A=2,又1=2sin(×0+),即sin =12,又|<2,所以=6.又1112×+6=2,所以=2,所以f(x)=2sin(2x+6),令2x+6=2+k(kZ),得x=k2+6(kZ).所以f(x)=2sin(2x+6)的對稱軸方程為x=k2+6(kZ).答案:x=k2+6(kZ)知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換1,2,3,4,611求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式710函數(shù)y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用5,81315綜合問題9,12,141.函數(shù)y=sin(2x-3)在區(qū)間-2,上的簡圖是(A)解析:令x=0得y=sin(-3)=-32,排除B,D項,由f(-3)=0,f(6)=0,排除C項.故選A.2.要得到y(tǒng)=sin(2x-4)的圖象,只需將y=sin 2x的圖象(D)A.向左平移4個單位長度B.向右平移4個單位長度C.向左平移8個單位長度D.向右平移8個單位長度解析:因為y=sin(2x-4)=sin2(x-8),因此,要得到y(tǒng)=sin(2x-4)的圖象,只需將y=sin 2x的圖象向右平移8個單位長度.故選D.3.已知函數(shù)f(x)=sin(x+6)(0<<2)滿足條件:f(-12)=0,為了得到函數(shù)y=f(x)的圖象,可將函數(shù)g(x)=cos x的圖象向右平移m(m>0)個單位長度,則m的最小值為(A)A.1B.12C.6D.2解析:由題意,得sin(-12+6)=0,即-12+6=k(kZ),則=3-2k(kZ),結(jié)合0<<2,得=3,所以f(x)=sin(3x+6)=cos(2-3x-6)=cos3(x-1),所以只需將函數(shù)g(x)=cos3x的圖象向右平移至少1個單位長度,即可得到函數(shù)y=f(x)的圖象.故選A.4.將函數(shù)y=sin(2x+5)的圖象向右平移10個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(A)A.在區(qū)間-4,4上單調(diào)遞增B.在區(qū)間-4,0上單調(diào)遞減C.在區(qū)間4,2上單調(diào)遞增D.在區(qū)間2,上單調(diào)遞減解析:y=sin(2x+5)=sin 2(x+10),將其圖象向右平移10個單位長度,得到函數(shù)y=sin 2x的圖象.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ.令k=0,可知函數(shù)y=sin 2x在區(qū)間-4,4上單調(diào)遞增.故選A.5.(多選題)函數(shù)f(x)=2sin(2x-3)的圖象為C,則下列結(jié)論正確的是(AB)A.f(x)的最小正周期為B.對任意的xR,都有f(x+6)+f(6-x)=0C.f(x)在(-12,512)上是減函數(shù)D.由y=2sin 2x的圖象向右平移3個單位長度可以得到圖象C解析:由f(x)=2sin(2x-3),所以f(x)的最小正周期為22=,故A正確;f(6)=2sin(2×6-3)=0,即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(6,0)對稱,即對任意的xR,都有f(x+6)+f(6-x)=0成立,故B正確;當(dāng)x(-12,512)時,2x-3(-2,2),所以f(x)在(-12,512)上是增函數(shù),故C錯誤;由y=2sin 2x的圖象向右平移3個單位長度得到y(tǒng)=2sin 2(x-3)=2sin(2x-23)的圖象,故D錯誤.故選AB.6.函數(shù)y=sin x-3cos x的圖象可由函數(shù)y=sin x+ 3cos x的圖象至少向右平移個單位長度得到. 解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-3),y=sin x+3cos x=2sin(x+3),故應(yīng)至少向右平移23個單位長度.答案:237.已知函數(shù)y=sin(2x+)(-2<<2)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,則的值為. 解析:由題意得f(3)=sin(23+)=±1,所以23+=k+2,kZ,所以=k-6,kZ.因為(-2,2),所以=-6.答案:-68.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高,為28 ,12月份的月平均氣溫最低,為18 ,則10月份的平均氣溫值為. 解析:依題意知,a=28+182=23,A=28-182=5,所以y=23+5cos6(x-6),當(dāng)x=10時,y=23+5cos(6×4)=20.5.答案:20.59.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x-1,則下列四個結(jié)論正確的是(AB)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間-38,8上是增函數(shù)B.點(38,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心C.函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移4個單位長度得到D.若x0,2,則f(x)的值域為0,2解析:函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+4).若x-38,8,則2x+4-2,2,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間-38,8上是增函數(shù),因此A正確;因為f(38)=2sin(34+4)=2sin =0,因此點(38,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心,因此B正確;由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移4個單位長度得到y(tǒng)=2sin2(x+4)=2cos 2x,因此由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移4個單位長度不能得到函數(shù)f(x)的圖象,因此C不正確;若x0,2,則2x+44,54,所以sin(2x+4)-22,1,所以f(x)的值域為-1,2,因此D不正確.故選AB.10.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=2cos2x+3sin 2x-1的說法正確的是(D)A.x=3是函數(shù)f(x)的一個極值點B.函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上有且只有一個零點 512D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移12個單位長度得到解析:函數(shù)f(x)=2cos2x+3sin 2x-1=cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+6),當(dāng)x=3時,2sin(2×3+6)=1,所以x=3不是函數(shù)f(x)的一個極值點,所以A不正確;當(dāng)x=6時,函數(shù)f(x)取得最大值,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上不是增函數(shù),所以B不正確;由2sin(2x+6)=0得2x+6=k,kZ,則x=k2-12,kZ,所以在區(qū)間(0,)上有兩個零點512,1112,所以C不正確;由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移12個單位長度得到y(tǒng)=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)的圖象,所以D正確.故選D.11.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,2),x=-4為f(x)的零點,x=4為y=f(x)的圖象的對稱軸,且f(x)在(18,536)上單調(diào),則的最大值為(B)A.11B.9C.7D.5解析:因為x=-4為f(x)的零點,x=4為y=f(x)的圖象的對稱軸,所以2n+14·T=2,即2n+14·2=2(nN),即=2n+1(nN),即為正奇數(shù),因為f(x)在(18,536)上單調(diào),則536-18=12T2,即T=26,解得12,當(dāng)=11時,-114+=k,kZ,因為|2,所以=-4,此時f(x)在(18,536)上不單調(diào),不滿足題意;當(dāng)=9時,-94+=k,kZ,因為|2,所以=4,此時f(x)在(18,536)上單調(diào),滿足題意.故的最大值為9.故選B.12.(2019·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+5)(>0),已知f(x)在0,2有且僅有5個零點.下述四個結(jié)論:f(x)在(0,2)有且僅有3個極大值點;f(x)在(0,2)有且僅有2個極小值點;f(x)在(0,10)單調(diào)遞增;的取值范圍是125,2910).其中所有正確結(jié)論的編號是(D)A.B.C.D.解析:如圖,根據(jù)題意知,xA2<xB,根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)在(0,2)上有且僅有3個極大值點,所以正確;但可能會有2個或3個極小值點,所以錯誤;根據(jù)xA2<xB,有2452<295,得125<2910,所以正確;當(dāng)x(0,10)時,5<x+5<10+5,因為125<2910,所以112510+5<49100<2,所以函數(shù)f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增,所以正確.故選D.13.將函數(shù)f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2的圖象向左平移3個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若x-2,2,則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 解析:因為f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-3)-3,所以g(x)=2sin2(x+3)-3-3=2sin(2x+3)-3,由-2+2k2x+32+2k(kZ),得-512+kx12+k(kZ),因為x-2,2,所以函數(shù)g(x)在-2,2上的單調(diào)遞增區(qū)間是-512,12.答案:-512,1214.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的12,再把所得的函數(shù)圖象向左平移6個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,8上的最小值.解:(1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,由題圖可知A=1,T2=23-6=2,即T=,所以=2,解得=2,所以f(x)=sin(2x+),又f(x)的圖象過點(6,0),由0=sin(2×6+)可得3+=k(kZ),則=k-3(kZ),因為|<2,所以=-3,故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x-3).(2)根據(jù)條件得g(x)=sin(4x+3),當(dāng)x0,8時,4x+33,56,所以當(dāng)x=8時,g(x)取得最小值,且g(x)min=12.15.在f(x)的圖象關(guān)于直線x=56對稱;f(x)的圖象關(guān)于點(518,0)對稱;f(x)在-4,4上單調(diào)遞增這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中,若問題中的正實數(shù)a存在,求出a的值;若a不存在,請說明理由.已知函數(shù)f(x)=4sin(x+6)+a(N*)的最小正周期不小于3,且,是否存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在0,12上有最大值3? 解:由于函數(shù)f(x)的最小正周期不小于3,所以23,所以16,N*.若選擇,即f(x)的圖象關(guān)于直線x=56對稱,則有56+6=k+2(kZ),解得=65k+25(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=3,=4.此時,f(x)=4sin(4x+6)+a.由x0,12,得4x+66,2,因此當(dāng)4x+6=2,即x=12時,f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合題意.故不存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在0,12上有最大值3.若選擇,即f(x)的圖象關(guān)于點(518,0)對稱,則有518+6=k(kZ),解得=185k-35(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=1,=3.此時,f(x)=4sin(3x+6)+a.由x0,12,得3x+66,512,因此當(dāng)3x+6=512,即x=12時,f(x)取得最大值4sin512+a=6+2+a,令6+2+a=3,解得a=3-6-2,不符合題意.故不存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在0,12上有最大值3.若選擇,即f(x)在-4,4上單調(diào)遞增,則有-4+62k-2,4+62k+2,(kZ),解得-8k+83,8k+43,由于16,N*,kZ,所以k=0,=1.此時,f(x)=4sin(x+6)+a.由x0,12,得x+66,4,因此當(dāng)x+6=4,即x=12時,f(x)取得最大值22+a,令22+a=3,解得a=3-22,符合題意.故存在正實數(shù)a=3-22,使得函數(shù)f(x)在0,12上有最大值3.