第1講直線與圓考情研析1.考查直線間的平行和垂直的條件，與距離有關(guān)的問題2.考查直線與圓相切和相交的問題，與直線被圓所截得的弦長有關(guān)的問題.核心知識(shí)回顧1.直線的斜率直線過點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其傾斜角為，則斜率ktan.2直線的兩種位置關(guān)系3三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB| .(2)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x0，y0)到直線AxByC0的距離d.(3)兩平行線的距離：若直線l1，l2的方程分別為l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)，則兩平行線的距離d.4圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)一般方程：方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是D2E24F>0，其中圓心是，半徑r.5直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.d與r的關(guān)系直線與圓的關(guān)系d>r相離dr相切d<r相交6兩圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2.熱點(diǎn)考向探究考向1 直線的方程及應(yīng)用例1(1)(2019·天津九校聯(lián)考)“m2”是“直線l1：mx4y60與直線l2：xmy30平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案D解析若直線l1：mx4y60與直線l2：xmy30平行，則m24，m±2，當(dāng)m2時(shí)，直線l1：2x4y60與直線l2：x2y30，兩直線重合，舍去，所以“直線l1：mx4y60與直線l2：xmy30平行”等價(jià)于“m2”，所以“m2”是“直線l1：mx4y60與直線l2：xmy30平行”的既不充分也不必要條件故選D.(2)已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1B1C2或1D2或1答案D解析當(dāng)a0時(shí)，y2不符合題意當(dāng)a0時(shí)，令x0，得y2a，令y0，得x，則a2，得a1或a2.故選D.(3)已知直線l：xy10，l1：2xy20.若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則l2的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10答案B解析因?yàn)閘1與l2關(guān)于l對(duì)稱，所以l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上又易知(0，2)為l1上一點(diǎn)，設(shè)它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得即(1,0)，(1，1)為l2上兩點(diǎn)，可得l2的方程為x2y10，故選B.(1)在使用不同形式的直線方程時(shí)要注意其適用條件(2)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在1(2019·湘贛十四校高三聯(lián)考)若cos，sin，則角的終邊所在的直線方程為()A3x4y0B4x3y0C3x4y0D4x3y0答案C解析因?yàn)閏os，sin，所以tan，因此角的終邊所在的直線斜率為.故選C.2已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，2)，B(a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2xby10與直線l1平行，則ab等于()A4B2 C0D2答案B解析由題意知l的斜率為1，則l1的斜率為1，即kAB1，a0.由l1l2，得1(b0)，b2(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)，ab2，故選B.3直線xcosyb0(，bR)的傾斜角的取值范圍是_答案解析直線的斜率kcos，R，1k1，直線的傾斜角的取值范圍為.考向2圓的方程及應(yīng)用例2(1)(2019·成都市高三二診)已知aR且為常數(shù)，圓C：x22xy22ay0，過圓C內(nèi)一點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，直線l的方程為2xy0，則a的值為()A2B3 C4D5答案B解析圓C：x22xy22ay0化簡為(x1)2(ya)2a21，圓心坐標(biāo)為C(1，a)，半徑為.如圖，由題意可得，當(dāng)弦AB最短時(shí)，過圓心與點(diǎn)(1,2)的直線與直線2xy0垂直則，即a3.故選B.(2)與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22答案D解析由題意知，曲線方程為(x6)2(y6)218，過圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.(3)已知過定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取到最大值時(shí)，直線l的傾斜角為()A150°B135° C120°D不存在答案A解析由y得x2y22(y0)，它表示以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓的一部分，其圖形如圖所示設(shè)過點(diǎn)P(2，0)的直線為yk(x2)，則圓心到此直線AB的距離d，因?yàn)镾AOB|OA|OB|·sinAOBsinAOB，所以當(dāng)AOB時(shí)，SAOB取最大值，此時(shí)圓心O到直線AB的距離為1，由1得k，故直線l的傾斜角為150°.(1)求圓的方程就是求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，一般是根據(jù)已知條件寫出方程即可(2)方程Ax2By2DxEyF0(AB0)表示圓的充要條件是AB且D2E24AF>0.1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2|PB|24且在圓x2y24上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A0B1 C2D3答案C解析設(shè)P(x，y)，則由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，所以xy20.求滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)即為求直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，圓心到直線的距離為<2r，所以直線與圓相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)，選C.2(2019·宜賓市高三第二次診斷)過直線3x4y140上一點(diǎn)P作圓C：(x1)2(y2)29的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形PACB面積最小時(shí)，直線AB的方程是()A4x3y20B3x4y20C3x4y20D4x3y20答案B解析根據(jù)題意，圓C：(x1)2(y2)29的圓心C為(1,2)，半徑r3；點(diǎn)P為直線3x4y140上一點(diǎn)，PA，PB為圓C的切線，則PACA，PBCB，則有|PA|PB| ，則S四邊形PACB2SPCA2××|CA|×|PA|3，則當(dāng)|PC|取得最小值時(shí)，四邊形PACB面積最小，此時(shí)CP與直線3x4y140垂直，且|CP|5，則C到直線AB的距離d，又由CPAB，則直線AB與直線3x4y140平行，設(shè)直線AB的方程為3x4ym0，則d，解得m2或20(舍去)，則直線AB的方程為3x4y20.故選B.3圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24答案D解析(x2)2y24的圓心為(2,0)，其關(guān)于yx對(duì)稱的點(diǎn)為(x，y)，則解得x1，y，所以所求圓的方程為(x1)2(y)24，故選D.考向3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例3(1)(2019·東北三省高三第二次模擬)圓x24xy20與圓x2y24x30的公切線共有()A1條B2條 C3條D4條答案D解析x24xy20(x2)2y222，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.x2y24x30(x2)2y212，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為1.圓心距為4，兩圓半徑和為3，因?yàn)?>3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條故選D.(2)一條光線從點(diǎn)(1，1)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x2)2y21相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.答案C解析由題意可知，反射光線必過(1，1)點(diǎn)，設(shè)反射光線斜率為k，則反射光線為kxyk10，由題意可知<1，0<k<.入射光線所在直線的斜率取值范圍為.故選C.(3)已知直線l：axby10是圓x2y26y50的對(duì)稱軸，且直線l與直線xy20垂直，則直線l的方程為()Axy20Bxy20Cxy30Dxy30答案D解析x2y26y50化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2(y3)24，其圓心為(0,3)，因?yàn)橹本€l：axby10是圓x2y26y50的對(duì)稱軸，故3b10，得b，又直線l與直線xy20垂直，故1，所以a，故直線l的方程為xy10，即xy30，選D.(1)處理直線與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，主要利用幾何法，即利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷，并依據(jù)圓的幾何性質(zhì)求解(2)直線與圓相交涉及弦長問題時(shí)，主要依據(jù)弦長的一半、弦心距、半徑的關(guān)系求解(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直于過這點(diǎn)的半徑的弦最短1已知圓C：(x3)2(y4)24和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則m的最大值為()A7B6 C5D4答案A解析由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)O(0,0)為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，所以只要兩個(gè)圓有交點(diǎn)即可圓心C(3,4)到O(0,0)的距離為5，所以|m2|5m2，解得3m7，即m的最大值為7.故選A.2直線ykx3被圓(x2)2(y3)24截得的弦長為2，則k()A±B± C. D.答案A解析圓(x2)2(y3)24的圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑r2，圓心(2,3)到直線ykx3的距離d，直線ykx3被圓(x2)2(y3)24截得的弦長為2，由勾股定理得r2d22，即43，解得k±.故選A.3(2019·朝陽區(qū)高三第一次模擬)已知圓C：(x2)2y22，直線l：ykx2，若直線l上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P引圓的兩條切線l1，l2，使得l1l2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A0,2)(2，)B2，2C(，0)D0，)答案D解析圓心C(2,0)，半徑r，設(shè)P(x，y)，因?yàn)閮汕芯€l1l2，如下圖，PAPB，由切線性質(zhì)定理，知PAAC，PBBC，|PA|PB|，所以四邊形PACB為正方形，所以|PC|2，則有(x2)2y24，即點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.直線l：ykx2過定點(diǎn)(0，2)，直線方程即kxy20，只要直線l與P點(diǎn)的軌跡(圓)有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即d2，解得k0，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是0，)故選D.真題押題真題模擬1(2019·廈門模擬)“C2”是“點(diǎn)(1，)到直線xyC0的距離為3”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案B解析若點(diǎn)(1，)到直線xyC0的距離為3，則有3，解得C2或C10，故“C2”是“點(diǎn)(1，)到直線xyC0的距離為3”的充分不必要條件，選B.2(2019·山東省高三第一次大聯(lián)考)已知直線l：xy0與圓C：x2(y1)21相交于O，A兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則COA的面積為()A. B. C.D2答案A解析由題意，直線l，圓C均過原點(diǎn)，COA為等腰三角形，且|CO|CA|1，OCA60°，所以SCOA|CO|·|CA|·sinOCA×12×.故選A.3(2019·唐山市第一中學(xué)高三下學(xué)期沖刺(一)過點(diǎn)P(1，1)且不垂直于y軸的直線l與圓M：x2y22x30交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在圓M上，若ABC是正三角形，則直線l的斜率是()A. B. C. D.答案D解析根據(jù)題意得，圓M：x2y22x30即(x1)2y24，圓心M為(1,0)，半徑r2，設(shè)正三角形ABC的高為h，由題意知M為正三角形ABC的中心，M到直線l的距離dh，又h|AB|，即d|AB|，由垂徑定理可得d2r24，可得|AB|2，d1，由題意知設(shè)直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則直線l的方程為y1k(x1)，即kxyk10，則有1，解得k或0(舍去)故選D.4(2019·合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，(0,3)，且與x軸正半軸相切，若圓C上存在點(diǎn)M，使得直線OM與直線ykx(k>0)關(guān)于y軸對(duì)稱，則k的最小值為()A. B. C2D4答案D解析圓C經(jīng)過(0,1)，(0,3)，圓心在(0,1)，(0,3)的垂直平分線y2上，又圓C與x軸正半軸相切，圓的半徑為2.設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,2)，x0>0，由x(23)24，得x0，圓心坐標(biāo)為(，2)，設(shè)OM的斜率為k0，因?yàn)閗>0，所以k0<0，當(dāng)k0最大時(shí)k最小，設(shè)OM：yk0x(k0<0)，由圖可知當(dāng)yk0x與圓相切時(shí)k0最大，此時(shí)2，解得k04，此時(shí)k4，即k的最小值為4，故選D.5(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_.答案2解析根據(jù)題意畫出圖形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，則|AB|2，|AC|，|BC|m3|.直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A，BAC90°，|AB|2|AC|2|BC|2.即204(m1)2(m3)2，解得m2.因此r|AC|.金版押題6由直線yx1上的一點(diǎn)向圓(x)2y2r2(r>0)引切線，若切線長的最小值為，則r的值為()A2 B. C.D1答案D解析從題意看出，切線長、直線上的點(diǎn)到圓心的距離、半徑之間滿足勾股定理，顯然圓心(，0)到直線的距離最小時(shí)，切線長也最小圓心(，0)到直線yx1的距離為2，切線長的最小值為，解得r1或r1(舍去)，選D.7已知P是直線kxy40(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2y22y0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形PACB的最小面積為2，則k的值為()A3B2 C1 D.答案B解析S四邊形PACB|PA|·|AC|PA|，可知當(dāng)|CP|最小，即CPl時(shí)，其面積最小，由最小面積2得|CP|min，由點(diǎn)到直線的距離公式得|CP|min，因?yàn)閗>0，所以k2.選B.配套作業(yè)一、選擇題1與直線3x2y70關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為()A3x2y70B3x2y70C2x3y70D3x2y70答案B解析由題知，與直線3x2y70關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程是3(x)2y70，即3x2y70，故選B.2已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是()A. B. C8D2答案D解析，m8，直線6xmy140可化為3x4y70，兩平行線之間的距離d2.3已知直線l經(jīng)過圓C：x2y22x4y0的圓心，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為，則直線l的方程為()Ax2y50B2xy50Cx2y50Dx2y30答案C解析圓心C(1,2)，故kOC2，|OC|，所以lOC，kl，直線l的方程為y2(x1)，即x2y50，故選C.4(2019·蕪湖市四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考)圓x2(y3)21上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,3)的距離的最小值為()A2B1 C3D4答案B解析圓x2(y3)21上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,3)的距離的最小值為圓心到點(diǎn)Q(2,3)的距離減去半徑圓x2(y3)21的圓心坐標(biāo)為C(0,3)，半徑為r1，|CQ|r211，圓x2(y3)21上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,3)的距離的最小值為1.故選B.5集合A(x，y)|x2y22mxm24，B(x，y)|x2y22x2my8m2，若ABA，則實(shí)數(shù)m的范圍是()A1,0B(1,0) C0,1D(0,1)答案A解析設(shè)A，B表示的兩圓的圓心分別為C1，C2，由ABA，得AB，則圓(xm)2y24與圓(x1)2(ym)29的關(guān)系是內(nèi)切或內(nèi)含，則|C1C2|32，得m2m0，即1m0.6已知點(diǎn)P(1,2)和圓C：x2y2kx2yk20，過點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是()AkRBk<C<k<0D<k<答案D解析若x2y2kx2yk20表示一個(gè)圓，則k244k243k2>0，即<k<.若過點(diǎn)P所作圓的切線有兩條，則點(diǎn)P在圓C：x2y2kx2yk20外將P(1,2)代入，得k2k9>0.k2k92>0恒成立，k的取值范圍是.7(2019·內(nèi)江、眉山等六市高三第二次診斷)若直線xmym0與圓(x1)2y21相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是()A(0,1)B(0,2) C(1,0)D(2,0)答案D解析圓與直線聯(lián)立整理得(1m2)y22m(m1)ym22m0.直線與圓相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即>0，4m2(m1)24(m22m)(m21)8m>0，得m<0.圓(x1)2y21上的點(diǎn)都在y軸右側(cè)及原點(diǎn)，若要交點(diǎn)在兩個(gè)象限，則交點(diǎn)縱坐標(biāo)的符號(hào)相反，即一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第四象限y1y2<0，解得2<m<0，故選D.8已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.答案A解析圓C1，C2的圖象如圖所示設(shè)P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|1，同理|PN|的最小值為|PC2|3，則|PM|PN|的最小值為|PC1|PC2|4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(2，3)，連接C1C2，與x軸交于點(diǎn)P，連接PC1，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PC1|PC2|的最小值為|C1C2|5.則|PM|PN|的最小值為54.9已知圓C：(x1)2y2r2(r>0)，設(shè)p：0<r3，q：圓上至多有兩個(gè)點(diǎn)到直線xy30的距離為1，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析對(duì)于q，圓(x1)2y2r2(r>0)上至多有兩個(gè)點(diǎn)到直線xy30的距離為1，又圓心(1,0)到直線的距離d2，則r<213，所以0<r<3，又p：0<r3，所以p是q的必要不充分條件，故選B.10(2019·柳州市高三3月模擬)圓x2y24x30關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程是()A(x)2(y1)21Bx2(y2)21Cx2(y1)21D(x1)2(y)21答案D解析由題意得，圓x2y24x30即為(x2)2y21，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為1.設(shè)圓心(2,0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則解得所求圓的圓心坐標(biāo)為(1，)，所求圓的方程為(x1)2(y)21.故選D.11(2019·山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第四次模擬)已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有·2，那么k的取值范圍是()A(，)B，2)C，)D，2)答案B解析根據(jù)題意得，圓x2y24的圓心為(0,0)，半徑r2，設(shè)圓心到直線xyk0的距離為d，若直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點(diǎn)A，B，則d<2，則有k<2.設(shè)與的夾角即AOB，若·2，即|OA|·|OB|·cos2，變形可得cos，則.當(dāng)時(shí)，d1，若，則d1，解得k，則k的取值范圍為，2)故選B.二、填空題12已知圓M：x2y22x2y50，此圓中過原點(diǎn)的弦最短時(shí)，該弦所在的直線方程為_答案xy0解析圓M：x2y22x2y50，圓心M的坐標(biāo)為(1，)，kOM，此圓中過原點(diǎn)的弦最短時(shí)，該弦所在的直線的斜率k，該弦所在的直線方程為y x，即xy0.13已知P(2,0)為圓C：x2y22x2mym270(m>0)內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線AB交圓C于A，B兩點(diǎn)，若ABC面積的最大值為4，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案m解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(ym)28，則圓心坐標(biāo)為(1，m)，半徑r2，SABCr2sinACB4sinACB，當(dāng)ACB90°時(shí)，ABC的面積取得最大值4，此時(shí)ABC為等腰直角三角形，ABr4，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于2，故2PC<2，即2<2，41m2<8，即3m2<7，m>0，m<.14(2019·宜賓市高三第二次診斷)已知直線l1：3xy60與圓心為M(0,1)，半徑為的圓相交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l2：2kx2y3k30與圓M交于C，D兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_，四邊形ACBD面積的最大值為_答案5解析以M(0,1)為圓心，半徑為的圓的方程為x2(y1)25，聯(lián)立解得A(2,0)，B(1,3)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.直線l2：2kx2y3k30恒過定點(diǎn)，要使四邊形的面積最大，只需直線l2過圓心即可，即CD為直徑，此時(shí)AB垂直CD，|AB|，四邊形ACBD面積的最大值為S·|AB|·|CD|××25.- 18 -