專題檢測(cè)（五） 數(shù)學(xué)文化一、選擇題1.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A.104人B.108人C.112人 D.120人解析：選B由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×300×108.故選B.2.大衍數(shù)列，來源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項(xiàng)為()A.180 B.200C.128 D.162解析：選B根據(jù)前10項(xiàng)可得規(guī)律：每兩個(gè)數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.可得從第11項(xiàng)到20項(xiàng)為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項(xiàng)為200.3.(2019·昆明市高三調(diào)研測(cè)試)法國學(xué)者貝特朗于1899年針對(duì)幾何概型提出了貝特朗悖論，內(nèi)容如下：如圖，在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率等于多少？基于對(duì)術(shù)語“隨機(jī)地取一條弦”含義的不同解釋，存在著不同答案.現(xiàn)給出其中一種解釋：固定弦的一個(gè)端點(diǎn)A，另一端點(diǎn)在圓周上隨機(jī)選取，其答案為()A. B.C. D.解析：選B記等邊三角形為ABC，弦的另一個(gè)端點(diǎn)為P.如圖，弦AP的長超過AB的長，則點(diǎn)P落在劣弧上，所以所求概率為.故選B.4.歐拉公式eixcos xisin x(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選B依題可知eix表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos x，sin x)，故e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos 2，sin 2)，顯然該點(diǎn)位于第二象限，選B.5.如圖所示是2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)圖案，該圖案的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是趙爽弦圖，以紀(jì)念我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用此圖證明了勾股定理.如圖是用4個(gè)全等的直角三角形以斜邊為邊長拼成的一個(gè)正方形.假設(shè)直角三角形的直角邊長分別為3，5，在正方形ABCD中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自四邊形EFGH內(nèi)的概率是()A. B.C. D.解析：選A因?yàn)橹苯侨切蔚闹苯沁呴L分別為3，5，所以正方形ABCD的面積為325234，易知四邊形EFGH的面積為(53)24.故此點(diǎn)取自四邊形EFGH內(nèi)的概率P.故選A.6.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(u)長損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測(cè)量影子的長度).二十四個(gè)節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始.若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長是()A.五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸解析：選B設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列an，公差為d，a115，a13135，則1512d135，解得d10.所以a2151025，所以小暑的晷長是25寸.故選B.7.算數(shù)書是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式VL2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h，相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為()A. B.C. D.解析：選A依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則Vr2hL2h(2r)2h，化簡得.故選A.8.五進(jìn)制是以5為底的進(jìn)位制，主因乃人類的一只手有五只手指.中國古代的五行學(xué)說也是采用的五進(jìn)制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此類推，5又屬土，6屬水(減去5即得)如圖，這是一個(gè)把k進(jìn)制數(shù)a(共有n位)化為十進(jìn)制數(shù)b的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的k，a，n分別為5，1 203，4，則輸出的b()A.178 B.386C.890 D.14 303解析：選A執(zhí)行該程序框圖，可得當(dāng)輸入k5，a1 203，n4時(shí)，該程序框圖的功能是計(jì)算并輸出b3×500×512×521×53178.故選A.9.天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時(shí)為_年()A.丙酉 B.戊申C.己申 D.己酉解析：選D天干以10循環(huán)，地支以12循環(huán)，從1949年到2029年經(jīng)過80年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項(xiàng)，80÷108，則2029年的天干為己；80÷1268，則2029年的地支為酉.10.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中方田章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積(弦×矢矢×矢).弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為平方米，則cosAOB()A. B.C. D.解析：選D如圖，依題意AB6，設(shè)CDx(x0)，則(6xx2)，解得x1.設(shè)OAy，則(y1)29y2，解得y5.由余弦定理得cosAOB，故選D.11.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為a0a1a2，ai0，1(i0，1，2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，的運(yùn)算規(guī)則為000，011，101，110.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是()A.11010 B.01100C.10111 D.00011解析：選C對(duì)于選項(xiàng)C，傳輸信息是10111，對(duì)應(yīng)的原信息是011，由題目中的運(yùn)算規(guī)則知h0011，h1h0a2110，故傳輸信息應(yīng)是10110.12.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義：圖像能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，給出下列命題：對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)；函數(shù)f(x)ln(x2 )可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”；正弦函數(shù)ysin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”；函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形.其中正確的命題為()A. B.C. D.解析：選A過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故正確；函數(shù)f(x)ln(x2 )的圖像如圖所示，故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故錯(cuò)誤；將圓的圓心放在正弦函數(shù)ysin x圖像的對(duì)稱中心上，則正弦函數(shù)ysin x是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)ysin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故正確；函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，則yf(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”時(shí)，圖像不一定是中心對(duì)稱圖形，如圖，故錯(cuò)誤.故選A.二、填空題13.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_.(容器壁的厚度忽略不計(jì))解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1，2，6的長方體的外接球.設(shè)其半徑為R，(2R)2622212，解得R2，所以該球形容器的表面積的最小值為4R241.答案：4114.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用.直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是RtF1PF2的“勾”“股”，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_.解析：由題意知半焦距c，又PF1PF2，故點(diǎn)P在圓x2y23上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.答案：15.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m2sin 18°，若m2n4，則_.解析：由題設(shè)n4m244sin218°4(1sin218°)4cos218°，2.答案：216.(2019·合肥市第一次質(zhì)檢)部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形，如圖.現(xiàn)在上述圖(3)中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為_.解析：由題意可知每次挖去等邊三角形的，設(shè)題圖(1)中三角形的面積為1，則題圖(2)中陰影部分的面積為1，題圖(3)中陰影部分的面積為，故在題圖(3)中隨機(jī)選取一點(diǎn)，此點(diǎn)來自陰影部分的概率為.答案：- 7 -