第7講拋物線一、選擇題1.(2016·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A. B.1 C. D.2解析由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，由PFx軸知，|PF|2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2).代入曲線y(k>0)得k2，故選D.答案D2.點(diǎn)M(5，3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()A.y12x2 B.y12x2或y36x2C.y36x2 D.yx2或yx2解析分兩類a>0，a<0可得yx2，yx2.答案D3.(2017·張掖診斷)過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|()A.9 B.8 C.7 D.6解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.故選B.答案B4.已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個交點(diǎn).若4，則|QF|等于()A. B. C.3 D.2解析4，|4|，.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|4，|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ|QF|3，故選C.答案C5.(2017·衡水金卷)已知拋物線y24x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則yy的最小值為()A.12 B.24 C.16 D.32解析當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為x4，由得y14，y24，yy32.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為yk(x4)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y23232，綜上可知，yy32.yy的最小值為32.故選D.答案D二、填空題6.(2016·蘭州診斷)拋物線y212x的準(zhǔn)線與雙曲線1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于_.解析由圖可知弦長|AB|2，三角形的高為3，面積為S×2×33.答案37.(2017·四川四校三聯(lián))過拋物線y24x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則弦長|AB|為_.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).易得拋物線的焦點(diǎn)是F(1，0)，所以直線AB的方程是yx1，聯(lián)立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.答案88.(2017·江西九校聯(lián)考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2x21相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.解析y22px的準(zhǔn)線為x.由于ABF為等邊三角形.因此不妨設(shè)A，B，又點(diǎn)A，B在雙曲線y2x21上，從而1，所以p2.答案2三、解答題9.(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p0).(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p，p)；求p的取值范圍.(1)解l：xy20，l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0).即拋物線的焦點(diǎn)為(2，0)，2，p4.拋物線C的方程為y28x.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).則則kPQ，又P，Q關(guān)于l對稱.kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中點(diǎn)一定在l上，22p.線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p，p).解PQ的中點(diǎn)為(2p，p)，即即關(guān)于y的方程y22py4p24p0，有兩個不等實(shí)根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范圍為.10.已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.證明(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0).由題意可設(shè)直線方程為xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)則y1，y2是方程(*)的兩個實(shí)數(shù)根，所以y1y2p2.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因?yàn)閤1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值).(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.11.(2017·合肥模擬)已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A.4 B.4 C.p2 D.p2解析若焦點(diǎn)弦ABx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，則x1x2.又y2px1，y2px2，yy4p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2.故4.答案A12.(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖，由題可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(y00)，則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2等號成立.故選C.答案C13.(2016·湖北七校聯(lián)考)已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為2xy40，在拋物線上有一動點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則mn的最小值為_.解析如圖，過A作AHl，AN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，則|AH|AN|mn1，連接AF，則|AF|AH|mn1，由平面幾何知識，知當(dāng)A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線時，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值為F到直線l的距離，即，即mn的最小值為1.答案114.(2017·南昌模擬)已知拋物線C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(1，1)，且F1F2OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求拋物線C2的方程；(2)過點(diǎn)O的直線交C1的下半部分于點(diǎn)M，交C2的左半部分于點(diǎn)N，求PMN面積的最小值.解(1)由題意知F1(1，0)，F(xiàn)2，F(xiàn)1F2OP，··(1，1)10，p2，拋物線C2的方程為x24y.(2)設(shè)過點(diǎn)O的直線為ykx(k0)，聯(lián)立得M，聯(lián)立得N(4k，4k2)，從而|MN|，又點(diǎn)P到直線MN的距離d，進(jìn)而SPMN···2·2，令tk(t2)，則有SPMN2(t2)(t1)，當(dāng)t2時，此時k1，SPMN取得最小值.即當(dāng)過點(diǎn)O的直線為yx時，PMN面積的最小值為8.7