第2講數(shù)列求和問題考情研析1.從具體內(nèi)容上，高考對(duì)數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過(guò)分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想2.從高考特點(diǎn)上，難度稍大，一般以解答題為主，分值約為78分核心知識(shí)回顧常見的求和方法(1)公式法：適合求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等比數(shù)列利用公式法求和時(shí)，一定注意公比q是否取1.(2)錯(cuò)位相減法：主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂項(xiàng)后，消去一部分從而計(jì)算和的方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和(4)分組求和法：一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會(huì)變成幾個(gè)可以求和的部分，分別求和，然后再合并(5)并項(xiàng)求和法：當(dāng)一個(gè)數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，形如(1)nan的形式，通常分奇、偶，觀察相鄰兩項(xiàng)是否構(gòu)成新數(shù)列熱點(diǎn)考向探究考向1 分組轉(zhuǎn)化法求和例1(2019·天津南開區(qū)高三下學(xué)期一模)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a53a2，S714a27.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列(1)nbn(anbn)的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d.由a53a2得a14d3(a1d)，化簡(jiǎn)得d2a1，由S714a27得da11，由解得a11，d2.所以數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由數(shù)列anbn 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，得anbn2n1，即2n1bn2n1.所以bn2n12n1.所以(1)nbn(anbn)(1)n·2n1·(2n12n1)(1)n4n1(2)n1(2n1)(4)n1(2n1)·(2)n1.Pn(4)0(4)1(4)n1 ，Qn1·(2)03·(2)15·(2)2(2n3)·(2)n2(2n1)·(2)n1，2Qn1·(2)13·(2)25·(2)3(2n3)·(2)n1(2n1)·(2)n，得3Qn1·(2)02·(2)12·(2)22·(2)n1(2n1)·(2)n1(2n1)·(2)n·(2)n.Qn·(2)n.TnPnQn.若一個(gè)數(shù)列是由兩個(gè)或多個(gè)等差、等比數(shù)列的和差形式組成，或這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)或多個(gè)等差、等比數(shù)列的和差形式，則可以根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)對(duì)原數(shù)列求和式的各部分重新組合，進(jìn)而使用等差、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和解題的關(guān)鍵是觀察結(jié)構(gòu)、巧分組等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則由a13，b11及得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1，得Snn(n2)則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)考向2 裂項(xiàng)相消法求和例2(2019·甘青寧高三3月聯(lián)考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a75，S555.(1)求Sn；(2)設(shè)bn，求數(shù)列的前19項(xiàng)和T19.解(1)Sn19n×42n221n.(2)設(shè)bn2n21，則，故T19××.裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和適用于數(shù)列的求和，其中數(shù)列an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足Snan2n1(nN*)(1)求證數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：<.解(1)因?yàn)镾nan2n1，所以當(dāng)n1時(shí)，a1a121，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，Sn1an12(n1)1，由，得anan1an2，即anan11，即an2(an12)，所以數(shù)列an2是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a12，公比為，所以an2n，所以an2n.(2)證明：，所以<.考向3 錯(cuò)位相減法求和例3(2019·東北三省三校高三二模)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snn22n，等比數(shù)列bn的公比為4，且a25b1.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n2時(shí)，Snn22n，Sn1(n1)22(n1)，anSnSn12n1，當(dāng)n1時(shí)，a1S13滿足上式，綜上，an2n1.5b15，b11，bn4n1.(2)an·bn(2n1)·4n1，Tn35×47×42(2n1)·4n1，4Tn3×45×42(2n1)·4n1(2n1)·4n，得3Tn32·(4424n1)(2n1)·4n32·(2n1)·4n4n，Tn4n.錯(cuò)位相減法適用于由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和但要注意相減后得到部分等比數(shù)列，求和時(shí)一定要弄清其項(xiàng)數(shù)；另外還要注意首項(xiàng)與末項(xiàng)(2019·福建高三畢業(yè)班3月質(zhì)檢)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)求證：若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，S12a11，所以a11.因?yàn)镾n2ann，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1(n1)，得an2an2an11，所以an2an11，所以2，所以an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an12·2n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37，設(shè)bn的公差為d，則b7b3(73)·d，所以d1，所以bnb3(n3)·dn，所以anbnn(2n1)n·2nn.設(shè)數(shù)列n·2n的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Mn，所以Kn22×223×23n·2n，2Kn222×233×24n·2n1，得Kn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12.所以Kn(n1)·2n12，又因?yàn)镸n123n，所以KnMn(n1)·2n12.所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn(n1)·2n12.真題押題真題模擬1(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)高三4月聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若ma6·a7a2a4·a9，且公比q(，2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(2,6)B(2,5) C(3,6)D(3,5)答案C解析ma6·a7a2a4·a9，maq11aq142aq11，mq32，q(，2)，q3(5,8)，m(3,6)故選C.2(2019·安徽馬鞍山高三一模)數(shù)列an為等比數(shù)列，若a11，a78a4，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S5()A. B. C7D31答案A解析數(shù)列an為等比數(shù)列，a11，a78a4，q68q3，解得q2，ana1qn12n1，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，S51.故選A.3(2019·南寧調(diào)研)已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1()A16(14n)B16(12n)C.(14n) D.(12n)答案C解析q3，q，a14，數(shù)列an·an1是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列a1a2a2a3anan1(14n)故選C.4(2019·天津高考)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c11，cn其中kN*.求數(shù)列a2n(c2n1)的通項(xiàng)公式；求ici(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得或(舍去)，故an4(n1)×33n1，bn6×2n13×2n.所以，an的通項(xiàng)公式為an3n1，bn的通項(xiàng)公式為bn3×2n.(2)a2n(c2n1)a2n(bn1)(3×2n1)(3×2n1)9×4n1.所以，數(shù)列a2n(c2n1)的通項(xiàng)公式為a2n(c2n1)9×4n1.iciaiai(ci1)i2i(c2i1)(9×4i1)(3×22n15×2n1)9×n27×22n15×2n1n12(nN*)金版押題5已知函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)，且函數(shù)yf(x2)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)f(a51)，則an的前100項(xiàng)的和為()A200B100 C50D0答案B解析函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)，且函數(shù)yf(x2)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，可得yf(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，又?jǐn)?shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)f(a51)，a50a511×22.S100a1a2a10050(a50a51)100.故選B.6已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S36，S5，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A1B2C2D2答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，因?yàn)镾36，S5，所以解得所以ann1，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn，Tn，兩項(xiàng)相減，得Tn，所以Tn2.配套作業(yè)一、選擇題1(2019·湖南永州高三第三次模擬)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn1Snan1，a2a610，則S7()A20B25 C30D35答案D解析因?yàn)镾n是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn1Snan1，所以an1an1，因此數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，又a2a610，所以a1a710，因此S735.故選D.2(2019·四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三一診)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5，a6a73.則滿足a1a2a3an>a1a2a3an的最大正整數(shù)n的值為()A10B11 C12D13答案C解析正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5，a6a7a5(qq2)3，q2q6.q>0，解得q2或q3(舍去)，a1，a1a2a3an，>×2，整理可得，2n>2(n1)n51，2n>2(n1)n5，n>(n1)·，易知n>1，1<n12，經(jīng)檢驗(yàn)n12滿足題意，故選C.3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1tan225°，a513a1，設(shè)Sn為數(shù)列(1)nan的前n項(xiàng)和，則S2018()A2018B2018 C3027D3027答案C解析a1tan225°tan45°1，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由a513a1，得a513，d3，所以S2018a1a2a3a4(1)2018a2018(a2a1)(a4a3)(a6a5)(a2018a2017)1009d1009×33027.故選C.4(2019·安徽省毛坦廠中學(xué)高三4月聯(lián)考)已知等差數(shù)列an滿足a33，a4a5a81，數(shù)列bn滿足bnan1anan1an，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于任意的a2,2，nN*，不等式Sn<2t2at3恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A(，22，)B(，21，)C(，12，)D2,2答案A解析由題意得a4a5a8a1a81，則a11，等差數(shù)列an 的公差d1，an1(n1)n.由bnan1anan1an，得bn，Sn1，則不等式Sn<2t2at3恒成立等價(jià)于1<2t2at3恒成立，而1<1，問題等價(jià)于對(duì)任意的a2,2，2t2at40恒成立設(shè)f(a)2t2at4，a2，2，則即解得t2或t2.故選A.5各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，則S4n()A80B30 C26D16答案B解析由題意，有(S2n2)22(14S2n)，S2n6或S2n4，由于an的各項(xiàng)均為正數(shù)，故S2n6，則Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，即2,4,8,16為等比數(shù)列，S4nS3n16，S4n30，故選B.6已知數(shù)列an滿足a1a2a3··an2n2(nN*)，且對(duì)任意nN*都有<t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A. B.C. D.答案D解析依題意得，當(dāng)n2時(shí)，an2n2(n1)222n1，又a12122×11，因此an22n1，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于<，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是，選D.二、填空題7記f(n)為最接近(nN*)的整數(shù)，如：f(1)1，f(2)1，f(3)2，f(4)2，f(5)2，若4034，則正整數(shù)m的值為_答案4070306解析114034.所以和為2的共有2017組，第一組中有2個(gè)1，第2組中有4個(gè)，第三組中有6個(gè)，所以各組數(shù)的個(gè)數(shù)組成一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以mS20172017×2×22017×20184070306，故答案為4070306.8(2019·江蘇蘇州高三下學(xué)期階段測(cè)試)已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，且a3，a4，a11成等比數(shù)列若pq10，則apaq_.答案15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知d0，a3，a4，a11成等比數(shù)列，2a3a11，2(12d)(110d)，即44d236d450，解得d或d(舍去)，pq10，則apaq(pq)d10×15.9已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n2時(shí)，有1成立，則S2019_.答案解析1，2ananSnS，2(SnSn1)(SnSn1)·SnS，2Sn2Sn1Sn1·Sn，1，又2，是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列2(n1)×1n1，Sn，S2019.10(2019·郴州高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an2bn(nN*)，若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a12，a416.則b5_，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.答案15解析an為等比數(shù)列，且a12，a416，其公比q2，an2n，a1a2a3an2122232n2123n2.a1a2a3an2bn，bn，b515.2.的前n項(xiàng)和Sn22.三、解答題11(2019·山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三教學(xué)診斷)已知遞增的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a416，S420.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(1)n1·，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解(1)由且a1<a4，解得公差d2，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an22(n1)2n.(2)由(1)得Snn(n1)，bn(1)n1·(1)n1·(1)n1·.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1.綜上可得Tn1(1)n1·.12已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)na，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得a1>0，令n1，則S1，所以a1a23，令n2，則S2，所以a2a315，a2a1d，a3a12d，聯(lián)立，解得或(舍去)，所以an2n1.(2)由題意知，bn(1)na(1)nn(n1)1，所以T2n(1×21)(2×31)(3×41)(1)2n·2n(2n1)1(1×21)(2×31)(3×41)(4×51)(2n1)·2n12n(2n1)1484n2n22n.13(2019·貴州省南白中學(xué)(遵義縣一中)高三第一次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2Sn·Sn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式；(3)若bn2(1n)an(n2)，求證：bbb<1.解(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又an2Sn·Sn10，所以SnSn12Sn·Sn10，若Sn0，則a1S10與a1矛盾，故Sn0，所以2，又2，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)得2(n1)·22n，故Sn(nN*)，當(dāng)n2時(shí)，an2Sn·Sn12··；當(dāng)n1時(shí)，a1，所以an(3)證明：當(dāng)n2時(shí)，bn2(1n)an2(1n)·，bbb<1<1.14(2019·河南省頂級(jí)名校高三第四次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an1(nN*)(1)求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)已知bn(nN*)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn.解(1)因?yàn)閍n1，所以an11，兩式相減可得(an1an)0，an12an，即2.在an1中，令n1可得a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n.(2)證明：bn，所以Tn1，所以Tn是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列當(dāng)n1時(shí)，Tn(min)T11，當(dāng)n時(shí)，Tn1，所以Tn.- 15 -