24分大題搶分練(二)(建議用時(shí)：40分鐘)20(12分)(2019·沈陽(yáng)高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三)已知拋物線(xiàn)C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，M(2，y0)是C上一點(diǎn)，且|MF|2.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l1，l2，兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，判斷四邊形PAQB是否存在外接圓，如果存在，求出外接圓面積的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)根據(jù)題意知，42py0，因?yàn)閨MF|2，所以y02，聯(lián)立解得y01，p2.所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為x24y.(2)四邊形PAQB存在外接圓設(shè)直線(xiàn)AB方程為ykx1，代入x24y中，得x24kx40，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則16k2160，且x1x24k，x1x24，所以|AB|x1x2|4(k21)，因?yàn)镃：x24y，即y，所以y.因此，切線(xiàn)l1的斜率為k1，切線(xiàn)l2的斜率為k2，由于k1k21，所以PAPB，即PAB是直角三角形，所以PAB的外接圓的圓心為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB是圓的直徑，所以點(diǎn)Q一定在PAB的外接圓上，即四邊形PAQB存在外接圓又因?yàn)閨AB|4(k21)，所以當(dāng)k0時(shí)，線(xiàn)段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4.21(12分)(2019·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)xexaxaln x.(1)若ae，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)一題多解若f(x)1，求a的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)xexaxaln x，所以f(x)(x1)exa(x0)，即f(x)(xexa)(x0)當(dāng)ae時(shí)，f(x)(xexe)，令g(x)xexe(x0)，則g(x)(x1)ex0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增因?yàn)間(1)0，所以當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)(2)法一：設(shè)F(x)xexa(xln x)1，則F(x)(xexa)(x0)當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)xex1，F(xiàn)10，即f1，故a0不符合題意當(dāng)a0時(shí)，若x(0,1)，則F(x)xexa(xln x)1eaaln x1.令eaaln x10，即ln x，取x1e(0,1)，則eaaln x110，即F(x1)0，f(x1)1.故a0不符合題意當(dāng)a0時(shí)，令h(x)xexa，x0，)，則h(x)(x1)ex0，故h(x)在0，)上單調(diào)遞增因?yàn)閔(0)a0，h(a)aeaaa(ea1)0，所以存在唯一的x0(0，a)使得h(x0)0，所以x(0，x0)時(shí)，h(x)0，F(xiàn)(x)0；x(x0，)時(shí)，h(x)0，F(xiàn)(x)0.故F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以F(x)的最小值為F(x0)x0ex0a(x0ln x0)1，因?yàn)閔(x0)0，即x0ex0a，兩邊取對(duì)數(shù)得x0ln x0ln a，所以F(x0)x0ex0a(x0ln x0)1aaln a1.令G(x)xxln x1，則G(x)ln x，所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故G(x)G(1)0，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立故當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，F(xiàn)(x)0在(0，)上恒成立綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f(x)1恒成立，故a的取值范圍為1法二：設(shè)F(x)xexa(xln x)1，則F(x)(xexa)(x0)設(shè)h(x)xexa(x0)，易知h(x)在0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閔10，h(1)e10，所以存在唯一x0，使得x0ex010，即x0ex01，x0ln x00.所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)0，即F(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)0，即F(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增故F(x)F(x0)0，即f(x)1，符合題意當(dāng)a1時(shí)，h(x0)x0ex0a1a0，h(a)aeaa0，所以存在唯一x1(x0，a)，使得h(x1)0.所以當(dāng)x(x0，x1)時(shí)，h(x)0，即F(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減故F(x1)F(x0)0，即f(x1)1，故a1不符合題意當(dāng)0a1時(shí)，h(x0)x0ex0a1a0，h(0)a0，所以存在唯一x2(0，x0)，使得h(x2)0，所以當(dāng)x(x2，x0)時(shí)，h(x)0，即F(x)0，所以F(x)在(x2，x0)上單調(diào)遞增，故F(x2)F(x0)0，即f(x2)0，故0a1不符合題意當(dāng)a0時(shí)，f1，不符合題意當(dāng)a0時(shí)，若x(0,1)，則f(x)xexaxaln xeaaln x，取x3e(0,1)，則f(e)eaa·1，不符合題意綜上，a的取值范圍為1法三：當(dāng)a0時(shí)，f(x)(xexa)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增令t(x)xln x，則t(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又t10，t(1)10，所以存在唯一x0，使得t(x0)0，即x0ln x00，即x0ex01，故f(x0)x0ex0a(x0ln x0)1，所以任意x(0，x0)，都有f(x)f(x0)1.故a0不符合題意當(dāng)a1時(shí)，f(x)xex(xln x)exln x(xln x)，考察函數(shù)h(x)exx1，則h(x)ex1.所以x0時(shí)，h(x)0；x0時(shí)，h(x)0.所以h(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增故h(x)h(0)0，所以exx1，故f(x)xln x1(xln x)1，故a1符合題意當(dāng)a0且a1時(shí)，考察函數(shù)(x)xln xln a，因?yàn)?x)在(0，)上單調(diào)遞增，且(a)a0，0，所以存在唯一x1，使得x1ln x1ln a，即x1ex1a，所以f(x1)1x1ex1a(x1ln x1)1aaln a1.令G(t)ttln t1，則G(t)ln t，故G(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減故G(t)G(1)0，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)，“”成立所以當(dāng)a(0,1)(1，)時(shí)，aaln a10，即f(x1)10，f(x1)1，故a(0,1)(1，)不符合題意綜上，a的取值范圍是1法四：設(shè)h(x)xln x，x(0，)，易知h(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(0,1)時(shí)，xln x1ln x，所以yxln x在(0,1)上的值域?yàn)?，1)；當(dāng)x1，)時(shí)，yxln x的值域?yàn)?，)所以h(x)xln x的值域?yàn)镽.故對(duì)于R上任意一個(gè)值y0都有唯一的一個(gè)正數(shù)x0，使得y0x0ln x0.因?yàn)閤exaxaln x10，所以exln xa(xln x)10.設(shè)F(t)etat1，tR，所以要使exln xa(xln x)10，只需F(t)min0.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)镕(1)a10，即f(1)1，所以a0不符合題意當(dāng)a0時(shí)，若t(，ln a)，則F(t)eta0，F(xiàn)(t)在(，ln a)上單調(diào)遞減；若t(ln a，)，則F(t)eta0，F(xiàn)(t)在(ln a，)上單調(diào)遞增所以F(t)minF(ln a)aaln a1.設(shè)m(a)aaln a1，a(0，)，則m(a)ln a，當(dāng)a(0,1)時(shí)，m(a)0，m(a)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)a(1，)時(shí)，m(a)0，m(a)在(1，)上單調(diào)遞減所以m(a)maxm(1)0，所以m(a)0，F(xiàn)(t)min0，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立又F(t)0，所以F(t)min0，所以a1.綜上，a的取值范圍為1- 5 -