第44講數(shù)學(xué)歸納法夯實(shí)基礎(chǔ)【p94】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題【基礎(chǔ)檢測(cè)】1一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)nk2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于()A一切正整數(shù)命題成立B一切正奇數(shù)命題成立C一切正偶數(shù)命題成立D以上都不對(duì)【解析】本題證的是對(duì)n1，3，5，7，命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立【答案】B2用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(nN*，n1)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B13C13D12【解析】因n2，故應(yīng)驗(yàn)證n2，應(yīng)選D.【答案】D3用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明n的起始值n0應(yīng)取_【解析】當(dāng)n1時(shí)，21121；當(dāng)n2時(shí)，22<221；當(dāng)n3時(shí)，23<321；當(dāng)n4時(shí)，24<421；而當(dāng)n5時(shí)，25>521.n05.【答案】54設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn_【解析】由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.猜想：Sn.【答案】【知識(shí)要點(diǎn)】1歸納法由一系列有限的_特殊事例_得出_一般性結(jié)論_的推理方法叫做歸納法2數(shù)學(xué)歸納法對(duì)某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性，先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)nk(kN*，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做_數(shù)學(xué)歸納法_3數(shù)學(xué)歸納法證明步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取_第一個(gè)值n0_時(shí)命題成立(歸納遞推)假設(shè)_nk_(kn0，kN*)時(shí)命題成立，再證明當(dāng)_nk1_時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以判定命題對(duì)從_n0_開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立(2)用框圖表示數(shù)學(xué)歸納法的步驟假設(shè)_nk(kn0且kN*)_時(shí)結(jié)論成立，推得_nk1_時(shí)結(jié)論亦成立典例剖析【p94】考點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式設(shè)f(n)1(nN*)用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律；等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)；難點(diǎn)在于尋求等式中nk和nk1時(shí)之間的聯(lián)系考點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式已知Sn1(n>1，nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：S2n>1(n2，nN*)【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，S2nS41>1，即n2時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)命題成立，即S2k1>1，則當(dāng)nk1時(shí)，S2k11>1>111，故當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)和(2)可知，對(duì)n2，nN*，不等式S2n>1都成立【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題：(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明考點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題設(shè)nN*，f(n)3n7n2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù)【解析】(1)代入求出f(1)8，f(2)56，f(3)368. (2)當(dāng)n1時(shí)，f(1)8是8的倍數(shù)，命題成立. 假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)命題成立，即f(k)3k7k2是8的倍數(shù)，那么當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1)，因?yàn)?k1是偶數(shù)，所以4(7k1)是8的倍數(shù)，又由歸納假設(shè)知3(3k7k2)是8的倍數(shù)，所以f(k1)是8的倍數(shù)，所以當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立根據(jù)知命題對(duì)任意nN*成立考點(diǎn)4歸納猜想證明已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snn2an(nN)(1)試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；(2)證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式【解析】(1)anSnSn1(n2)，Snn2(SnSn1)，SnSn1(n2)a11，S1a11，S2，S3，S4，猜想Sn.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，S11，1等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，即Sk.當(dāng)nk1時(shí)，Sk1(k1)2·ak1ak1Skak1，ak1·，Sk1(k1)2·ak1(k1)2·，nk1時(shí)，等式也成立綜上知，對(duì)于任意nN，Sn都成立又ak1，an.【點(diǎn)評(píng)】解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納猜想證明”問(wèn)題及不等式證明時(shí)，有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)歸納整理不到位得不出正確結(jié)果，從而給猜想造成困難(2)證明nk到nk1這一步時(shí)，忽略了假設(shè)條件去證明，造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)歸納法(3)不等式證明過(guò)程中，不能正確合理地運(yùn)用分析法、綜合法來(lái)求證另外需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見(jiàn)的推證技巧，只有這樣，才能快速正確地解決問(wèn)題方法總結(jié)【p95】1數(shù)學(xué)歸納法是專門(mén)證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法它是一種完全歸納法，是對(duì)不完全歸納法的完善2證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是第二步，將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式湊結(jié)論3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是第二步，利用證明不等式的方法(如放縮)把式子化為nk1成立時(shí)的式子4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，在求由“nk到nk1”增加的元素個(gè)數(shù)時(shí)，可以先用不完全歸納法找其變化規(guī)律5由有限個(gè)特殊事例進(jìn)行歸納、猜想，而得出一般性結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法，研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此方法尤為重要，如猜想數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn，解決與自然數(shù)有關(guān)的探索性、開(kāi)放性問(wèn)題等猜想必須準(zhǔn)確，證明必須正確既用到合情推理，又用到演繹推理猜想的準(zhǔn)確與否可用證明來(lái)檢驗(yàn)，否則不妨再分析，再猜想，再證明，猜想是證明的前提，證明可論證猜想的可靠性，二者相輔相成走進(jìn)高考【p95】1(2017·浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明：當(dāng)nN*時(shí)，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0.當(dāng)n1時(shí)，x11>0，假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，xk>0，那么nk1時(shí)，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk1>0，因此xn>0(nN*)，所以xnxn1ln(1xn1)>xn1，因此0<xn1<xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)>xn1得xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，則f(x)2x2ln(1x)ln(1x)0，所以函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，2xn1xn(nN*)(3)因?yàn)閤nxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn，由(2)得2xn1xn，2，22n12n2，故xn，xn(nN*)考點(diǎn)集訓(xùn)【p227】A組題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<n(nN*，n>1)時(shí)，在第二步證明從nk到nk1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k B2k1C2k1 D2k1【解析】因?yàn)?k112k12k，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是2k.【答案】A2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，n的初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9D10【解析】左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.【答案】B3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>(n>2)”的過(guò)程中，由nk到nk1(k>2)時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)C增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)【解析】當(dāng)nk時(shí)左邊的代數(shù)式為，共有k項(xiàng)，當(dāng)nk1時(shí)，左邊的代數(shù)式為，共有k1項(xiàng)，故用nk1時(shí)左邊的代數(shù)式減去nk時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果，即為不等式的左邊增加的項(xiàng)【答案】D4用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n152n1能被8整除”時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)于34(k1)152(k1)1可變形為()A56·34k125B34k152k1C34×34k152×52k1D25【解析】當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)152(k1)134×34k125×52k156·34k125，兩個(gè)表達(dá)式都能被8整除【答案】A5利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(n>1，nN*)的過(guò)程中，用nk1時(shí)左邊的代數(shù)式減去nk時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為_(kāi). 【解析】nk時(shí)，不等式為>，nk1時(shí)，不等式為>，兩式相減后，左邊為.【答案】6設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出證明【解析】(1)當(dāng)n1時(shí)，方程x2a1xa10有一根為S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，方程x2a2xa20有一根為S21a1a21a2，a2a20，解得a2.(2)由題意知(Sn1)2an(Sn1)an0，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論當(dāng)n1時(shí)，S1，結(jié)論成立假設(shè)nk(kN*，k1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk.當(dāng)nk1時(shí)，Sk1.即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立由知Sn對(duì)任意的正整數(shù)n都成立7已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明【解析】(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)<g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)<g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1，2，3時(shí)，不等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)不等式成立即1<，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)<，因?yàn)?lt;0，所以f(k1)<g(k1)由可知，對(duì)一切nN*，都有f(n)g(n)成立B組題1設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立【解析】f(k)k2成立時(shí)，f(k1)(k1)2成立，f(4)16時(shí)，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立【答案】D2設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)_(用n表示)【解析】f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n>4)【答案】5；(n1)(n2)(n>4)3設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)_，f(n)_(n1，nN*)【解析】易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片；n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1個(gè)圓周，為了得到盡可能多的平面區(qū)域，第n1個(gè)圓應(yīng)與前面n個(gè)圓都相交且交點(diǎn)均不同，有n條公共弦，其端點(diǎn)把第n1個(gè)圓周分成2n段，每段都把原來(lái)的每一片劃分成2片，共增加了2n片平面區(qū)域，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，從而f(n)n2n2.【答案】4；n2n24已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an1an·bn1，bn1(nN*)，且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過(guò)點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上【解析】(1)由題意得a11，b11，b2，a21×，P2.直線l的方程為，即2xy1.(2)當(dāng)n1時(shí)，2a1b12×1(1)1成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)，2akbk1成立當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk12ak·bk1bk1·(2ak1)1，當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk11也成立由知，對(duì)于nN*，都有2anbn1，即點(diǎn)Pn都在直線l上11