專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式一、【知識精講】1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan . 平方關(guān)系對任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中k(kZ)2誘導(dǎo)公式一二三四五六2k(kZ)sin sin sin sin cos cos_cos cos cos cos_sin sin tan tan tan tan_誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·(kZ)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變.“符號看象限”指的是在“k·(kZ)”中，將看成銳角時(shí)，“k·(kZ)”的終邊所在的象限.二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin21cos2(1cos )(1cos )；cos21sin2(1sin )(1sin )；(sin ±cos )21±2sin cos .(2)sin tan cos .二、【典例精練】考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】（1）已知sin cos ，且<<，則cos sin ()A.B.C.D.【答案】B【解析】<<，cos <0，sin <0且cos >sin ，cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .（2） (2018·全國卷)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.【答案】【解析】由sin cos 1，cos sin 0，兩式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin().【解法小結(jié)】1.利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例2. (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin ，則sin _.【答案】【解析】與的終邊關(guān)于y軸對稱，則2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .(2)設(shè)f()(12sin 0)，則f_.【答案】【解析】f()，f.【解法小結(jié)】1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.2.含2整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5)cos()cos .考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的活用例3.（1）已知為銳角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，則sin ()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化簡得sin2，則sin (為銳角).（2）(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.【答案】【解析】由題意，得cos，tan.tantan.【解法小結(jié)】1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.2.(1)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響，開方時(shí)先判斷三角函數(shù)值的符號；(2)熟記一些常見互補(bǔ)的角、互余的角，如與互余等.三、【名校新題】1.(2019·平頂山聯(lián)考)已知5，則cos2sin 2()A.B.C.3 D.3【答案】A【解析】由5得5，可得tan 2，則cos2sin 2cos2sin cos .2.（2018黑龍江齊齊哈爾三模）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角都以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由角與角終邊關(guān)于軸對稱知Z，所以.故選A.3.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)若cos，則cos(2)()A.B.C.D.【答案】D【解析】由cos，得sin .cos(2)cos 2(12sin2)2sin212×1.4.（2018河南八市下學(xué)期第一次測評）已知，則（ ）A. B. C. 5 D. 6【答案】A【解析】，故選A.5.(2019·菏澤聯(lián)考)已知，sin，則tan(2)()A.B.±C.±D.【答案】A【解析】，sin，cos ，sin ，tan 2.tan(2)tan 2.6.（2018安徽蕪湖一模）若，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，兩邊平方得，解得或（舍去）.7.(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知(0，)，且cos ，則sin·tan ()A.B.C.D.【答案】C【解析】(0，)，且cos ，sin ，因此sin·tan cos ·sin .8.(2019·衡水模擬)已知直線2xy10的傾斜角為，則sin 22cos2()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意知tan 2，sin 22cos2.9.(2019·淮南十校聯(lián)考)已知sin，則cos的值為()A B.C. D【答案】A【解析】sin，coscossin.10.(2019·邯鄲一模)若sin()3sin()，且，則_.【答案】2【解析】由條件，得sin()3sin()，sin cos 2cos sin ，則tan 2tan ，因此2.11.(2019·武昌調(diào)研)若tan cos ，則cos4_.【答案】2【解析】tan cos cos sin cos2，故cos4cos4sin cos4sin sin2sin2sin 1sin2cos21112.12.（2019年荊州市八校高三第一次聯(lián)考）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0618，這一數(shù)值也可表示為 若，則【答案】【解析】，所以13.（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試）已知，則【答案】【解析】14.（2019年合肥二模）若，則_.【答案】-49【解析】由已知得，cos=，cos2=2×132-1=-79，-79+13=-4915（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）若，則_ 【答案】【解析】由cos+4=13，得sin2=-cos2+4=-2cos2+4-1=-29-1=79,因?yàn)?<<2，cos=cos+4-4=2213+223=2+46，cos2=2×2+462-1=429，由sin2+4=33，得cos=sin22+4=2sin2+4cos2+4=2×33×63=223，因-2<<0，sin=-1-2232=-13，cos2+=cos2cos-sin2sin=429×223-79×-13=2327.16.（2019棗莊模擬）已知cos6-=1，則cos56+sin23-=_【答案】0【解析】cos56+=-cos6-=- ，sin23-=sin2+6-=cos6-=，所以原式=08