第70練 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 基礎(chǔ)保分練1.(2018·南京模擬)已知橢圓1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi).2.橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).3.已知橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N為MF1的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON_.4.(2019·鎮(zhèn)江模擬)已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且F1F22，若PF1與PF2的等差中項(xiàng)為F1F2，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).5.在平面直角坐標(biāo)系中，A(4,0)，B(4,0)，且，則ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi).6.已知點(diǎn)M(，0)，橢圓y21與直線(xiàn)yk(x)交于點(diǎn)A，B，則ABM的周長(zhǎng)為_(kāi).7.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為_(kāi).8.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn).在A(yíng)F1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi).9.(2018·泰州模擬)已知橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為4，則m_.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，B(0，1)，則PAPB的最大值為_(kāi).能力提升練1.P為橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，PF的最大值為5，最小值為1，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為_(kāi).2.已知P為橢圓y21上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則PF1·PF2的最大值為_(kāi).3.已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A(yíng)，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則橢圓E的方程為_(kāi).4.(2018·南通模擬)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則|·|的取值范圍是_.5.已知橢圓1(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,1)，若橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2的面積為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.6.橢圓1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)BF與直線(xiàn)xy30垂直，垂足為M，且點(diǎn)B為線(xiàn)段MF的中點(diǎn)，則該橢圓方程為_(kāi).答案精析基礎(chǔ)保分練1.32.13.44.1或15.1(y0)6.87.解析橢圓1中，a3，b，c2，由橢圓的定義可得PF1PF22a6，由中位線(xiàn)定理可得PF2x軸，令x2，可得y±·±，即有PF2，PF16，則.8.69.1310.5解析因?yàn)闄E圓方程為1，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為B(0，1)和B(0,1)，連結(jié)PB，AB，根據(jù)橢圓的定義，得PBPB2a4，可得PB4PB，因?yàn)镻APBPA(4PB)4(PAPB).因?yàn)镻APBAB，所以PAPB4AB415.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，PAPB的最大值為5.能力提升練1.2解析F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，所以PF的最大值為ac5，PF的最小值為ac1，所以a3，c2，所以短軸長(zhǎng)為2b22.2.4解析由橢圓y21，可得a2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn).由橢圓的定義，得PF1PF22a，設(shè)PF1m，PF2n，即mn2a4，所以mn2，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào).所以mn4，即PF1·PF2的最大值為4.故答案為4.3.1解析因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線(xiàn)AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1，消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，c29，所以b29，a218，即橢圓E的方程為1.4.3,4解析由橢圓定義，知|4，且橢圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，所以1|3.令|t，則|4t.令f(t)|·|t(4t)t24t，t1,3，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(t)在t2處取得最大值，即f(t)maxf(2)224×24，函數(shù)f(t)在t1或t3處取得最小值，由于f(1)f(3)3，故f(t)min3，即|·|的取值范圍是3,4.5.(±，0)解析由題意知焦點(diǎn)在y軸上，所以a23，b2m，由b2a2c22，得m2，由SF1F2×|xP|，得xP±，代入橢圓方程得yP0，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±，0).6.1解析設(shè)F(c,0)，B(0，b)，因?yàn)橹本€(xiàn)BF與xy30垂直，得kBF1，即bc，又點(diǎn)B為線(xiàn)段MF的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(b,2b)，代入直線(xiàn)xy30，可得bc，又a2b2c2，則a2，所以橢圓方程為1，故答案為1.6