第8講曲線與方程一、選擇題1.方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線解析原方程可化為或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線.答案D2.(2017·衡水模擬)若方程x21(a是常數(shù))，則下列結論正確的是()A.任意實數(shù)a方程表示橢圓B.存在實數(shù)a方程表示橢圓C.任意實數(shù)a方程表示雙曲線D.存在實數(shù)a方程表示拋物線解析當a>0且a1時，方程表示橢圓，故選B.答案B3.(2017·長春模擬)設圓(x1)2y225的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ的垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡是以定點C，A為焦點的橢圓.a，c1，則b2a2c2，M的軌跡方程為1.答案D4.設點A為圓(x1)2y21上的動點，PA是圓的切線，且|PA|1，則點P的軌跡方程是()A.y22x B.(x1)2y24C.y22x D.(x1)2y22解析如圖，設P(x，y)，圓心為M(1，0)，連接MA，則MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.答案D5.平面直角坐標系中，已知兩點A(3，1)，B(1，3)，若點C滿足12(O為原點)，其中1，2R，且121，則點C的軌跡是()A.直線 B.橢圓C.圓 D.雙曲線解析設C(x，y)，因為12，所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即解得又121，所以1，即x2y5 ，所以點C的軌跡為直線，故選A.答案A二、填空題6.已知兩定點A(2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為_.解析設P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2，0)為圓心，半徑為2的圓.即軌跡所包圍的面積等于4.答案47.已知點A(1，0)，直線l：y2x4，點R是直線l上的一點，若，則點P的軌跡方程為_.解析設P(x，y)，R(x1，y1)，由知，點A是線段RP的中點，即點R(x1，y1)在直線y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.答案y2x8.在ABC中，|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|2，則頂點A的軌跡方程為_.解析以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E，F(xiàn)分別為兩個切點.則|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2|BC|4，點A的軌跡為以B，C的焦點的雙曲線的右支(y0)且a，c2，b，軌跡方程為1(x).答案1(x)三、解答題9.如圖所示，動圓C1：x2y2t2，1<t<3，與橢圓C2：y21相交于A，B，C，D四點，點A1，A2分別為C2的左、右頂點.求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.解由橢圓C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)，由曲線的對稱性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)，設點M的坐標為(x，y)，直線AA1的方程為y(x3).直線A2B的方程為y(x3).由得y2(x29).又點A(x0，y0)在橢圓C上，故y1.將代入得y21(x<3，y<0).因此點M的軌跡方程為y21(x<3，y<0).10.(2017·廣州模擬)已知點C(1，0)，點A，B是O：x2y29上任意兩個不同的點，且滿足·0，設P為弦AB的中點.(1)求點P的軌跡T的方程；(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由.解(1)連接CP，OP，由·0，知ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂徑定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，設點P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化簡，得x2xy24.(2)存在.根據(jù)拋物線的定義，到直線x1的距離等于到點C(1，0)的距離的點都在拋物線y22px(p0)上，其中1.p2，故拋物線方程為y24x，由方程組得x23x40，解得x11，x24，由x0，故取x1，此時y±2.故滿足條件的點存在，其坐標為(1，2)和(1，2).11.已知ABC的頂點A(5，0)，B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x>3) D.1(x>4)解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826<10|AB|，根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支(y0)，方程為1(x>3).答案C12.已知兩點M(2，0)，N(2，0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|·|·0，則動點P(x，y)的軌跡方程為()A.y28x B.y28xC.y24x D.y24x解析(4，0)，(x2，y)，(x2，y).|4，|，·4(x2).根據(jù)已知條件得44(2x).整理得y28x.點P的軌跡方程為y28x.答案B13.如圖，P是橢圓1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，且，則動點Q的軌跡方程是_.解析由于，又22，設Q(x，y)，則，即P點坐標為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案114.(2016·全國卷)已知拋物線C：y22x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.解由題設F，設l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.(1)證明由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以 ARFQ.(2)設過AB的直線為l，設l與x軸的交點為D(x1，0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題設可得|ba|，所以x11，x10(舍去).設滿足條件的AB的中點為E(x，y).當AB與x軸不垂直時，由kABkDE可得(x1).而y，所以y2x1(x1).當AB與x軸垂直時，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2x1.6