第34講 基本不等式 1.2018·山西懷仁一中、應縣一中聯(lián)考 下列不等式一定成立的是()A.x2+14>x(x>0)B.x2+12|x|(xR)C.sinx+1sinx2(xk,kZ)D.1x2+1>1(xR)2.2018·浙江紹興上虞區(qū)模擬 已知x>1,則函數(shù)y=x+1x-1的最小值是()A.1B.2C.3D.43.2018·黑龍江青岡一中月考 已知a,b>0,且a+b=1,則1a+1b的最小值為()A.2B.4C.6D.14.2018·臨沂三模 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則(a+b)2cd的最小值是. 5.正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是. 6.2018·貴州凱里一中月考 函數(shù)f(x)=x2+4|x|的最小值為()A.3B.4C.6D.87.2018·河北張家口模擬 已知點P(x,y)在經過A(3,0),B(1,1)兩點的直線上,則2x+4y的最小值為()A.22B.42C.16D.不存在8.2018·安徽亳州渦陽一中月考 設函數(shù)f(x)=|lgx|,若存在實數(shù)0<a<b,滿足f(a)=f(b),則M=log2a2+b28,N=log21a+b2,Q=ln1e2的大小關系為()A.M>N>QB.M>Q>NC.N>Q>MD.N>M>Q9.2018·唐山遷安三中月考 設x,y均為正實數(shù),且32+x+32+y=1,則xy的最小值為()A.4B.43C.9D.1610.2018·衡水模擬 已知p:x>0,x2+ax2x2+1<1,若􀱑p為真命題,則實數(shù)a的最小值為()A.2B.3C.4D.511.2018·天津濱海新區(qū)八校聯(lián)考 已知a>b>0,且ab=1,那么當a2+b2a-b取最小值時,b=. 12.2018·成都診斷 某工廠需要建造一個倉庫,根據(jù)市場調研分析可知,運費與工廠和倉庫之間的距離成正比,倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比,當工廠和倉庫之間的距離為4千米時,運費為20萬元,倉儲費為5萬元,則當工廠和倉庫之間的距離為千米時,運費與倉儲費之和最小,最小為萬元. 13.正數(shù)a,b滿足1a+9b=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是. 14.(1)當x<32時,求函數(shù)y=x+82x-3的最大值;(2)設0<x<2,求函數(shù)y=x(4-2x)的最大值.15.某學校為了支持生物課程基地研究植物生長,計劃利用學校空地建造一間室內面積為900m2的矩形溫室,在溫室內劃出三塊全等的矩形區(qū)域,分別種植三種植物,相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內墻各保留1m寬的通道,左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內墻保留3m寬的通道,如圖K34-1.設矩形溫室的室內長為x(單位:m),三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位:m2).(1)求S關于x的函數(shù)關系式;(2)求S的最大值.圖K34-116.2018·天津河北區(qū)二模 若正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,則1a-1+9b-1的最小值為()A.1B.6C.9D.1617.2018·河南南陽模擬 若不等式a2+b22+1m(a+b)對任意正數(shù)a,b恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為. 5課時作業(yè)(三十四)1.B解析 分別令x=12,x=0,可排除A,D.當xk,kZ時,sinx(-1,0)(0,1),不滿足基本不等式的條件,排除C.故選B.2.C解析 由x>1,得x-1>0,y=x+1x-1=x-1+1x-1+12(x-1)·1x-1+1=3,當且僅當x=2時取等號,故y=x+1x-1的最小值為3,故選C.3.B解析 由題意a,b>0,a+b=1,則1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2ba·ab=4,當且僅當ba=ab,即a=b=12時等號成立,故1a+1b的最小值為4,故選B.4.4解析x,a,b,y成等差數(shù)列,a+b=x+y.x,c,d,y成等比數(shù)列,cd=xy.又x>0,y>0,(a+b)2cd=(x+y)2xy=yx+xy+24,當且僅當x=y時取等號.(a+b)2cd的最小值是4.5.9,+)解析a,b是正數(shù),ab=a+b+32ab+3,當且僅當a=b=3時等號成立,ab3,即ab9.6.B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|24=4,當且僅當x=±2時等號成立,故選B.7.B解析 由題意可得直線AB的方程為x+2y=3,2x+4y=2x+22y22x·22y=22x+2y=223=42當且僅當x=2y=32時取“=”.故選B.8.B解析f(a)=f(b),|lga|=|lgb|,又0<a<b,lga+lgb=0,即ab=1.1a+b2=1a+b+2=1a+1a+2<12+2=14,N=log21a+b2<-2.a2+b28>ab4=14,M=log2a2+b28>-2,又Q=ln1e2=-2,M>Q>N.故選B.9.D解析 將等式化簡可得xy-8=x+y2xy,當且僅當x=y時等號成立,得xy4,所以xy16,所以xy的最小值為16,故選D.10.A解析 易知p:x0>0,x02+ax02x02+11,即“x0>0,ax02+1x0=x0+1x0”為真命題,又x>0時,y=x+1x2,當且僅當x=1時等號成立,可知a2,故實數(shù)a的最小值為2.故選A.11.6-22解析 由a>b>0且ab=1,知a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b22,當且僅當a-b=2時取等號,此時1b-b=2,解得b=6-22舍去-6-22.12.220解析 設工廠和倉庫之間的距離為x千米,運費為y1萬元,倉儲費為y2萬元,則y1=k1x(k10,x>0),y2=k2x(k20,x>0).當工廠和倉庫之間的距離為4千米時,運費為20萬元,倉儲費為5萬元,k1=5,k2=20,運費與倉儲費之和為5x+20x萬元.x>0,5x+20x25x·20x=20,當且僅當5x=20x,即x=2時等號成立,即當工廠和倉庫之間的距離為2千米時,運費與倉儲費之和最小,最小為20萬元.13.6,+)解析 因為a>0,b>0,1a+9b=1,所以a+b=(a+b)·1a+9b=10+ba+9ab10+29=16,當且僅當b=3a=12時等號成立.由題意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m對任意實數(shù)x恒成立,又x2-4x-2=(x-2)2-6的最小值為-6,所以-6-m,即m6.14.解:(1)y=x+82x-3=12(2x-3)+82x-3+32=-3-2x2+83-2x+32.當x<32時,有3-2x>0,3-2x2+83-2x23-2x2·83-2x=4,當且僅當3-2x2=83-2x,即x=-12時取等號.于是y-4+32=-52,故函數(shù)的最大值為-52.(2)0<x<2,2-x>0,y=x(4-2x)=2·x(2-x)2·x+2-x2=2,當且僅當x=2-x,即x=1時取等號,當0<x<2時,函數(shù)y=x(4-2x)的最大值為2.15.解:(1)由題設,得S=(x-8)900x-2=-2x-7200x+916,x(8,450).(2)因為8<x<450,所以2x+7200x22x·7200x=240,當且僅當2x=7200x,即x=60時等號成立,從而S-240+916=676.故當矩形溫室的室內長為60m時,三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大,最大為676m2.16.B解析正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,b=aa-1>0,解得a>1.1a-1+9b-1=1a-1+9aa-1-1=1a-1+9(a-1)29(a-1)·1a-1=6,當且僅當9(a-1)=1a-1,即a=43,b=4時等號成立,1a-1+9b-1的最小值為6.故選B.17.(-,1解析不等式a2+b22+1m(a+b)對任意正數(shù)a,b恒成立,ma2+b2+22(a+b)對任意正數(shù)a,b恒成立,a2+b2+22(a+b)(a+b)22+22(a+b)=a+b4+1a+b2a+b4·1a+b=1,當且僅當a=b=1時取等號,m1,即實數(shù)m的取值范圍為(-,1.