專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、【知識精講】1命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系圖1­2­1(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件與必要條件(1)若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若pq，且qp，則p是q的充分不必要條件；(3)若pq且qp，則p是q的必要不充分條件；(4)若pq，則p是q的充要條件；(5)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件知識拓展集合與充要條件設(shè)集合Ax|x滿足條件p，Bx|x滿足條件q，則有：(1)若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件(2)若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件(3)若AB，則p是q的充要條件二、【典例精練】例1.(2019·菏澤模擬)有以下命題：“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“面積相等的兩個三角形全等”的否命題；“若m1，則x22xm0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；“若ABB，則AB”的逆否命題其中真命題是()ABC D【答案】D【解析】原命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”，是真命題；若m1，44m0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；由ABB，得BA，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故正確【方法小結(jié)】1由原命題寫出其他三種命題的方法由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進(jìn)行否定即得逆否命題例2 (1)(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件例2.(2018·天津高考)設(shè)xR，則“”是“x31”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】 (1)A(2)A【解析】(1)法一由題意知|m|0，|n|0.設(shè)m與n的夾角為.若存在負(fù)數(shù)，使得mn，則m與n反向共線，180°，m·n|m|n|cos |m|n|<0.當(dāng)90°<<180°時，m·n<0，此時不存在負(fù)數(shù)，使得mn.故“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的充分而不必要條件故選A法二mn，m·nn·n|n|2.當(dāng)<0，n0時，m·n<0.反之，由m·n|m|n|cosm，n<0cosm，n<0m，n，當(dāng)m，n時，m，n不共線故“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的充分而不必要條件故選A(2) 由，得0x1，則0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，當(dāng)x0時，即“x31” “”所以“”是“x31”的充分而不必要條件【方法小結(jié)】充分條件、必要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.例3.已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，則m的取值范圍是_【答案】0,3【解析】由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.則所以0m3.所以當(dāng)0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3【方法小結(jié)】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象三、【名校新題】1(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是()A若x21，則x1或x1B若1<x<1，則x2<1C若x>1或x<1，則x2>1D若x1或x1，則x21【答案】D【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若¬q,則¬p”的形式，所以“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是“若x1或x1，則x21”2.(2019·湖北八校聯(lián)考)若a，b，c，dR，則“adbc”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)a1，b0，c3，d4時，adbc，但此時a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當(dāng)a，b，c，d依次成等差數(shù)列時，由等差數(shù)列的性質(zhì)知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.3.(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()Am> B0<m<1Cm>0 Dm>1【答案】C【解析】若不等式x2xm>0在R上恒成立，則(1)24m<0，解得m>，因此當(dāng)不等式x2xm>0在R上恒成立時，必有m>0，但當(dāng)m>0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.4（蚌埠一中2019屆高三考試題）已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由條件得a>b,不能得到；反之，由得a>b,a>b,從而2a>2b不成立。5.（滁州市2019屆高三統(tǒng)考題）若為實(shí)數(shù)，則“”是的（）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由條件知a,b同號。當(dāng)a,b都為正時，可得a<1b；當(dāng)a,b都為負(fù)時，可得b>1a。反之，a,b可能異號，所以ab<0.故選A6.（安徽肥東一中2019屆高三考試題）若，是兩個非零的平面向量，則“”是“”的（）A. 充分且不必要條件 B. 必要且不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】a2=b2a=b7（黃山市2019屆高三八校聯(lián)考）“”是“直線的傾斜角大于”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)a<-1,直線斜率大于1，所以傾斜角大于4；反之，當(dāng)直線傾斜角大于4時，若大于2，則斜率小于0，a大于0.故選A8（福建長汀、連城等六校2019屆高三聯(lián)考）下列關(guān)于命題的說法錯誤的是（）A. 命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；B. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件；C. 若命題，則；D. 命題“”是假命題.【答案】C【解析】按照原命題與逆否命題的定義，知A正確；“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充要條件是a>1，“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B正確；對于D，x-,0,2x>3x,D正確；對于C，命題的否定形式錯了。9（2019年荊州市高三八校聯(lián)考）下列有關(guān)命題的說法正確的是（）A，使得成立B命題：任意，都有，則：存在，使得C命題“若且，則且”的逆命題為真命題D若數(shù)列是等比數(shù)列，則是的必要不充分條件【答案】D【解析】選項(xiàng)A，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最小值3，故A錯誤；選項(xiàng)B，：存在，使得，所以B錯誤選項(xiàng)C，逆命題為：“若且，則且”當(dāng)時，滿足且，但不滿足且，所以C錯誤選項(xiàng)D，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，反過來，若數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)公比為1時，不能推出，故D正確10.（合肥一六八中學(xué)2019屆高三上學(xué)期周考試題）以下有關(guān)命題的說法錯誤的是（）A. 命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B. “”是“”成立的必要不充分條件C. 對于命題，使得，則，均有D. 若為真命題，則與至少有一個為真命題【答案】D【解析】若p真q假，則為真，但與都是假命題，所以D錯11（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)ab時，ab=±ab,所以A正確。12（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）下列命題正確的個數(shù)是( )“在三角形ABC中，若sinAsinB，則AB”的逆命題是真命題；命題p：x2或y3，命題q：x+y5則p是q的必要不充分條件；“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；“若ab，則2a2b1”的否命題為“若ab，則2a2b1”A1B2C3D4【答案】C【解析】正確13.（合肥市2019屆高三一模（理科）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對實(shí)數(shù)，“”是“”的( ).A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因fx是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，a>ba>b,所以有fa>fb;反之可得a>b，得不出a>b，故A正確14. （合肥市2019屆高三一模（文科）已知函數(shù)，對于實(shí)數(shù)，“”是“”的( ).A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)fx是奇函數(shù)且在R上增，所以C正確15.（2019年皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考）設(shè)為正數(shù)，則“”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)a+b>c,取a=b=2,c=3,則a2+b2=8,c2=9,8<9,所以a2+b2>c2不成立；當(dāng)a2+b2>c2時，若a+bc，則0<ac<10<bc<1ac2+bc2<ac+bc1，故由原命題與逆否命題的關(guān)系知：逆命題正確。故選B16.(2019·齊魯名校調(diào)研)給出下列說法：“若xy，則sin xcos y”的逆命題是假命題；“在ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題；“a1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件；命題“若x<1，則x22x3>0”的否命題為“若x1，則x22x30”以上說法正確的是_(填序號)【答案】【解析】對于，“若xy，則sin xcos y”的逆命題是“若sin xcos y，則xy”，當(dāng)x0，y時，有sin xcos y成立，但xy，故逆命題為假命題，正確；對于，在ABC中，由正弦定理得sin B>sin Cb>cB>C，正確；對于，“a±1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件，故錯誤；對于，根據(jù)否命題的定義知正確17.（合肥市2019屆高三二模）若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是 【答案】【解析】逆命題成立，所以18.（南京市2019屆高三第一學(xué)期綜合模擬）已知四邊形為梯形, ,為空間一直線,則“垂直于兩腰”是“垂直于兩底”的條件(填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一個).【答案】充分不必要【解析】因?yàn)閘是空間任一直線，ABCD是梯形，所以AD,BC不平行，若l與兩腰都平行，則l必與平面ABCD平行，從而l也與AB,CD平行，所以原命題正確；但當(dāng)l與AB,CD垂直時，因AB與CD平行，顯然不能推出l與兩腰都垂直，所以逆命題不成立。故填充分不必要條件。8