1.6推理與證明命題角度1合情推理與演繹推理高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)·5)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?)A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A解析若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,即甲的成績(jī)比乙高,丙的成績(jī)比乙低,故三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、?若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意.若丙預(yù)測(cè)正確,則甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,即丙的成績(jī)比乙高,乙的成績(jī)比甲高,即丙的成績(jī)比甲、乙都高,即乙的預(yù)測(cè)也正確,不合題意,故選A.2.(2017全國(guó)·12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110答案A解析設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為第1組,接下來(lái)兩項(xiàng)為第2組,再接下來(lái)三項(xiàng)為第3組,以此類推,設(shè)第n組的項(xiàng)數(shù)為n,則前n組的項(xiàng)數(shù)和為n(1+n)2.第n組的和為1-2n1-2=2n-1,前n組總共的和為2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由題意,N>100,令n(1+n)2>100,得n14且nN*,即N出現(xiàn)在第13組之后.若要使最小整數(shù)N滿足:N>100且前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則SN-Sn(1+n)2應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故選A.3.(2016全國(guó)·15)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是. 答案1和3解析由丙說(shuō)的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說(shuō)的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時(shí)與甲說(shuō)的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說(shuō)的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時(shí)與甲說(shuō)的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.4.(2015山東·11)觀察下列各式:C10=40;C30+C31=41;C50+C51+C52=42;C70+C71+C72+C73=43;照此規(guī)律,當(dāng)nN*時(shí),C2n-10+C2n-11+C2n-12+C2n-1n-1=. 答案4n-1解析觀察各式有如下規(guī)律:等號(hào)左側(cè)第n個(gè)式子有n項(xiàng),且上標(biāo)分別為0,1,2,n-1,第n行每項(xiàng)的下標(biāo)均為2n-1.等號(hào)右側(cè)指數(shù)規(guī)律為0,1,2,n-1.所以第n個(gè)式子為C2n-10+C2n-11+C2n-12+C2n-1n-1=4n-1.典題演練提能·刷高分1.(2019重慶巴蜀中學(xué)高三模擬)某演繹推理的“三段”分解如下:函數(shù)f(x)=lg x是對(duì)數(shù)函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)是增函數(shù);函數(shù)f(x)=lg x是增函數(shù),則按照演繹推理的三段論模式,排序正確的是()A.B.C.D.答案C解析函數(shù)f(x)=lgx是對(duì)數(shù)函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)是增函數(shù);函數(shù)f(x)=lgx是增函數(shù),大前提是,小前提是,結(jié)論是.故排列的次序應(yīng)為:,故選C.2.(2019遼寧朝陽(yáng)高三四模)甲,乙,丙,丁四名學(xué)生,僅有一人閱讀了語(yǔ)文老師推薦的一篇文章.當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)閱讀了該篇文章時(shí),甲說(shuō):“丙或丁閱讀了”;乙說(shuō):“丙閱讀了”;丙說(shuō):“甲和丁都沒(méi)有閱讀”;丁說(shuō):“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學(xué)生中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的,那么讀了該篇文章的學(xué)生是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B解析若甲閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章,則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì),不滿足題意;若乙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章,則甲、乙說(shuō)的都不對(duì),丙、丁都正確,滿足題意;若丙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章,則甲、乙、丙說(shuō)的都對(duì),丁說(shuō)的不對(duì),不滿足題意;若丁閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章,則甲說(shuō)的對(duì),乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì),不滿足題意;故選B.3.有下列各式:1+12+13>1,1+12+13+17>32,1+12+13+115>2,則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為. 答案1+12+13+12n+1-1>n+12(nN*)解析觀察各式左邊為1n的和的形式,項(xiàng)數(shù)分別為3,7,15,可猜想第n個(gè)式子中左邊應(yīng)有2n+1-1項(xiàng),不等式右邊分別寫成22,32,42,猜想第n個(gè)式子中右邊應(yīng)為n+12,按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為:1+12+13+12n+1-1>n+12(nN*).4.某公司招聘員工,有甲、乙、丙三人應(yīng)聘并進(jìn)行面試,結(jié)果只有一人被錄用,當(dāng)三人被問(wèn)到誰(shuí)被錄用時(shí),甲說(shuō):丙沒(méi)有被錄用;乙說(shuō):我被錄用;丙說(shuō):甲說(shuō)的是真話.事實(shí)證明,三人中只有一人說(shuō)的是假話,那么被錄用的人是. 答案甲解析如果甲說(shuō)假話,則丙被錄用,那么乙也說(shuō)假話了,與題設(shè)矛盾;如果乙說(shuō)假話,則乙沒(méi)有被錄用,丙也沒(méi)有被錄用,則甲被錄用,滿足題意;如果丙說(shuō)假話,則甲也說(shuō)了假話,與題設(shè)矛盾.綜上所述,被錄用的是甲.5.(2019陜西榆林高三一模)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法,可以求出過(guò)點(diǎn)A(-2,3)且法向量為n=(4,-1)的直線(點(diǎn)法式)方程為4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化簡(jiǎn)得4x-y+11=0.類比以上方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3,4)且法向量為m=(-1,-2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為. 答案x+2y-z-4=0解析類比直線方程的求法,利用空間向量的數(shù)量積可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,化簡(jiǎn)得x+2y-z-4=0.故答案為:x+2y-z-4=0.6.如圖所示,將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)上標(biāo)簽:原點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0,記為a0;點(diǎn)(1,0)處標(biāo)數(shù)字1,記為a1;點(diǎn)(1,-1)處標(biāo)數(shù)字0,記為a2;點(diǎn)(0,-1)處標(biāo)數(shù)字-1,記為a3;點(diǎn)(-1,-1)處標(biāo)數(shù)字-2,記為a4;點(diǎn)(-1,0)處標(biāo)數(shù)字-1,記為a5;點(diǎn)(-1,1)處標(biāo)數(shù)字0,記為a6;點(diǎn)(0,1)處標(biāo)數(shù)字1,記為a7;以此類推,格點(diǎn)坐標(biāo)為(i,j)的點(diǎn)處所標(biāo)的數(shù)字為i+j(i,j均為整數(shù)),記Sn=a1+a2+an,則S2 018=. 答案-249解析設(shè)an坐標(biāo)為(x,y),由歸納推理可知,an=x+y,第一圈從(1,0)點(diǎn)到(1,1)點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn),由對(duì)稱性可得a1+a2+a8=0;第二圈從點(diǎn)(2,1)到(2,2)共16個(gè)點(diǎn),由對(duì)稱性可得a9+a24=0,第n圈共有8n個(gè)點(diǎn),這8n項(xiàng)和也為零,設(shè)a2018在第n圈,則Sn=8+16+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2024個(gè)數(shù),S2024=0,S2018=S2024-(a2024+a2023+a2019),a2024所在點(diǎn)坐標(biāo)為(22,22),a2024=22+22,a2023所在點(diǎn)坐標(biāo)為(21,22),a2023=21+22,a2022=20+22,a2021=19+22,a2020=18+22,a2019=17+22,可得a2024+a2019=249,S2018=0-249=-249,故答案為-249.命題角度2直接證明與間接證明高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向(2014山東·4)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A解析因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒(méi)有,所以要做的假設(shè)是方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根.典題演練提能·刷高分1.設(shè)m,n,t都是正數(shù),則m+4n,n+4t,t+4m三個(gè)數(shù)()A.都大于4B.都小于4C.至少有一個(gè)大于4D.至少有一個(gè)不小于4答案D解析依題意,令m=n=t=2,則三個(gè)數(shù)為4,4,4,排除A,B,C選項(xiàng),故選D.2.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的正確假設(shè)為()A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)答案B解析“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”說(shuō)明有且只有一個(gè)是偶數(shù),其否定是“自然數(shù)a,b,c均為奇數(shù)或自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)”.故選B.3.已知p3+q3=2,求證p+q2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q>2;設(shè)a為實(shí)數(shù),f(x)=x2+ax+a,求證|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不小于12,用反證法證明時(shí)可假設(shè)|f(1)|12,且|f(2)|12,以下說(shuō)法正確的是()A.與的假設(shè)都錯(cuò)誤B.與的假設(shè)都正確C.的假設(shè)正確,的假設(shè)錯(cuò)誤D.的假設(shè)錯(cuò)誤,的假設(shè)正確答案C解析用反證法證明時(shí),假設(shè)命題為假,應(yīng)為全面否定,所以p+q2的假命題應(yīng)為p+q>2,故的假設(shè)正確;|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不小于12的否定為|f(1)|與|f(2)|中都小于12,故的假設(shè)錯(cuò)誤,故選C.命題角度3數(shù)學(xué)歸納法高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向(全國(guó)卷不考)典題演練提能·刷高分1.用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=1n+1+1n+2+13n+1>2524(nN*)的過(guò)程中:假設(shè)n=k(kN*)時(shí),不等式f(k)>2524成立,則需證當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)>2524也成立,則f(k+1)-f(k)=()A.13k+4B.13k+4-1k+1C.13k+2+13k+4-23k+3D.13k+2+13k+3+13k+4答案C解析f(k+1)-f(k)=1(k+1)+1+1(k+1)+2+13(k+1)+1-1k+1-1k+1+1+-13k+1=-1k+1+13k+4+13k+3+13k+2=13k+4+13k+2-23k+3.故選C.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n×1×3××(2n-1)(nN*)時(shí),從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)增加的代數(shù)式為. 答案2(2k+1)解析首先寫出當(dāng)n=k時(shí)和n=k+1時(shí)等式左邊的式子.當(dāng)n=k時(shí),左邊等于(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(2k),當(dāng)n=k+1時(shí),左邊等于(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),從n=k到n=k+1的證明,左邊需增加的代數(shù)式是由得到(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1).9