階段自測(cè)卷(六)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2019·四川診斷)拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.B(0,1)C(1,0) D.答案C解析拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線y24x得2p4，解得p2，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，故選C.2(2019·撫州七校聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(2,1)且與直線3x2y0垂直的直線方程為()A2x3y10B2x3y70C3x2y40D3x2y80答案B解析設(shè)要求的直線方程為2x3ym0，把點(diǎn)(2,1)代入可得43m0，解得m7.可得要求的直線方程為2x3y70，故選B.3(2019·陜西四校聯(lián)考)直線axby0與圓x2y2axby0的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不能確定答案B解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得22，圓心坐標(biāo)為，半徑r，圓心到直線axby0的距離dr，圓與直線的位置關(guān)系是相切故選B.4(2018·山西四校聯(lián)考)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2，點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3，則雙曲線C的離心率e為()A.B.C.D.答案B解析右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2，F(xiàn)(c,0)到y(tǒng)x的距離為2，即2，又b>0，c>0，a2b2c2，b2.點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3，c3，a，離心率e.5(2019·涼山診斷)已知雙曲線E的漸近線方程是y±2x，則E的離心率為()A.或2B.C.D.或答案D解析當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，依題意得2，故雙曲線的離心率為e.當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，依題意得2，即，故雙曲線的離心率為e.故選D.6(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.y21D.1答案D解析由橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，得，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，即2a2c6，解得a2，c1，則b，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故選D.7若雙曲線1(a>0，b>0)上存在一點(diǎn)P滿足以|OP|為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析由條件，得|OP|22ab，又P為雙曲線上一點(diǎn)，從而|OP|a，2aba2，2ba，又c2a2b2a2a2，e.8(2019·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，若AF1AF2，2，則橢圓C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析由題意，過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，且AF1AF2，且2，則可知|OA|c，設(shè)A(x，y)，則xccos30°c，ycsin30°c，即A，代入橢圓的方程可得1，又由2，得S×2c×cc22，解得c24，且c2a2b2，所以a26，b22，所以橢圓的方程為1，故選A.9(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知點(diǎn)M(x，y)是拋物線y24x上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A3B4C5D6答案A解析因?yàn)楸硎军c(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(1,0)的距離，即點(diǎn)M(x，y)到拋物線y24x的準(zhǔn)線x1的距離，因?yàn)楸硎军c(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)A(2,1)的距離，所以的最小值為點(diǎn)A(2,1)到拋物線y24x的準(zhǔn)線x1的距離3，即()min3.故選A.10(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知y24x的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)Q，焦點(diǎn)為F，過(guò)Q且斜率大于0的直線交y24x于A，B，兩點(diǎn)AFB60°，則|AB|等于()A.B.C4D3答案B解析設(shè)A(x1,2)，B(x2,2)，x2>x1>0，因?yàn)閗QAkQB，即，整理化簡(jiǎn)得x1x21，|AB|2(x2x1)2(22)2，|AF|x11，|BF|x21，代入余弦定理|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60°，整理化簡(jiǎn)得，x1x2，又因?yàn)閤1x21，所以x1，x23，|AB|，故選B.11(2019·成都七中診斷)設(shè)拋物線C：y212x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在l上，且(>0)，若|MF|4，則等于()A.B2C.D3答案D解析如圖，過(guò)M向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為M，根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義得，又|MF|4，|MM|4，又|FF|6，3.故選D.12(2019·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)已知橢圓1(a>b>0)與雙曲線1(m>0，n>0)具有相同焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且在第一象限交于點(diǎn)P，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，若F1PF2，則ee的最小值是()A.B2C.D.答案A解析根據(jù)題意，可知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2m，解得|PF1|am，|PF2|am，根據(jù)余弦定理，可知(2c)2(am)2(am)22(am)(am)cos，整理得c2，所以ee11(當(dāng)且僅當(dāng)a2m2時(shí)取等號(hào))，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)若橢圓C的方程為1，則其離心率為_答案解析根據(jù)橢圓方程得到a2，b，c1，e.14(2019·南昌八一中學(xué)、洪都中學(xué)聯(lián)考)若F1，F(xiàn)2是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則|PF1|·|PF2|的最大值是_答案5解析因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓1上，由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a2，又|PF1|PF2|2()25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)，所以|PF1|PF2|的最大值為5.15(2018·蘭州調(diào)研)點(diǎn)P在圓C1：x2y28x4y110上，點(diǎn)Q在圓C2：x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是_答案35解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圓C1的圓心坐標(biāo)是(4,2)，半徑是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(2，1)，半徑是2.圓心距d3.所以|PQ|的最小值是35.16(2019·廣東六校聯(lián)考)已知直線l：ykxt與圓C1：x2(y1)22相交于A，B兩點(diǎn)，且C1AB的面積取得最大值，又直線l與拋物線C2：x22y相交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(，4)(0，)解析根據(jù)題意得到C1AB的面積為r2sin，當(dāng)角度為直角時(shí)面積最大，此時(shí)C1AB為等腰直角三角形，則圓心到直線的距離為d1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到11k2(1t)2k2t22t，直線l與拋物線C2：x22y相交于不同的兩點(diǎn)M，N，聯(lián)立直線和拋物線方程得到x22kx2t0，只需要此方程有兩個(gè)不等根即可，4k28t4t216t>0，解得t的取值范圍為(，4)(0，)三、解答題(本大題共70分)17(10分)(2018·重慶朝陽(yáng)中學(xué)月考)已知直線l1：ax2y60，直線l2：x(a1)ya210.(1)求a為何值時(shí)，l1l2；(2)求a為何值時(shí)，l1l2.解(1)l1l2，解得a1或a2(舍去)，當(dāng)a1時(shí)，l1l2.(2)l1l2，a·12·(a1)0，解得a，當(dāng)a時(shí)，l1l2.18(12分)已知圓C：(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40.(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l恒過(guò)定點(diǎn)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)；(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程(1)證明直線l：(2m1)x(m1)y7m40可化為m(2xy7)(xy4)0，由解得所以直線l恒過(guò)點(diǎn)P(3,1)，而點(diǎn)P(3,1)在圓C內(nèi)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l恒過(guò)點(diǎn)P(3,1)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)(2)解由(1)得，直線l恒過(guò)圓C內(nèi)的定點(diǎn)P(3,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)為a，過(guò)圓心C向直線l作垂線，垂足為弦的中點(diǎn)H，則2|CH|225，弦長(zhǎng)a最短，則|CH|最大，而|CH|CP|，當(dāng)且僅當(dāng)H與P重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)弦所在的直線與直線CP垂直，又過(guò)點(diǎn)P(3,1)，所以，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦所在的直線方程為2xy50.19(12分)(2019·湛江調(diào)研)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，且右焦點(diǎn)為(2，0)，斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3,2)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求PAB的面積解(1)由已知得c2，解得a2.b2a2c24, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，代入橢圓方程得4x26mx3m2120，(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為E(x0，y0), 則x0，y0x0m，因?yàn)锳B是等腰PAB的底邊，所以PEAB.所以PE的斜率為k1，解得m2，此時(shí)方程(*)為4x212x0.解得x0或3，所以y2或1，所以|AB|3，此時(shí)，點(diǎn)P(3,2)到直線AB：xy20的距離d，所以PAB的面積S|AB|·d.20(12分)(2019·四川診斷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(2,0)，上頂點(diǎn)B(0,2)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2y21上，求m的值解(1)由題意可得c2，b2，由a2b2c2得a222228，所以a2，故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)G(x0，y0)，由消去y得3x24mx2m280，則968m2>0，所以2<m<2，且x0，y0x0m，因?yàn)辄c(diǎn)G(x0，y0)在圓x2y21上，所以221，解得m±，滿足2<m<2，所以m的值為±.21(12分)(2019·化州模擬)已知橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)，若OAB(O為直角坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為，求直線AB的方程解(1)由題意得解得a，所以橢圓的方程為1.(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AB|，此時(shí)SAOB不符合題意，故舍掉；當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，由消去y得(23k2)x26k2x(3k26)0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d，SAOB|AB|d××，由SAOB，得k22，故k±，直線AB的方程為y(x1)或y(x1)，即xy0或xy0.22(12分)(2019·新鄉(xiāng)模擬)如圖，已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|2，過(guò)點(diǎn)F1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)BF2交橢圓C于點(diǎn)M，ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的離心率及方程；(2)試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P(x0,0)，使得·為定值？若存在，求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意可知，|F1F2|2c2，則c1，又ABF2的周長(zhǎng)為8，所以4a8，即a2，則e，b2a2c23.故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得·為定值若直線BM的斜率不存在，則直線BM的方程為x1，B，M，則·(x01)2.若直線BM的斜率存在，設(shè)BM的方程為yk(x1)，設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，M(x2，y2)，聯(lián)立得(4k23)x28k2x4k2120，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，x1x2，由于(x2x0，y2)，(x1x0，y1)，則·x1x2(x1x2)x0xy1y2(k21)x1x2(x0k2)(x1x2)k2x，因?yàn)?#183;為定值，所以，解得x0，故存在點(diǎn)P，且x0.11