1.4平面向量高考命題規(guī)律1.高考必考考題.選擇題或填空題,5分,中低檔難度,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.全國高考有4種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理7命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2413133131313313命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積4命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用48命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國·7)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2014全國·6)設(shè)D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案A解析由于D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=12×2AD=AD,故選A.3.(2014福建·10)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D解析因?yàn)镸是AC和BD的中點(diǎn),由平行四邊形法則,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以O(shè)A+OB+OC+OD=4OM.故選D.典題演練提能·刷高分1.已知兩個非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+b共線,則實(shí)數(shù)的值為()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b與n=2a+b共線,存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共線.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故選C.2.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖RtABC中,ABC=2,AC=2AB,BAC平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析設(shè)圓的半徑為r,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,所以BAC=3,ACB=6,BAC平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以ACB=BAD=CAD=6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗tABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故選C.3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列an是正項(xiàng)等差數(shù)列,在ABC中,BD=tBC(tR),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為()A.1B.12C.14D.18答案C解析BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線.AD=a3AB+a5AC,a3+a5=1,數(shù)列an是正項(xiàng)等差數(shù)列,故a3>0,a5>0,1=a3+a52a3a5,解得a3a514,故選C.4.(2019山東德州高三模擬)設(shè)向量a,b不平行,向量a+14b與-a+b平行,則實(shí)數(shù)=. 答案-4解析由a,b不平行,知-a+b0,又a+14b與-a+b平行,故存在實(shí)數(shù),使a+14b=(-a+b).根據(jù)平面向量基本定理得,-=1,14=,=-4.5.如圖,有5個全等的小正方形,BD=xAE+yAF,則x+y的值是. 答案1解析由平面向量的運(yùn)算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共線,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,所以x=3,y=-2,即x+y=1.6.在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}:如圖,在ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=. 答案75解析B,M,F三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三點(diǎn)共線,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國·3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A解析由題意,得a-b=(-1,1),則|a-b|=(-1)2+12=2,故選A.2.(2019全國·13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=. 答案-210解析cos<a,b>=a·b|a|b|=2×(-8)+2×622+22×(-8)2+62=-422×10=-210.3.(2019北京·9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=. 答案8解析a=(-4,3),b=(6,m),ab,a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.4.(2018全國·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=. 答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.5.(2017全國·13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=. 答案2解析ab,a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.典題演練提能·刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),則t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故選C.2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與3a-b平行,則實(shí)數(shù)x的值是. 答案2解析a=(1,1),b=(2,x),a+b與3a-b平行,a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且ab,則|a-b|=. 答案25解析由題得2x+6=0,即x=-3.則a-b=(-4,2),|a-b|=42+(-2)2=25.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,則=. 答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為. 答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.當(dāng)t=2時,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);當(dāng)t=-2時,BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6).命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國·4)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.(2016天津·7)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58B.18C.14D.118答案B解析方法1(基向量法):如圖所示,選取AB,AC為基底,則AF=AB+BE+EF=AB+12BC+12DE=AB+12(AC-AB)+12×12AC=12AB+34AC,BC=AC-AB.故AF·BC=12AB+34AC·(AC-AB)=34AC2-14AC·AB-12AB2=34-14×1×1×12-12=18.方法2(坐標(biāo)法):建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A0,32,B-12,0,C12,0,F18,-38,于是AF=18,-583,BC=(1,0),AF·BC=18.3.(2017北京·12)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為. 答案6解析方法1:設(shè)P(cos,sin),R,則AO=(2,0),AP=(cos+2,sin),AO·AP=2cos+4.當(dāng)=2k,kZ時,2cos+4取得最大值,最大值為6.故AO·AP的最大值為6.方法2:設(shè)P(x,y),x2+y2=1,-1x1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值為6.4.(2017天津·14)在ABC中,A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且AD·AE=-4,則的值為. 答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4.AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23AB·AC=-4,23×4-13×9+3-23×3=-4,即113-5=-4,解得=311.典題演練提能·刷高分1.點(diǎn)B是以線段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圓的性質(zhì)知ABC=90°,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以AC·AB=|AC|·|AB|·cosBAC=|AC|·|AB|·|AB|AC|=|AB|2=4,故選D.2.在ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AM·AN=()A.109B.209C.89D.83答案B解析|AB+AC|=|AB-AC|,BAC=90°.又M,N分別為BC的三等分點(diǎn),AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·AC+19BC·CB=0+13×1×10×110+13×10×3×310-19×10×10=13+3-109=209.故選B.3.(2019山東臨沂高三三模)在ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F為AB的三等分點(diǎn),則CE·CF=()A.89B.109C.179D.259答案C解析因?yàn)閨AB+AC|=|AB-AC|,所以|AB+AC|2=|AB-AC|2,整理得AB·AC=0.因?yàn)锳B=2,AC=1,所以AB2=4,AC2=1,又因?yàn)镋,F為AB的三等分點(diǎn),所以CE·CF=(CA+AE)·(CA+AF)=CA+13AB·CA+23AB=CA2+29AB2+CA·AB=1+29×4+0=179,故選C.4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn),則PC·(PA+PB+PC)的最小值為()A.2B.-34C.-2D.-2512答案D解析以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系.可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y0,則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時,PC·(PA+PB+PC)的最小值為-2512.故選D.5.如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),則AE·BF的值是. 答案0解析由題得AE·BF=AB+12BC·BC-12AB=AB·BC+12BC2-12AB2-14AB·BC=0+2-2-0=0,所以AE·BF=0,故填0.6.(2019福建廈門高三質(zhì)檢)在ABC中,AB=4,AC=2,A=3,動點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心,半徑為1的圓上,則PB·PC的最小值為. 答案5-27解析如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),B(4,0),C(1,3),設(shè)P(x,y),則PB=(4-x,-y),PC=(1-x,3-y),PB·PC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=(x-52)2+(y-32)2-3,其中(x-52)2+(y-32)2表示圓A上的點(diǎn)P與點(diǎn)M52,32之間的距離|PM|的平方.由幾何圖形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,(PB·PC)min=(7-1)2-3=5-27.故答案為5-27.命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國·8)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()A.6B.3C.23D.56答案B解析因?yàn)?a-b)b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.設(shè)a與b的夾角為,則cos=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,所以a與b的夾角為3,故選B.2.(2014全國·4)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a+b|=10,(a+b)2=10.|a|2+|b|2+2a·b=10,|a-b|=6,(a-b)2=6,|a|2+|b|2-2a·b=6,由-得a·b=1,故選A.典題演練提能·刷高分1.(2019黑龍江哈爾濱第三中學(xué)高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是()A.t<23B.t>23C.t<23且t-6D.t<-6答案C解析若a,b的夾角為鈍角,則a·b<0且不反向共線,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共線時,2×3=-t,得t=-6,此時a=-2b.所以t<23且t-6.故選C.2.已知在ABC中,A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,則實(shí)數(shù)的值為()A.2215B.103C.6D.127答案A解析因?yàn)锳PBC,所以AP·BC=AB+AC·AC-AB=-AB2+AC2+(-1)AC·AB=0,因此-·32+42+(-1)·3·4·cos120°=0,所以=2215.3.在ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形答案D解析在ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB=AB·(AC-BC)+CA·CB,AB2=AB2+CA·CB,CA·CB=0,C=90°,ABC為直角三角形,故選D.4.(2019北京清華大學(xué)附中高三三模)已知向量a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),若(a+b)c,則x=. 答案-10解析因?yàn)閍=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),所以a+b=(x+1,3).(a+b)c,(a+b)·c=x+1+9=0.x=-10.故答案為-10.5.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,則|a|=. 答案563解析由已知有4a2+4a·b+b2=75,a2-2a·b+b2=50,將b2=|b|2=25代入方程組,解得|a|=563.6.(2019安徽高三聯(lián)考)在四邊形ABCD中,AD=BC,AB=(2,4),BD=(-3,-5),則AC在AB上的投影為. 答案755解析由AD=BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,且AD=AB+BD=(2,4)+(-3,-5)=(-1,-1),則AC=AB+AD=(2,4)+(-1,-1)=(1,3),AC在AB上的投影為|AC|cos<AB,AC>=AB·AC|AB|=1425=755.17