單元檢測(cè)七不等式、推理與證明(提升卷)考生注意：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共4頁(yè)2答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫(xiě)在相應(yīng)位置上3本次考試時(shí)間100分鐘，滿分130分4請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1若a<b<0，則下列不等式一定不成立的是()A.<B.>C|a|>bD.>答案A解析因?yàn)閍<b<0，所以>0，即>，A不成立；a>b>0，>，B成立；a|a|>|b|b，C成立；當(dāng)a3，b1時(shí)，1，故>，D成立2不等式0的解集為()A.B.C.(3，)D.3，)答案C解析不等式0可化為解得x或x>3，不等式0的解集為(3，)3下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過(guò)50人B由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分D在數(shù)列an中，a11，an，由此歸納出an的通項(xiàng)公式答案C解析因?yàn)檠堇[推理是由一般到特殊，所以選項(xiàng)C符合要求，平行四邊形對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分4“10”是“(x2)(x1)0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由10，得0，等價(jià)于(x1)(x2)0，且x1，解得x2或x>1.由(x2)(x1)0，得x2或x1，所以“10”能推出“(x2)·(x1)0”，“(x2)(x1)0”推不出“10”，故“10”是“(x2)(x1)0”的充分不必要條件，故選A.5若3x2y2，則8x4y的最小值為()A4B4C2D2答案A解析因?yàn)?x2y2，所以8x4y23x22y224，當(dāng)且僅當(dāng)3x2y，即x，y時(shí)等號(hào)成立，故選A.6(2018·山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab5，則ab的取值范圍是()A1,4 B2，)C(2,4) D(4，)答案A解析a，b為正實(shí)數(shù)，2ab，.ab5，(ab)5(ab)·，化為(ab)25(ab)40，解得1ab4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，ab的取值范圍是1,4，故選A.7若直線l：axby10(a>0，b>0)把圓C：(x4)2(y1)216分成面積相等的兩部分，則的最小值為()A10B8C5D4答案B解析由題意知，已知圓的圓心C(4，1)在直線l上，所以4ab10，所以4ab1.所以(4ab)4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)，等號(hào)成立所以的最小值為8.故選B.8在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為()A.B.C.D.答案C解析如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切危涿娣e為×3×，其中在第二象限的區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切?，其面積為×1×1.所以點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為，故選C.9(2018·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知變量x，y滿足則z3yx的取值范圍為()A1,2 B2,5 C2,6 D1,6答案D解析畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(ABC邊界及其內(nèi)部)因?yàn)閦3yx，所以yxz.當(dāng)直線yx在y軸上的截距有最小值時(shí)，z有最小值；當(dāng)在y軸上的截距有最大值時(shí)，z有最大值由圖可知，當(dāng)直線yx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，在y軸上的截距最小，zmin0(1)1；經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2)時(shí)，在y軸上的截距最大，zmax3×206.所以z3yx的取值范圍為1,6，故選D.10小王計(jì)劃租用A，B兩種型號(hào)的小車(chē)安排30名隊(duì)友(大多有駕駛證，會(huì)開(kāi)車(chē))出去游玩，A與B兩種型號(hào)的車(chē)輛每輛的載客量都是5人，租金分別為1000元/輛和600元/輛，要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)12輛，不少于6輛，且A型車(chē)至少有1輛，則租車(chē)所需的最少租金為()A1000元B2000元C3000元D4000元答案D解析設(shè)分別租用A，B兩種型號(hào)的小車(chē)x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z1000x600y，其中x，y滿足不等式組(x，yN)，作出可行域，如圖陰影部分(包括邊界)所示易知當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)D(1,5)時(shí)，z取最小值，所以租車(chē)所需的最少租金為1×10005×6004000(元)，故選D.11(2018·云南曲靖一中月考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則x2y2的最小值為()A4B.C.D0答案B解析不等式組所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分所示(包括邊界)x2y2的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方由圖可得x2y2的最小值為原點(diǎn)到直線x2y40距離的平方，即(x2y2)min2.12已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的不等式f(x)2af(x)<0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是()A2B3C5D8答案D解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示關(guān)于x的不等式f(x)2af(x)<0，當(dāng)a>0時(shí)，a<f(x)<0，由于關(guān)于x的不等式f(x)2af(x)<0恰有1個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解為3.又f(3)963，所以a<3<0，af(4)8，則3<a8，所以實(shí)數(shù)a的最大值為8.第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13若在關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0可化為(x1)(xa)<0.當(dāng)a1時(shí)，(x1)2<0，無(wú)解，滿足題意；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為x|1<x<a；當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為x|a<x<1要使得解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則a4，且a2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,414已知x，則的最小值為_(kāi)答案22解析設(shè)tx1，則xt1，所以2t222，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)等號(hào)成立，所以所求最小值為22.15某傳媒大學(xué)的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別從影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持四門(mén)課程中選修一門(mén)，且這四位同學(xué)選修的課程互不相同下面是關(guān)于他們選課的一些信息：甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選播音主持，也不選廣播電視；乙同學(xué)不選廣播電視，也不選公共演講；如果甲同學(xué)不選公共演講，那么丁同學(xué)就不選廣播電視若這些信息都是正確的，依據(jù)以上信息可推斷丙同學(xué)選修的課程是_(填影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持)答案影視配音解析由知甲和丙均不選播音主持，也不選廣播電視；由知乙不選廣播電視，也不選公共演講；由知如果甲不選公共演講，那么丁就不選廣播電視，綜上得甲、乙、丙均不選廣播電視，故丁選廣播電視，從而甲選公共演講，丙選影視配音，故答案為影視配音16對(duì)于下列命題：已知1xy3,1xy5，則2xy的取值范圍是1,9；已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則a2<b2；alog3，blog5，c0.5的大小關(guān)系是a>b>c；若不等式2x1>m(x21)對(duì)滿足|m|2的所有m都成立，則x的取值范圍是.其中正確的命題為_(kāi)(把你認(rèn)為正確的都填上)答案解析對(duì)于，(xy)，(xy)，2xy1,9，所以正確；對(duì)于，當(dāng)a5，b3時(shí)，a2>b2，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，c0.5>0，alog3log53<0，blog5log35<0，且log53<log35，所以c>a>b，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，令f(m)m(x21)(2x1)，則原問(wèn)題等價(jià)于f(m)m(x21)(2x1)<0對(duì)滿足|m|2的所有m恒成立，所以解得<x<，所以正確三、解答題(本題共4小題，共50分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(12分)已知關(guān)于x的不等式ax23x2>0的解集為x|x<1或x>b(1)求a，b的值；(2)當(dāng)cR時(shí)，解關(guān)于x的不等式ax2(acb)xbc<0(用c表示)解(1)由已知得1，b是方程ax23x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b>1，a>0，所以解得(2)由(1)得原不等式可化為x2(2c)x2c<0，即(x2)(xc)<0，所以當(dāng)c>2時(shí)，所求不等式的解集為x|2<x<c，當(dāng)c<2時(shí)，所求不等式的解集為x|c<x<2，當(dāng)c2時(shí)，所求不等式的解集為.18(12分)已知函數(shù)f(x)(3x1)a2xb.(1)若f，且a>0，b>0，求ab的最大值；(2)當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)1恒成立，且2a3b3，求z的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)(3a2)xba，f，所以ab，即ab8.因?yàn)閍>0，b>0，所以ab2，即4，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為16.(2)因?yàn)楫?dāng)x0,1時(shí)，f(x)1恒成立，且2a3b3，所以且2a3b3，即作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)由圖可得經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(1，1)的直線的斜率的取值范圍是，所以z1的取值范圍是.19(13分)2019年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備，已知該設(shè)備全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x百輛新能源汽車(chē)，需另投入成本C(x)萬(wàn)元，且C(x)由市場(chǎng)調(diào)研知，若每輛新能源汽車(chē)售價(jià)5萬(wàn)元，則全年內(nèi)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)當(dāng)年能全部售完(1)求該企業(yè)2019年的利潤(rùn)L(x)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百輛)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)銷(xiāo)售額成本)；(2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)解(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)5×100x10x2100x2 50010x2400x2 500；當(dāng)x40時(shí)，L(x)5×100x501x4 5002 5002 000.所以L(x)(2)當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)10(x20)21 500，所以當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)maxL(20)1 500；當(dāng)x40時(shí)，L(x)2 0002 0002 2 0002001 800，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x100時(shí)取等號(hào)，所以L(x)maxL(100)1 800.因?yàn)? 800>1 500，所以當(dāng)x100，即2019年年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1 800萬(wàn)元20(13分)已知函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為xy30.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)lnx，求證：g(x)f(x)在x1，)上恒成立；(3)已知0<m<n，求證：>.(1)解將x1代入切線方程xy30，得y2，所以f(1)2，化簡(jiǎn)得ba4.又f(x)，f(1)1，故b2，a2，所以f(x).(2)證明由已知及(1)得所證即ln x在x1，)上恒成立，化簡(jiǎn)得(x21)ln x2x2，即證x2ln xln x2x20在x1，)上恒成立設(shè)h(x)x2ln xln x2x2，則h(x)2xln xx2，因?yàn)閤1，所以2xln x0，x2，即h(x)0，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增，則h(x)h(1)0，所以g(x)f(x)在x1，)上恒成立(3)證明因?yàn)?<m<n，所以>1，由(2)知ln>，整理得>，所以當(dāng)0<m<n時(shí)，>.10