階段自測卷(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2019·沈陽東北育才學(xué)校聯(lián)考)已知曲線yf(x)在x5處的切線方程是yx5，則f(5)與f(5)分別為()A5，1B1,5C1,0D0，1答案D解析由題意可得f(5)550，f(5)1，故選D.2已知函數(shù)f(x)xsinxax，且f1，則a等于()A0B1C2D4答案A解析f(x)sinxxcosxa，且f1，sincosa1，即a0.3(2019·淄博期中)若曲線ymxlnx在點(diǎn)(1，m)處的切線垂直于y軸，則實(shí)數(shù)m等于()A1B0C1D2答案A解析f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)m，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，m)處的切線斜率為km10，可得m1.故選A.4已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2020(x)等于()AsinxcosxBsinxcosxCsinxcosxDsinxcosx答案B解析f1(x)sinxcosx，f2(x)f1(x)cosxsinx，f3(x)f2(x)sinxcosx，f4(x)f3(x)cosxsinx，f5(x)f4(x)sinxcosxf1(x)，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2020(x)f4(x)sinxcosx，故選B.5(2019·四川診斷)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(e)lnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(e)等于()A1B1CeDe1答案D解析已知f(x)2xf(e)lnx，其導(dǎo)數(shù)f(x)2f(e)，令xe，可得f(e)2f(e)，變形可得f(e)，故選D.6函數(shù)yx2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1 C1，) D(0，)答案B解析由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，又由yx0，解得0<x1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,17(2019·沈陽東北育才學(xué)校模擬)已知定義在(0，)上的函數(shù)f(x)x2m，g(x)6lnx4x，設(shè)兩曲線yf(x)與yg(x)在公共點(diǎn)處的切線相同，則m值等于()A5B3C3D5答案D解析f(x)2x，g(x)4，令2x4，解得x1，這就是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入g(x)求得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，將(1，4)代入f(x)得1m4，m5.故選D.8(2019·新鄉(xiāng)模擬)若函數(shù)f(x)aexsinx在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為()A.B1,1C1，) D0，)答案D解析依題意得，f(x)aexcosx0，即a對x恒成立，設(shè)g(x)，x，g(x)，令g(x)0，則x，當(dāng)x時，g(x)<0；當(dāng)x時，g(x)>0，故g(x)maxmax0，則a0.故選D.9.(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為()A.B.C81D128答案B解析小圓柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內(nèi)設(shè)為h(0<h<5)，小圓柱的底面半徑設(shè)為r(0<r<5)，由于r，h和球的半徑5滿足勾股定理，即r2h252，所以小圓柱體積Vr2(h5)(25h2)(h5)(0<h<5)，求導(dǎo)V(3h5)·(h5)，當(dāng)0<h時，體積V單調(diào)遞增，當(dāng)<h<5時，體積V單調(diào)遞減所以當(dāng)h時，小圓柱體積取得最大值，Vmax，故選B.10(2019·涼山診斷)若對任意的0<x1<x2<a都有x2lnx1x1lnx2<x1x2成立，則a的最大值為()A.B1CeD2e答案B解析原不等式可轉(zhuǎn)化為<，構(gòu)造函數(shù)f(x)，f(x)，故函數(shù)在(0,1)上導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)遞增，在(1，)上導(dǎo)數(shù)小于零，單調(diào)遞減由于x1<x2且f(x1)<f(x2)，故x1，x2在區(qū)間(0,1)上，故a的最大值為1，故選B.11(2019·洛陽、許昌質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)yf(x)，xR的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且f(x)f(x), f(x)<f(x)，則下列不等式成立的是(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))()Af(0)<e1f(1)<e2f(2)Be1f(1)<f(0)<e2f(2)Ce2f(2)<e1f(1)<f(0)De2f(2)<f(0)<e1f(1)答案B解析設(shè)g(x)exf(x)，g(x)exf(x)exf(x)ex(f(x)f(x)，f(x)<f(x)，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)g(0)e0f(0)f(0)，g(1)e1f(1), g(2)e2f(2)e2f(2)，且g(2)>g(0)>g(1)，e1f(1)<f(0)<e2f(2)，故選B.12(2019·廊坊省級示范高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3x2axb的圖象在x0處的切線方程為2xya0，若關(guān)于x的方程f(x2)m有四個不同的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為()A.B.C.D.答案D解析由函數(shù)f(x)x3x2axb，可得f(x)x2xa，則f(0)ba，f(0)a2，則b2，即f(x)x3x22x2，f(x)x2x2(x1)(x2)，所以函數(shù)f(x)在(2,1)上單調(diào)遞增，在(，2)，(1，)上單調(diào)遞減，又由關(guān)于x的方程f(x2)m有四個不同的實(shí)數(shù)解，等價于函數(shù)f(x)的圖象與直線ym在x(0，)，上有兩個交點(diǎn)，又f(0)2，f(1)，所以2<m<，故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13(2019·陜西四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)lnx2x24x，則函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線方程為_答案xy30解析f(x)lnx2x24x，f(x)4x4，f(1)1，又f(1)2，所求切線方程為y(2)x1，即xy30.14已知函數(shù)f(x)(xa)lnx(aR)，若函數(shù)f(x)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析f(x)lnx(xa)lnx1，函數(shù)f(x)(xa)lnx(aR)，若函數(shù)f(x)存在三個單調(diào)區(qū)間，則f(x)有兩個變號零點(diǎn)，即f(x)0有兩個不等實(shí)根，即ax(lnx1)有兩個不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為ya與yx(lnx1)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)令g(x)x(lnx1)，則g(x)lnx2，令lnx20，則x，即g(x)x(lnx1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增g(x)min，當(dāng)x0時，g(x)0，當(dāng)x時，f(x)，所以結(jié)合f(x)的圖象(圖略)可知a的取值范圍為.15(2019·山師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，f(a1)f(2a2) 0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析由函數(shù)f(x)x32xex，得f(x)3x22ex2ex220，當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立，可得f(x)在R上遞增，又f(x)f(x)(x)32xexexx32xex0，可得f(x)為奇函數(shù)，則f(a1)f(2a2)0，即有f(2a2)0f(a1)f(1a)，即有2a21a，解得1a.16(2019·湖北黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，且對任意的不相等的實(shí)數(shù)x1，x20，)有<0成立，若關(guān)于x的不等式f(2mxlnx3)2f(3)f(2mxlnx3)在x1,3上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)又f(2mxlnx3)2f(3)f(2mxlnx3)2f(3)f(2mxlnx3)，f(2mxlnx3)f(3)由題意可得函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在0，)上單調(diào)遞減|2mxlnx3|3對x1,3恒成立，32mxlnx33對x1,3恒成立，即m對x1,3恒成立令g(x)，x1,3，則g(x)，g(x)在1，e上單調(diào)遞增，在(e,3上單調(diào)遞減，g(x)maxg(e).令h(x)，x1,3，則h(x)<0，h(x)在1,3上單調(diào)遞減，h(x)minh(3)1.綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為.三、解答題(本大題共70分)17(10分)(2019·遼寧重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3mx2m2x1(m為常數(shù)，且m>0)有極大值9.(1)求m的值；(2)若斜率為5的直線是曲線yf(x)的切線，求此直線方程解(1)f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0，令f(x)0，則xm或xm，當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)增極大值減極小值增從而可知，當(dāng)xm時，函數(shù)f(x)取得極大值9，即f(m)m3m3m319，m2.(2)由(1)知，f(x)x32x24x1，依題意知f(x)3x24x45，x1或x，又f(1)6，f，所以切線方程為y65(x1)或y5，即5xy10或135x27y230.18(12分)(2019·成都七中診斷)已知函數(shù)f(x)xsinx2cosxax2，其中a為常數(shù)(1)若曲線yf(x)在x處的切線斜率為2，求該切線的方程；(2)求函數(shù)f(x)在x0，上的最小值解(1)求導(dǎo)得f(x)xcosxsinxa，由fa12，解得a1.此時f2，所以該切線的方程為y22，即2xy20.(2)對任意x0，f(x)xsinx0，所以f(x)在0，內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)a0時，f(x)f(0)a0，f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，故f(x)minf()a.當(dāng)a時，f(x)f()a0，f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，故f(x)minf(0)4.當(dāng)0<a<時，因?yàn)閒(0)a>0，f()a<0，且f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一x0(0，)，使得f(x0)0，且f(x)在0，x0上單調(diào)遞增，在x0，上單調(diào)遞減故f(x)的最小值等于f(0)4和f()a中較小的一個值當(dāng)a<時，f(0)f()，故f(x)的最小值為f(0)4.當(dāng)0<a<時，f()f(0)，故f(x)的最小值為f()a.綜上所述，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min19(12分)(2019·武漢示范高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)4lnxmx21(mR)(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線2xy10平行，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若對于任意x1，e，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)4lnxmx21，f(x)2mx，f(1)42m，函數(shù)f(x)在(1，f(1)處的切線與直線2xy10平行，f(1)42m2，m1.(2)對于任意x1，e，f(x)0恒成立，4lnxmx210，在x1，e上恒成立，即對于任意x1，e，m恒成立，令g(x)，x1，e，g(x)，令g(x)>0，得1<x<，令g(x)<0，得<x<e，當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化如下表：xg(x)0g(x)極大值函數(shù)g(x)在區(qū)間1，e上的最大值g(x)maxg()，m，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.20(12分)已知函數(shù)f(x)lnxax(ax1)，其中aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)至少有1個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)依題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)2a2xa，當(dāng)a0時，f(x)lnx，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，由f(x)>0，得0<x<，由f(x)<0，得x>，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)a<0時，由f(x)>0，得0<x<，由f(x)<0，得x>，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在內(nèi)有1個零點(diǎn)x01; 當(dāng)a>0時，由(1)知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若1，即0<a時，f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，由于當(dāng)x0時，f(x)且f(1)a2a<0知，函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)無零點(diǎn)；若0<<1，即當(dāng)a>時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)至少有1個零點(diǎn)，只需滿足f0，即ln，又a>，ln<0，不等式不成立f(x)在(0,1內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)a<0時，由(1)知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若1，即1a<0時，f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，由于當(dāng)x0時，f(x)，且f(1)a2a>0，知函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)有1個零點(diǎn)；若0<<1，即a<1時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于當(dāng)x0時，f(x)，且當(dāng)a<1時，fln<0，知函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)無零點(diǎn)綜上可得a的取值范圍是1,021(12分)(2019·湖北黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考)在工業(yè)生產(chǎn)中，對一正三角形薄鋼板(厚度不計(jì))進(jìn)行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現(xiàn)有一邊長為3(單位：米)的正三角形鋼板(如圖)，沿平行于邊BC的直線DE將ADE剪去，得到所需的梯形鋼板BCED，記這個梯形鋼板的周長為x (單位：米)，面積為S(單位：平方米)(1)求梯形BCED的面積S關(guān)于它的周長x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若在生產(chǎn)中，梯形BCED的面積與周長之比達(dá)到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長x為多少時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用？解(1)DEBC，ABC是正三角形，ADE是正三角形，ADDEAE，BDCE3AD，則DE2(3AD)39ADx，S(6<x<9)，化簡得S(x218x72)(6<x<9)故梯形BCED的面積S關(guān)于它的周長x的函數(shù)關(guān)系式為S(x218x72)(6<x<9)(2)由(1)得S(x218x72)(6<x<9)，令f(x)(6<x<9)，f(x)，令f(x)0，得x6或x6(舍去)，f(x)，f(x)隨x的變化如下表：x(6,6)6(6，9)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)x6時，函數(shù)f(x)有最大值，為f(6)3.當(dāng)x6米時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用22(12分)(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)kexx2(其中kR，e是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若k2，當(dāng)x(0，)時，試比較f(x)與2的大小；(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，求k的取值范圍，并證明：0<f(x1)<1.解(1)當(dāng)k2時，f(x)2exx2，則f(x)2ex2x，令h(x)2ex2x，h(x)2ex2，由于x(0，)，故h(x)2ex2>0，于是h(x)2ex2x在(0，)上為增函數(shù)，所以h(x)2ex2x>h(0)2>0，即f(x)2ex2x>0在(0，)上恒成立，從而f(x)2exx2在(0，)上為增函數(shù)，故f(x)2exx2>f(0)2.(2)函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，則x1，x2是f(x)kex2x0的兩個根，即方程k有兩個根，設(shè)(x)，則(x)，當(dāng)x<0時，(x)>0，函數(shù)(x)單調(diào)遞增且(x)<0；當(dāng)0<x<1時，(x)>0，函數(shù)(x)單調(diào)遞增且(x)>0；當(dāng)x>1時，(x)<0，函數(shù)(x)單調(diào)遞減且(x)>0.作出函數(shù)(x)的圖象如圖所示，要使方程k有兩個根，只需0<k<(1)，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是，又可知函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)x1，x2滿足0<x1<1<x2，由f(x1)2x10得k，所以f(x1)xxx2x1(x11)21，由于x1(0,1)，所以0<(x11)21<1，所以0<f(x1)<1.13