2018-2019學(xué)年武漢市蔡甸區(qū)八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)
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2018-2019學(xué)年武漢市蔡甸區(qū)八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)
2018-2019學(xué)年湖北省武漢市蔡甸區(qū)八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(10×3分30分)
1.若三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,x﹣1,則x的取值范圍是( ?。?
A.0<x<8 B.2<x<8 C.0<x<6 D.2<x<6
2.如圖所示,一個(gè)直角三角形紙片,剪去這個(gè)直角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為( ?。?
A.150° B.180° C.240° D.270°
3.已知凸n邊形有n條對(duì)角線,則此多邊形的內(nèi)角和是( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
4.如圖,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ADF≌△CBE的是( ?。?
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
5.如圖,在∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線,交點(diǎn)為P,畫射線OP,則OP平分∠AOB的依據(jù)是( ?。?
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
6.如圖,在3×3的正方形的網(wǎng)格中,格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形,圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形,在圖中最多能畫出( )個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱.
A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)
7.如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠A=80°,BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,則∠BOC等于( )
A.140° B.120° C.130° D.無法確定
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖擺放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,則∠α+∠β等于( )
A.180° B.210° C.360° D.270°
9.如圖,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠BPD的度數(shù)為( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
10.如圖,在△ABC中,E為AC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD與BE相交于點(diǎn)O,若△OAE的面積比△BOD的面積大1,則△ABC的面積是( ?。?
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空題(6×3分=18分)
11.凸多邊形的外角和等于 ?。?
12.已知兩點(diǎn)A(﹣a,5),B(﹣3,b)關(guān)于x軸對(duì)稱,則a+b= ?。?
13.如圖,D在BC邊上,△ABC≌△ADE,∠EAC=40°,則∠ADE的度數(shù)為 ?。?
14.如圖,在△ABC中,AD是高,AE平分∠BAC,∠B=50°,∠C=80°,則∠DAE= ?。?
15.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中線,CF是角平分線,CF交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H,下面說法中正確的序號(hào)是 .
①△ABE的面積等于△BCE的面積;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④BH=CH.
16.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點(diǎn),若∠A=60°,則∠BMN的度數(shù)是 ?。?
三、解答題(共72分)
17.(8分)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形是幾邊形?
18.(8分)如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.
求證:AB∥DE.
19.(8分)如圖,點(diǎn)E在AB上,△ABC≌△DEC,求證:CE平分∠BED.
20.(8分)如圖,AD為△ABC的中線,F(xiàn)在AC上,BF交AD于E,且BE=AC.
求證:AF=EF.
21.(8分)如圖,AB>AC,∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,求證:BE=CF.
22.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)軸對(duì)稱圖形,A(3,2),B(3,﹣6)兩點(diǎn)在此圖形上且互為對(duì)稱點(diǎn),若此圖形上有一個(gè)點(diǎn)C(﹣2,+1).
(1)求點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求△ABC的面積.
23.(10分)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE分別為△ABC的角平分線,連結(jié)DE.
(1)求證:點(diǎn)E到DA,DC的距離相等;
(2)求∠DEB的度數(shù).
24.(12分)已知射線AP是△ABC的外角平分線,連結(jié)PB、PC.
(1)如圖1,若BP平分∠ABC,且∠ACB=30°,直接寫出∠APB= ?。?
(2)如圖1,若P與A不重合,求證:AB+AC<PB+PC.
(3)如圖2,若過點(diǎn)P作NM⊥BA,交BA延長(zhǎng)線于M點(diǎn),且∠BPC=∠BAC,求:的值.
2018-2019學(xué)年湖北省武漢市蔡甸區(qū)八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(10×3分30分)
1.若三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,x﹣1,則x的取值范圍是( ?。?
A.0<x<8 B.2<x<8 C.0<x<6 D.2<x<6
【分析】三角形的三邊關(guān)系是:任意兩邊之和>第三邊,任意兩邊之差<第三邊.已知兩邊時(shí),第三邊的范圍是>兩邊的差,<兩邊的和.這樣就可以確定x的范圍,從而確定x的值.
【解答】解:依據(jù)三角形三邊之間的大小關(guān)系,列出不等式組
,解得2<x<8.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的三邊關(guān)系,能夠熟練解不等式組.
2.如圖所示,一個(gè)直角三角形紙片,剪去這個(gè)直角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為( )
A.150° B.180° C.240° D.270°
【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出∠3+∠4的度數(shù),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°,計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù).
【解答】解:∵∠5=90°,
∴∠3+∠4=180°﹣90°=90°,
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°,
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,多邊形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是利用、三角形的內(nèi)角和180°,四邊形的內(nèi)角和360°.
3.已知凸n邊形有n條對(duì)角線,則此多邊形的內(nèi)角和是( ?。?
A.360° B.540° C.720° D.900°
【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線公式得出方程,求出n,再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可.
【解答】解:∵凸n邊形有n條對(duì)角線,
∴=n,
解得:n=0(舍去),n=5,
即多邊形的邊數(shù)是5,
所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和=(5﹣2)×180°=540°,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和內(nèi)角、多邊形的對(duì)角線,能熟記多邊形的對(duì)角線公式和多邊形內(nèi)角和公式是解此題的關(guān)鍵,注意:n邊形的內(nèi)角和等于(n﹣2)×180°,n(n>3)邊形的對(duì)角線的總條數(shù)=.
4.如圖,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
【分析】求出AF=CE,再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.
【解答】解:∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正確,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、根據(jù)AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)正確;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS),正確,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正確,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì),全等三角形的判定的應(yīng)用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
5.如圖,在∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線,交點(diǎn)為P,畫射線OP,則OP平分∠AOB的依據(jù)是( ?。?
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:在Rt△OMP和Rt△ONP中,,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),
∴∠MOP=∠NOP,
∴OP是∠AOB的平分線.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖,熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,在3×3的正方形的網(wǎng)格中,格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形,圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形,在圖中最多能畫出( ?。﹤€(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱.
A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)
【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對(duì)稱軸,然后作出軸對(duì)稱三角形即可得解
【解答】解:如圖,最多能畫出6個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵,本題難點(diǎn)在于確定出不同的對(duì)稱軸.
7.如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠A=80°,BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,則∠BOC等于( ?。?
A.140° B.120° C.130° D.無法確定
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°,根據(jù)角平分線求出∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB求出∠OBC+∠OCB=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.
【解答】解:∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°,
∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=50°,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=130°,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線定義的應(yīng)用,注意:三角形的內(nèi)角和等于180°.
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖擺放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,則∠α+∠β等于( ?。?
A.180° B.210° C.360° D.270°
【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)分別表示出∠α和∠β,計(jì)算即可.
【解答】解:∠α=∠1+∠D,
∠β=∠4+∠F,
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F
=∠2+∠D+∠3+∠F
=∠2+∠3+30°+90°
=210°,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì),掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.
9.如圖,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠BPD的度數(shù)為( ?。?
A.110° B.125° C.130° D.155°
【分析】由條件可證明△ACD≌△BCE,可求得∠ACB,再利用三角形內(nèi)角和可求得∠APB=∠ACB,則可求得∠BPD.
【解答】解:
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SSS),
∴∠ACD=∠BCE,∠A=∠B,
∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD,
∴∠ACB=∠ECD=(∠BCD﹣∠ACE)=×(155°﹣55°)=50°,
∵∠B+∠ACB=∠A+∠APB,
∴∠ABP=∠ACB=50°,
∴∠BPD=180°﹣50°=130°,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性質(zhì)(即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等)是解題的關(guān)鍵.
10.如圖,在△ABC中,E為AC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD與BE相交于點(diǎn)O,若△OAE的面積比△BOD的面積大1,則△ABC的面積是( ?。?
A.8 B.9 C.10 D.11
【分析】作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.首先證明BD:DC=2:3,設(shè)△ABC的面積為S.則S△ADC=S,S△BEC=S,構(gòu)建方程即可解決問題;
【解答】解:作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.
∵AD平分∠BAC,DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,
∴DM=DN,
∴S△ABD:S△ADC=BD:DC=?AB?DN: ?AC?DM=AB:AC=2:3,
設(shè)△ABC的面積為S.則S△ADC=S,S△BEC=S,
∵△OAE的面積比△BOD的面積大1,
∴△ADC的面積比△BEC的面積大1,
∴S﹣S=1,
∴S=10,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.
二、填空題(6×3分=18分)
11.凸多邊形的外角和等于 360°?。?
【分析】根據(jù)多邊形的外角和=360度解答即可.
【解答】解:凸多邊形的外角和等于360°,
故答案為:360°
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角,利用多邊形的外角和等于360°即可解決問題.
12.已知兩點(diǎn)A(﹣a,5),B(﹣3,b)關(guān)于x軸對(duì)稱,則a+b= ﹣2?。?
【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出a,b的值,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:∵兩點(diǎn)A(﹣a,5),B(﹣3,b)關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴﹣a=﹣3,b=﹣5,
則a=3,
故a+b=﹣2.
故答案為:﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì),正確把握點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
13.如圖,D在BC邊上,△ABC≌△ADE,∠EAC=40°,則∠ADE的度數(shù)為 70° .
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì),即可得到∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠ADE=∠B,再根據(jù)∠EAC=40°,即可得到∠BAD的度數(shù),最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠ADE=∠B,
∴∠EAC=∠DAB=40°,
∴△ABD中,∠B=(180°﹣∠BAD)=70°,
∴∠ADE=∠B=70°,
故答案為:70°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì),解題時(shí)注意:全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
14.如圖,在△ABC中,AD是高,AE平分∠BAC,∠B=50°,∠C=80°,則∠DAE= 15°?。?
【分析】根據(jù)題意和圖形,可以求得∠CAE和∠CAD的度數(shù),從而可以求得∠DAE的度數(shù).
【解答】解:∵在△ABC中,AD是高,∠B=50°,∠C=80°,
∴∠ADC=90°,∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=50°,
∴∠CAD=10°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=25°,
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=15°,
故答案為:15°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.
15.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中線,CF是角平分線,CF交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H,下面說法中正確的序號(hào)是?、佗冖邸。?
①△ABE的面積等于△BCE的面積;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④BH=CH.
【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠CAD,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACD,根據(jù)角平分線定義即可判斷③;根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可.
【解答】解:∵BE是中線,
∴AE=CE,
∴△ABE的面積=△BCE的面積(等底等高的三角形的面積相等),故①正確;
∵CF是角平分線,
∴∠ACF=∠BCF,
∵AD為高,
∴∠ADC=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,∠ACB+∠CAD=90°,
∴∠ABC=∠CAD,
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF,∠AGF=∠CAD+∠ACF,
∴∠AFG=∠AGF,故②正確;
∵AD為高,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,∠ABC+∠BAD=90°,
∴∠ACB=∠BAD,
∵CF是∠ACB的平分線,
∴∠ACB=2∠ACF,
∴∠BAD=2∠ACF,
即∠FAG=2∠ACF,故③正確;
根據(jù)已知條件不能推出∠HBC=∠HCB,即不能推出BH=CH,故④錯(cuò)誤;
故答案為:①②③.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),三角形的角平分線、中線、高,等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn),能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.
16.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點(diǎn),若∠A=60°,則∠BMN的度數(shù)是 50°?。?
【分析】過點(diǎn)N作NG⊥BC于G,NE⊥BM于E,NF⊥CM于F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出MN平分∠BMC,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根據(jù)角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度數(shù),然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BMC的度數(shù),從而得解.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)N作NG⊥BC于G,NE⊥BM于E,NF⊥CM于F,
∵∠ABC的三等分線與∠ACB的三等分線分別交于點(diǎn)M、N,
∴BN平分∠MBC,CN平分∠MCB,
∴NE=NG,NF=NG,
∴NE=NF,
∴MN平分∠BMC,
∴∠BMN=∠BMC,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°,
根據(jù)三等分,∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=80°,
在△BMC中,∠BMC=180°﹣(∠MBC+∠MCB)=180°﹣80°=100°,
∴∠BMN=×100°=50°,
故答案為:50°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的性質(zhì)與判定,作輔助線,判斷出MN平分∠BMC是解題的關(guān)鍵,注意整體思想的利用.
三、解答題(共72分)
17.(8分)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形是幾邊形?
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)內(nèi)角和公式和外角和公式,列出等式求解即可.
【解答】解:設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,
∴(n﹣2)?180°=2×360°,
解得:n=6.
故這個(gè)多邊形是六邊形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和,是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.
18.(8分)如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.
求證:AB∥DE.
【分析】欲證明AB∥DE,只要證明∠B=∠DEF.
【解答】證明:∵BE=CF,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等條件,屬于中考??碱}型.
19.(8分)如圖,點(diǎn)E在AB上,△ABC≌△DEC,求證:CE平分∠BED.
【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠DEC,全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=EC,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BEC,從而得到∠BEC=∠DEC,再根據(jù)角平分線的定義證明即可.
【解答】證明:∵△ABC≌△DEC,
∴∠B=∠DEC,BC=EC,
∴∠B=∠BEC,
∴∠BEC=∠DEC,
∴CE平分∠BED.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
20.(8分)如圖,AD為△ABC的中線,F(xiàn)在AC上,BF交AD于E,且BE=AC.
求證:AF=EF.
【分析】延長(zhǎng)AD至P使DP=AD,連接BP,利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可.
【解答】證明:延長(zhǎng)AD至P使DP=AD,連接BP,
在△PDB與△ADC中
,
∴△PDB≌△ADC(SAS),
∴BP=AC,∠P=∠DAC,
∵BE=AC,
∴BE=BP,
∴∠P=∠BEP,
∴∠AEF=∠EAF,
∴AF=EF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
21.(8分)如圖,AB>AC,∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,求證:BE=CF.
【分析】連結(jié)BD,CD,由角平分線的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)就可以得出△BED≌△CFD就可以得出結(jié)論;
【解答】證明:連結(jié)BD,CD.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°,DE=DF.
∵DG垂直平分BC,
∴DB=DC.
在Rt△DEB和Rt△DFC中,
,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴BE=CF;
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用,線段的垂直平分線的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
22.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)軸對(duì)稱圖形,A(3,2),B(3,﹣6)兩點(diǎn)在此圖形上且互為對(duì)稱點(diǎn),若此圖形上有一個(gè)點(diǎn)C(﹣2,+1).
(1)求點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求△ABC的面積.
【分析】(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo),求出對(duì)稱軸方程,即可據(jù)此求出C點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).
(2)根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論.
【解答】解:∵A、B關(guān)于某條直線對(duì)稱,且A、B的橫坐標(biāo)相同,
∴對(duì)稱軸平行于x軸,
又∵A的縱坐標(biāo)為2,B的縱坐標(biāo)為﹣6,
∴故對(duì)稱軸為y==﹣2,
∴y=﹣2.
則設(shè)C(﹣2,1)關(guān)于y=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣2,m),
于是=﹣2,
解得m=﹣5.
則C的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣5).
(2)如圖所示,S△ABC=×(﹣2+6)×(3+2)=10.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對(duì)稱,要知道,以關(guān)于x軸平行的直線為對(duì)稱軸的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)之和的平均數(shù)為對(duì)稱軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo).
23.(10分)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE分別為△ABC的角平分線,連結(jié)DE.
(1)求證:點(diǎn)E到DA,DC的距離相等;
(2)求∠DEB的度數(shù).
【分析】(1)過E作EH⊥AB于H,EF⊥BC于F,EG⊥AD于G,求出∠HAE=∠CAD,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EH=EG,EF=EH,即可得出答案;
(2)根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ADE=∠CDE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可.
【解答】(1)證明:
過E作EH⊥AB于H,EF⊥BC于F,EG⊥AD于G,
∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠CAD=60°,
∵∠CAH=180°﹣120°=60°,
∴AE平分∠HAD,
∴EH=EG,
∵BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC,
∴EH=EF,
∴EF=EG,
∴點(diǎn)E到DA、DC的距離相等;
(2)解:∵由(1)知:DE平分∠ADC,
∴∠EDC=∠DEB+∠DBE,
∴=∠DEB+∠ABC,
∴∠DEB=(∠CDA﹣∠ABC)=∠BAD=30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì),能熟記角平分線性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵,注意:在角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上;角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
24.(12分)已知射線AP是△ABC的外角平分線,連結(jié)PB、PC.
(1)如圖1,若BP平分∠ABC,且∠ACB=30°,直接寫出∠APB= 15°?。?
(2)如圖1,若P與A不重合,求證:AB+AC<PB+PC.
(3)如圖2,若過點(diǎn)P作NM⊥BA,交BA延長(zhǎng)線于M點(diǎn),且∠BPC=∠BAC,求:的值.
【分析】(1)根據(jù)三角形的角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)在射線AD上取一點(diǎn)H,是的AH=AC,連接PH.則△APH≌△APC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.
(3)過P作PN⊥AC于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN,BM=CN,于是得到結(jié)論.
【解答】解:(1)∵∠DAC=∠ABC+∠ACB,∠1=∠2+∠APB,
∵AE平分∠DAC,PB平分∠ABC,
∴∠1=DAC,∠2=∠ABC,
∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°,
故答案為:15°;
(2)在射線AD上取一點(diǎn)H,是的AH=AC,連接PH.則△APH≌△APC,
∴PC=PD,
在△BPH中,PB+PH>BH,
∴PB+PC>AB+AC.
(3)過P作PN⊥AC于N,
∵AP平分∠MAN,PM⊥BA,
∴PM=PN,
在Rt△APM與Rt△APN中,,
∴Rt△APM≌Rt△APN(HL),
∴AM=AN,
∵∠BPC=∠BAC,
∴A,B,C,P四點(diǎn)共圓,
∴∠ABP=∠PCN,
在△PMB與△PNC中,,
∴BM=CN,
∵AM=AN,
∴AC﹣AB=2AM,
∴.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),四點(diǎn)共圓,圓周角定理,三角形的三邊關(guān)系,角平分線的定義和性質(zhì),三角形額外角的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.