13?1命題、定理與證明 13?1命題、定理與證明 13. 命題 1 - 了解命題的概念，理解命題的結(jié)構(gòu)? 2-會(huì)識(shí)別命題的真假，會(huì)說(shuō)明一個(gè)命題是 假命題. 重點(diǎn) 命題的結(jié)構(gòu),真命題與假命題的識(shí)別? 難點(diǎn) 識(shí)別命題的真假. —、創(chuàng)設(shè)情境 情境：小亮和小剛正在津津有味地閱讀？我 們愛(ài)科學(xué)?. 小亮: “哈！這個(gè)黑客終于被逮住了? 小剛：“是的，現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)廣泛運(yùn)用于我們的 生活中,給我們帶來(lái)了方便,但……“ 坐在旁邊的兩個(gè)人一邊聽(tīng)著他的談話，一邊 也在悄悄地議論著,“這個(gè)黑客是個(gè)小偷嗎? 你聽(tīng)完這那么片段故事,有何想法？ 同學(xué)們各抒己見(jiàn)后，教師給予同學(xué)的各種答 復(fù)評(píng)價(jià)后,發(fā)表自己的看法：在日常生活中,我 們會(huì)遇到許多概念 ，以致無(wú)法進(jìn)行正常的交 流.同樣，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要進(jìn)行嚴(yán)格的論證， 也必須首先對(duì)所涉及的概念下定義.本節(jié)課我們 就一起來(lái)學(xué)習(xí)命題. 二、探究新知 1 -提出問(wèn)題 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)一些圖形的特性.例如： (1) 三角形的內(nèi)角和等于180°； (2) 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相 ⑶兩直線平行，同位角相等； (4)直角都相等. 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析它們的共性，得出命題 的概念. 即它們都是判斷某一件事情的語(yǔ)句，像這樣 表示判斷的語(yǔ)句叫做命題. 2 ?練習(xí) 以下句子哪些是命題? ① 動(dòng)物都需要水； ② 猴子是動(dòng)物的一種; ③ 玫瑰花是動(dòng)物； ④ 美麗的天空； ⑤ 負(fù)數(shù)都小于零； ⑥ 你的作業(yè)做完了嗎? ⑦ 所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)； ⑧ 過(guò)直線外一點(diǎn)作1的平行線； ⑨ 如果a>b，a>c，那么b=c? 3-觀察以下命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什 么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同學(xué)交流. (1) 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相 等； (2) 如果一個(gè)三角形是等腰三角形》那么這個(gè) 三角形的兩個(gè)底角相等； (3) 如果 a2=b2，那么 a=b. 總結(jié)：在數(shù)學(xué)中，許多命題是由條件和結(jié)論 兩局部組成的.條件是事項(xiàng)，結(jié)論是由事項(xiàng)推出 的事項(xiàng).這種命題?？蓪?xiě)成“如果…… ，那 么……〃的形式.其中，用''如果〃開(kāi)始的局部 是條件，用"那么〃開(kāi)始的局部是結(jié)論.例如， 在命題(1)中，“兩個(gè)角是對(duì)頂角〃是條件，''這兩 個(gè)角相等〃是結(jié)論. 例把命題"三個(gè)角都相等的三角形是等 邊三角形〃改寫(xiě)成“如果……，那么……〃的形 式，并分別指出命題的條件與結(jié)論. 解：這個(gè)命題可以寫(xiě)成：“如果在一個(gè)三角 形中有三個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角 形.〃這里的條件是“在一個(gè)三角形中有三個(gè)角 相等〃，結(jié)論是“這個(gè)三角形是等邊三角形〃. 4 -真、假命題 思考：試判斷以下句子是否正確. (1) 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相 (2) 三角形的內(nèi)角和是180°； (3) 同位角相等； (4) 同角的余角相等； (5) —個(gè)銳角與一個(gè)鈍角的和等于180°? 根據(jù)已有的知識(shí)可以判斷出句子(1)、⑵、(4) 是正確的，句子(3)、⑸是錯(cuò)誤的?從而引導(dǎo)學(xué) 生概括出真、假命題的定義. 即條件成立，結(jié)論一定成立的命題，稱為真 命題. 條件成立，不能保證結(jié)論總是成立的命題， 稱為假命題. 三、練習(xí)穩(wěn)固 1 -指出以下命題的條件和結(jié)論，并判斷命 題的真假，如果是假命題請(qǐng)舉一個(gè)反例說(shuō)明. (1)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直; (2)兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和仍是無(wú)理數(shù). 2?命題“一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角" 的條件是 ，結(jié)論是 ，它是一個(gè) ，反 例為 . 小結(jié) 這節(jié)課你學(xué)到了什么？你有什么收獲？有 何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的根底 上，教師歸納總結(jié). 作業(yè) ，2，3 題. 本節(jié)內(nèi)容較少,比擬簡(jiǎn)單，但命題的概念比 擬抽象，應(yīng)從形式到內(nèi)容幫助學(xué)生分析.命題的 條件與結(jié)論是區(qū)分命題真假的關(guān)鍵，又是后面學(xué) 習(xí)逆命題的根底，應(yīng)掌握?針對(duì)學(xué)習(xí)情況對(duì)理解 不深刻的同學(xué)給予單獨(dú)的輔導(dǎo). 13 -定理與證明 1 -理解已學(xué)的5個(gè)根本領(lǐng)實(shí)，理解定理的 2-理解證明的概念，體會(huì)證明的必要性. 重點(diǎn) 證明的過(guò)程與步驟. 難點(diǎn) 證明的必要性? 1 -什么是命題？命題的結(jié)構(gòu)是什么？ 回憶 2?命題如何分類？如何證明一個(gè)命題是假 命題？ 3?今天我們將學(xué)習(xí)說(shuō)明一個(gè)命題是真命題 的方法? 二、探究新知 (一) 根本領(lǐng)實(shí) 教師講解,并板書(shū): ⑴兩點(diǎn)確定一條直線; (2)兩點(diǎn)之間，線段最短; (3) 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直； (4) 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條 直線平行； ⑸兩條直線被第三條直線所截如果同位角 相等,那么這兩條直線平行? 上述五個(gè)命題是被公認(rèn)的真命題，我們將它 們當(dāng)作根本領(lǐng)實(shí)，是我們用來(lái)判斷其他命題真假 的原始依據(jù),即出發(fā)點(diǎn)? (二) 定理與證明 教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)明下面兩題 中歸納出的結(jié)論是錯(cuò)誤的?從而說(shuō)明證明的重要 性. 1 -教師講解：請(qǐng)大家看下面的例子： 當(dāng) n=1 時(shí)，(n2—5n+5)2=1； 當(dāng) n=2 時(shí)，(n2—5n+5)2=1； 當(dāng) n=3 時(shí)，(n2—5n+5)2=1. 我們能不能就此下這樣的結(jié)論：對(duì)于任意的 正整數(shù)(n2—5n+5)2的值都是1呢？實(shí)際上我們 的猜測(cè)是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng)n=5時(shí)，(n2—5n+5)2 =25. 2-教師再提出一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生答復(fù)：如果 a=b，那么a2=b2.由此我們猜測(cè)：當(dāng)a>b時(shí)， a2 > b2?這個(gè)命題是真命題. 答案:上面的說(shuō)法不正確，舉一個(gè)反例來(lái)看, 因?yàn)?3>—5，但 32<(—5)2. 教師總結(jié)：在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們用觀 察、驗(yàn)證、歸納、類比等方法，發(fā)現(xiàn)了很多幾何 圖形的性質(zhì).但由前面兩題我們又知道，這些方 法得到的結(jié)論有時(shí)不具有一般性.也就是說(shuō)，由 這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假 命題. 教師講解：數(shù)學(xué)中有些命題可以從公理出發(fā) 用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以 進(jìn)一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真 命題叫做定理. （三）定理的證明 直角三角形兩銳角互余. 教師引導(dǎo)：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，注 意推理步步有據(jù)，并在后面的括號(hào)里寫(xiě)上每步的 依據(jù). 教師講解：此命題可以用來(lái)作為判斷其他命 題真假的依據(jù),因此我們把它也作為定理. 定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的 本質(zhì)屬性，而且可以作為進(jìn)一步確認(rèn)其他命題真 假的依據(jù). 三、練習(xí)穩(wěn)固 1?請(qǐng)你說(shuō)出學(xué)過(guò)的知識(shí)中,哪些是公理, 哪組說(shuō)得又多又準(zhǔn)就是獲勝者. 如: ⑴兩點(diǎn)確定一條直線; ⑵兩條直線被第三條直線所截如果同位角 相等,那么這兩條直線平行. 2?試證明：如果兩條平行線被第三條直線 所截，那么同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直? 3 ?如圖，AD〃 BC，ZA = ZC.求證: AB〃CD. 小結(jié) 這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲？有何困 惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的根底上，教 師歸納總結(jié). 作業(yè) 教材第58頁(yè)練習(xí)第1，2題. 本節(jié)課從同學(xué)們已學(xué)的五個(gè)性質(zhì)入手，講解 了根本領(lǐng)實(shí)的概念作用與地位；從發(fā)現(xiàn)命題的結(jié) 論不具有一般性讓學(xué)生理解證明的必要性；從直 角三角形兩銳角互余的證明讓學(xué)生感知證明的 步驟與要求. 本節(jié)課有很多理性認(rèn)識(shí)，學(xué)生不可能一蹴而 就，而是在學(xué)習(xí)中及時(shí)完善與提升.對(duì)證明的條 理問(wèn)題應(yīng)提出更高的要求，以培養(yǎng)學(xué)生更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?邏輯思維能力.