專題檢測(cè)（十六） 圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、證明問題大題專攻強(qiáng)化練1(2019·全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程解：(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.由于yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.由于，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，|2，所求圓的方程為x24；當(dāng)t±1時(shí)，|，所求圓的方程為x22.2(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且該橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)動(dòng)直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，且與直線x相交于點(diǎn)B時(shí)，求證：FAB為直角三角形解：(1)由題意得，1，又a2b2c2，所以b21，a24，即橢圓C的方程為y21.(2)證明：由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)l：ykxm，聯(lián)立得得(4k21)x28kmx4m240，判別式64k2m216(4k21)(m21)0，得m24k210.設(shè)A(x1，y1)，則x1，y1kx1mm，即A.易得B，F(xiàn)(，0)，則，·110，所以，即FAB為直角三角形，得證3.如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)M，N是軌跡C上不同的兩點(diǎn)，且滿足APOM，BPON，求證：MON的面積為定值解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得，kAP·kBP·(x±)，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)P的軌跡方程為1(x±)(2)證明：由題意可知，M，N是軌跡C上不同的兩點(diǎn)，且APOM，BPON，則直線OM，ON的斜率必存在且不為0，kOM·kONkAP·kBP.當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí)，設(shè)M(x0，y0)，N(x0，y0)，則得所以SMON|y0|2x0|.當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為xmyt，代入1，得(32m2)y24mty2t260，(*)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1，y2是方程(*)的兩根，所以y1y2，y1y2，又kOM·kON，所以，即2t22m23，滿足>0.又SMON|t|y1y2|，所以SMON.綜上，MON的面積為定值，且定值為.4(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線C1：x22py(p>0)和圓C2：(x1)2y22，傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點(diǎn)，且l1與C2相切(1)求p的值；(2)動(dòng)點(diǎn)M在C1的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在C1上，若C1在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程解：(1)依題意，設(shè)直線l1的方程為yx，因?yàn)橹本€l1與圓C2相切，所以圓心C2(1，0)到直線l1：yx的距離d.即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一：依題意設(shè)M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，所以y，所以y，設(shè)A(x1，y1)，則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為k，所以切線l2的方程為yx1(xx1)y1.令x0，則yxy1×12y1y1y1，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則y3，所以點(diǎn)N在定直線y3上法二：設(shè)M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，設(shè)l2的斜率為k，A，則以A為切點(diǎn)的切線l2的方程為yk(xx1)x，聯(lián)立得，x212，因?yàn)?44k248kx14x0，所以k，所以切線l2的方程為yx1(xx1)x.令x0，得B點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以點(diǎn)N在定直線y3上- 5 -