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1、第七章第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念及其線性運算向量的概念及其線性運算第二節(jié)第二節(jié) 向量的坐標表示向量的坐標表示第三節(jié)第三節(jié) 向量的乘法向量的乘法第四節(jié)第四節(jié) 平面與直線方程平面與直線方程第五節(jié)第五節(jié) 空間曲面與空間曲線空間曲面與空間曲線習題課習題課吳新民吳新民第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念及其線性運算向量的概念及其線性運算-1-一一 向量的概念向量的概念二二 向量的線性運算向量的線性運算吳新民吳新民一一 向量的概念向量的概念-2-向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：1M 2M a21MM模長為模長為1的向量的向量.0

2、a 零向量零向量：模長為模長為0的向量的向量.0|a21MM|向量的模向量的模：向量的大小向量的大小.單位向量單位向量：或或或或或或規(guī)定零向量的方向是任意的。規(guī)定零向量的方向是任意的。012M M 或或.e 吳新民吳新民-3-自由向量自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量.相等向量相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.負向量負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a aba a吳新民吳新民二二 向量的線性運算向量的線性運算-4-1 加法加法cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：若特殊地：若abab|bac 分為同向和反向分為同向和

3、反向ba|bac 三角形法則三角形法則abccc吳新民吳新民-5-向量的加法符合下列運算規(guī)律向量的加法符合下列運算規(guī)律：(1)交換律：交換律：.abba (2)結(jié)合律：結(jié)合律：).(cba (3).0)(aa2 減法減法ab abb b cbabac )(ba ba abcbacba )()ab 吳新民吳新民-6-,0)1(|aa ,0)2(0 a,0)3(|aa aa2a21 設設 是一個數(shù)，是一個數(shù)，a與與 的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為3 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法向量向量吳新民吳新民-7-數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(a

4、a a)(（2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系000aa或或定理定理設向量設向量0,a 則向量則向量b 平行于平行于a 的充分必要的充分必要條件是：條件是：存在唯一的一個實數(shù)存在唯一的一個實數(shù),使得使得.ba 吳新民吳新民-8-證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性,ab 取取取正值，取正值，同向時同向時與與當當 ab取負值，取負值，反向時反向時與與當當 ab.ba .同向同向與與此時此時ab aa 且且aab.b.的唯一性的唯一性，設設ab ，又設又設ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)(a ，即即0 a ，0 a，故故0 .即即設設ba

5、吳新民吳新民-9-同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa 0.|aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量個與原向量同方向的單位向量.吳新民吳新民-10-例例1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbba(13)a.252ba 511525b 吳新民吳新民-11-例例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形形必是平行四邊形.證證MBDM AM MBMC

6、DMDC AB與與 平行且相等平行且相等,DC結(jié)論得證結(jié)論得證.AMMC ABABCDabM吳新民吳新民第二第二節(jié)節(jié) 向量的坐標表示向量的坐標表示-12-一一 空間直角坐標系空間直角坐標系二二 向量在軸上的投影及投影定理向量在軸上的投影及投影定理三三 向量的坐標向量的坐標吳新民吳新民一一 空間直角坐標系空間直角坐標系-13-空間直角坐標系空間直角坐標系1 空間直角坐標系空間直角坐標系即以右手握住即以右手握住z 軸，軸，軸時，軸時，x軸以軸以當右手的四個手指從正當右手的四個手指從正向向2 y角度轉(zhuǎn)向正向角度轉(zhuǎn)向正向z軸的正向軸的正向.三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向過定點過定點O(稱為坐標原

7、點稱為坐標原點)引原點為引原點為O的兩兩垂直的的兩兩垂直的其中其中x軸又稱橫軸，軸又稱橫軸，y軸稱為縱軸軸稱為縱軸,z 軸稱為軸稱為大拇指的指向就是大拇指的指向就是三條數(shù)軸三條數(shù)軸,豎軸豎軸,符合符合右手系右手系.x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o吳新民吳新民-14-xyzOxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有八個空間直角坐標系共有八個卦限卦限吳新民吳新民-15-空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11M xyzo),(zyxMxyzP R Q 有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx稱為點稱為點M 的的坐標坐標，x稱為點稱為點M 的的橫坐橫坐標標,y 稱為點稱為點M的的 縱

8、坐標縱坐標,z 稱為點稱為點M 的的豎坐標豎坐標.吳新民吳新民-16-特殊點的坐標表示特殊點的坐標表示:軸上的點軸上的點)0,0(yQy)0,0,(xPx軸上的點軸上的點軸上的點軸上的點),0,0(zRz)0,0,(xP )0,0(yQ),0,0(zR),(zoxB),0(zyC)0,(yxAxyzoxoy面上的點面上的點)0,(yxAzox面上的點面上的點),0,(zxByoz面上的點面上的點),0(zyC坐標原點坐標原點)0,0,0(O吳新民吳新民-17-xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd2d2 空間兩點間的距離空間兩點間的距離),(1111zyxM),(2222zyxM設設為空間

9、兩點為空間兩點21NMM 在直角在直角使用勾股定理知使用勾股定理知PNM1 及直角及直角中，中，,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式21M P 2PN 22,NM 吳新民吳新民-18-解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 結(jié)論成立結(jié)論成立.)1,3,4(1M)2,1,7(2M)3,2,5(3M例例1 求證以求證以頂點的三角形是一個等腰三角形頂點的三角形是一個等腰三角形.三點為

10、三點為吳新民吳新民-19-解解 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求點為所求點為).0,0,1(),0,0,1(Px)3,2,0(1P)1,1,0(2 PP例例2 設設在在軸上，它到軸上，它到到點到點的距離的兩倍，求點的距離的兩倍，求點 的坐標的坐標.的距離為的距離為Px因為因為在在軸上，軸上，設設),0,0,(x點坐標為點坐標為P吳新民吳新民二二 向量在軸上的投影及其投影定理向量在軸上的投影及其投影定理-20-首先定義首先定義兩向量的夾角兩向量的夾角.,0 a,0 b(,)a b (,)b a 類似地，可定義類

11、似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸的夾角空間兩軸的夾角.特別特別,當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在可在0與與 之之 間任意取值間任意取值.0),OAa ,OBb 的夾角的夾角.或或稱為向量稱為向量設向量設向量任取定點任取定點O，作作規(guī)定不超過規(guī)定不超過AOB,的的(記為記為(,).a b ,a b 記為記為即即OABa b 吳新民吳新民-21-向量在軸上的投影向量在軸上的投影設有以點設有以點O為原點的軸為原點的軸u，e 向量向量與其同向的單位向量與其同向的單位向量,r ue OMP對于任意一個向量對于任意一個向量,r 作作,OM

12、r 過點過點M作于軸作于軸u的垂面的垂面交軸交軸u于點于點P(點點P稱為點稱為點M在軸在軸u上的上的投影投影),稱向量稱向量OP 為向量為向量r 在軸在軸u上的上的分分向量向量.設設,OPe 則數(shù)則數(shù) 稱為向量稱為向量r 在軸在軸u上的上的投影投影，記記作作Prj.ur 說明說明:Prjur 實際上是點實際上是點P在軸在軸u上的坐標上的坐標.吳新民吳新民-22-向量的向量的投影定理投影定理(1)a Prj|cosuaa 其中其中為向量為向量與軸與軸u的夾角的夾角.a uOMP 向量的向量的投影定理投影定理(2)Prj()uab PrjPrjuuab OuABCA B C a b ab b 向量

13、的向量的投影定理投影定理(3)Prj()Prjuuaa 吳新民吳新民三三 向量的坐標向量的坐標-23-1 向量的坐標表示式向量的坐標表示式PNQRxyzoikji,zyx,以以表示分別以表示分別以軸同向的單位向量軸同向的單位向量,M設向量設向量,aOM 則則OMONOR OPOQOR 由于由于,OPxi 所以所以kzj yi xa kj其中其中點點M 的坐標為的坐標為(,),x y z,OQyj ,ORzk 稱為稱為基本單位向量基本單位向量.吳新民吳新民-24-稱起點固定在原點，終點在點稱起點固定在原點，終點在點),(zyxM的向量的向量OMr M的的向徑向徑，為點為點稱向量的這種表示法為稱向

14、量的這種表示法為按基本單位向量的坐標分解按基本單位向量的坐標分解分別稱向量分別稱向量kzj yi x,為為在三個坐標軸上的在三個坐標軸上的分向量分向量，a稱稱zyx,為向量為向量a的的坐標坐標，向量向量a又可以表示為又可以表示為,zyxa 稱向量的這種表示法為向量的稱向量的這種表示法為向量的坐標表達式坐標表達式。則則(,)rxiyjzkx y z 式式.(,)x y z 吳新民吳新民-25-2 向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式設向量設向量aOMxiyjzk 則則|aOM 222|OPOQOR 222zyx 所以所以222|zyxa 向量的模的坐標表示式向量的模的坐標

15、表示式xyzoM PQR吳新民吳新民-26-,0 ,0 .0 稱非零向量稱非零向量的正向的夾角為的正向的夾角為方向角方向角.a與三條坐標軸與三條坐標軸xyzoM PQR 由投影定理由投影定理(1)axxPrj cos|a cos222zyx 同理同理 cos222zyxy cos222zyxz 吳新民吳新民-27-0|222 zyxa,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 時，時，當當稱非零向量稱非零向量a的方向角的余弦為的方向角的余弦為a的的方向余弦方向余弦。吳新民吳新民-28-1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos

16、,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為吳新民吳新民-29-3 向量的加減法、數(shù)乘向量的運算的坐標表達式向量的加減法、數(shù)乘向量的運算的坐標表達式)()(222111kzjyixkzjyixba ;)()()(212121kzzjyyixx 222(,),bxyz 111(,),axyz 設設所以所以121212(,)abxxyy zz 111(,)axyz 121212(,)abxxyy zz 同理同理吳新民吳新民-30-B A),(111zyxA),(222zyxBABMAB、AM,MB),1(MBAM例例3 設設和和為兩已知點，為兩已知點，直線上的點直線上的點分有

17、向線段分有向線段為兩部分為兩部分使它們的值的比等于某數(shù)使它們的值的比等于某數(shù)即即而在而在(1)求向量求向量AB 的坐標表示式。的坐標表示式。解解 o設設 BArr、分別為點分別為點BA、的向徑，的向徑，則則111(,)Arxy z 222(,)Brxy z 所以所以BAABrr 212121(,)xxyy zz212121(,)ABxxyy zz BrAr吳新民吳新民-31-111(,)AMxxyyzz222(,)MBxxyyzz設設),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，ABMxyzo解解由題意知：由題意知：,AMMB 111(,)xxyyzz222(,),xxyyzz 1xx )(2xx

18、 ,121 xxx(2)求分點求分點的坐標的坐標.M1yy )(2yy ,121 yyy即即吳新民吳新民-32-1zz )(2zz ,121 zzz,221xxx ,221yyy .221zzz )1,1,1(212121 zzyyxxM所以所求點為所以所求點為M為有向線段為有向線段的的定比分點定比分點.AB 為中點時，為中點時，特別特別M吳新民吳新民-33-解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76|a,11|aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例4 求平行于向量求平行于向量kjia676

19、的單位向量的單位向量的坐標分解式的坐標分解式.所以所以吳新民吳新民-34-xy3,4 1P),3,0,1(2P例例5 設有向量設有向量已知已知它與它與軸和軸和軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 如果如果的坐標為的坐標為求求的坐標的坐標.12,P P 12|2,P P 解解設向量設向量的方向角為的方向角為12P P 、,3 ,4 ,21cos ,22cos ,1coscoscos222 .21cos 2P),(zyx設設的坐標為的坐標為吳新民吳新民-35-1cos x 21PP1122x ,2 x0cos y 21PP2022y ,2 y3cos z 21PP1322z ,2,4 zz).2,2

20、,2(),4,2,2(2P的坐標為的坐標為由于由于121,0,3P Pxyz 所以所以吳新民吳新民-36-,853kjim ,742kjin ,45kjip pnma 34xy例例6 設設求向量求向量在在軸軸軸上的分向量軸上的分向量.上的投影及在上的投影及在解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji 13i x,13 xa在在軸上的投影為軸上的投影為y.7 j在在軸上的分向量為軸上的分向量為7 j 15,k 吳新民吳新民第三節(jié)第三節(jié) 向量的乘法向量的乘法-37-一一 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積二二 向量的向量積向量的向量積三三 向量的混合積向量的混合積吳新民吳新民一

21、一 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積-38-cos|sFW 啟示啟示 cos|baba 實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算,結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.定義定義1sF以以 表示位移，則力表示位移，則力 所作的功為所作的功為 F1M一物體在常力一物體在常力作用下沿直線從作用下沿直線從點點移動移動,2M到點到點 Fs(其中其中為為與與的夾角的夾角)abba 向量向量與與 的的數(shù)量積數(shù)量積記為記為 ab(其中其中為為與與的夾角的夾角)吳新民吳新民-39-cos|baba ,Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj|.Prj|baa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)

22、積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.吳新民吳新民-40-關于數(shù)量積的說明關于數(shù)量積的說明：0)2(ba.ba)(a b ,0|a,0|b或或,0cos 或或.ba 都有都有.|)1(2aaa )(,ba|cosa bab ,0 a a 證證證證由于零向量的方向是任意的由于零向量的方向是任意的所以無論所以無論,0cos00 或或或或ba,0cos00 或或或或ba所以所以|cosaa 2|.a|cosab 0,0.吳新民吳新民-41-數(shù)量積符合下列運算規(guī)律數(shù)量積符

23、合下列運算規(guī)律：(1)交換律：交換律：;abba (2)分配律：分配律：;)(cbcacba ()ab (3)若若 為數(shù)為數(shù) cos|baba ,|cosbaba ()ab (),a b 吳新民吳新民-42-例例1 設設|3,|1,(,),6aba b 求向量求向量3qab 的夾角。的夾角。23,pab 解解由數(shù)量積定義可知由數(shù)量積定義可知cos(,)|p qp qp q 而而p q 226|73|aa bb(23)(3)abab36 37332512 吳新民吳新民-43-2|p 34 3123922|q 224|129|aa bb39(23)(23)abab39 36 31219 所以所以c

24、os(,)p q 51(,)arccos2 841p q 512 39 19 512 841 吳新民吳新民-44-例例2 設設375,472,abab abab求求(,).a b 解解由于由于0(3)(75)abab所以所以0(4)(72)abab22|a bb cos(,)|a ba bab 227|308|aa bb227|1615|aa bb2|a (,)3a b 1,2 吳新民吳新民-45-,111kzjyixa kzjyixb222 設設 ba)(111kzjyix )(222kzjyix ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjii212121zzyyxxba 數(shù)量積

25、的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式吳新民吳新民-46-12121 2222222111222cosx xy yz zxyzxyz 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為 cos|baba ,|cosbaba 12121 20 x xy yz z吳新民吳新民-47-解解ba)1(2)4()2(111 .9 93 18 abbabPrj|)3(Prj|ba bab .43(1,1,4),a (1,2,2),b ;ba abab例例3 已知已知與與的夾角；的夾角；在在上的投影上的投影.(1)求求(2)求求(3)求求)2(|a

26、|b|cosbaba 22211(4)18 2221(2)2 3 1,2 3.吳新民吳新民-48-證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(cacbbca)()(例例4 證明向量證明向量與向量與向量垂直垂直.吳新民吳新民二二 向量的向量積向量的向量積-49-LO sin|FOP 實例實例FPQ OL設設為一根杠桿為一根杠桿的支點，的支點，F(xiàn)O,M力力對支點對支點的力矩是一向量的力矩是一向量F有一力有一力作用作用P于這杠桿上于這杠桿上點處點處FOP ,與與的夾角為的夾角為力力|FOQM 它的它的模模MOP F的方向垂直于的方向垂直于與與所

27、決定的平面所決定的平面,指向符合右指向符合右手系手系.吳新民吳新民-50-sin|bac 定義定義2關于向量積的說明關于向量積的說明：.0)1(aa)0sin0(.0 baabbac 向量向量與與的的向量積向量積為為 ab(其中其中為為與與的夾角的夾角)c,a,b的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系.(2)/ab 證證)(ba/或或或或或或000 ba|sinabab .0 ba)(.0 ba|ab 0sin0|0|或或或或 baba/0,|sinab 0,向量積又稱為叉積或外積向量積又稱為叉積或外積.吳新民吳新民-51-向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下

28、列運算規(guī)律：(1).abba (2)分配律：分配律：.)(cbcacba (3)若若 為數(shù)：為數(shù)：()ab kzjyixb222 ,111kzjyixa 設設 ba)()(222111kzjyixkzjyix ,0 kkjjii,kji ,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kxyyxjzxxziyzzy)()()(212121212121 ()ab ().ab 吳新民吳新民-52-kxyyxjzxxziyzzyba)()()(212121212121 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示222111zyxzyxkjiba 212

29、121zzyyxx 由上式可推出由上式可推出(0)b ba/加加 吳新民吳新民-53-0b 是指是指222,zyx不同時為零，不同時為零，在比例式在比例式212121zzyyxx 中，中，如果分母有一個為零，則相應的分子也為零，如果分母有一個為零，則相應的分子也為零，例如例如而而02 x,0,022 zy比例式應理解為比例式應理解為 212110zzyyx例如例如0,022 yx而而,02 z比例式應理解為比例式應理解為 0011yx吳新民吳新民-54-b|ba ab表示以表示以和和的平行四邊形的面積的平行四邊形的面積.為鄰邊為鄰邊a sin|a,423kjia kjib2 例例5 求與求與都

30、垂直的都垂直的單位向量單位向量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,55510|22 c|cec .5152 kj10j 5,k 吳新民吳新民-55-例例6 設設2,432,.aijk bijk cjk 求求(1)();(2)().ab cabc 解解ab ijk 211432 i 2k (1)()ab c (2)ik()jk 2 (2)()abc ijk 102011 2i j k 吳新民吳新民-56-、)2,1,1(A)2,6,5(B)1,3,1(CAC.BD例例7 在頂點為在頂點為和和的三角形中，求的三角形中，求邊上的高邊上的高ABC解解DAC AB|21AB

31、ACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422 1|2SBD|AC2515|22BD|5.BD 三角形三角形ABC的面積為的面積為(0,4,3),(4,5,0)|15i 12j 16k|吳新民吳新民-57-pnm,4|m,2|n,3|p,)(pnm 例例8 設向量設向量兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且計算計算解解|sin(,)mnmnm n ,8124 nm p依題意知依題意知與與同向，同向，(,)0mn p pnm )(cos|pnm .2438 吳新民吳新民三三 向量的混合積向量的混合積-58-定義定義3cbacba )(333222111zyxzyxz

32、yx 混合積的坐標表達式混合積的坐標表達式、a、b,ccba )(.cba 設已知三個向量設已知三個向量數(shù)量數(shù)量稱為這三個向量的稱為這三個向量的混合積混合積，記為，記為設設,111kzjyixa kzjyixb222 kzjyixc333 吳新民吳新民-59-(1)向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義：acbba 關于混合積的說明：關于混合積的說明：)2(cbaacb.0 cbacbacba )(向量的混合積向量的混合積是這樣的一個數(shù)，是這樣的一個數(shù)，、a、bc為棱的平行六面體的為棱的平行六面體的它的絕對值表示以向量它的絕對值表示以向量體積體積.cba Prj、a、bc(3)三向量三向量

33、 共面共面bac cab bca abc 吳新民吳新民-60-解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba.4 例例9,2 cba)()()(accbba 已知已知計算計算.吳新民吳新民-61-解解61ADACABV 212121(,)ABxxyyzz、),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC),(444zyxD例例10 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點已知空間內(nèi)不在一平面上的四點 求四面體的求四面體的體積體積.由立體幾何知，四面體的體積

34、等于以向量由立體幾何知，四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體的體積的六分之一為棱的平行六面體的體積的六分之一.AB 、AC 、AD 吳新民吳新民-62-313131(,)ACxxyyzz414141(,)ADxxyyzz14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.吳新民吳新民第四節(jié)第四節(jié) 平面與直線方程平面與直線方程-63-一一 平面方程的各種形式平面方程的各種形式二二 直線方程的各種形式直線方程的各種形式三三 平面直線間的夾角及相互位置關系平面直線間的夾角及相互位置關系吳新民吳

35、新民一一 平面方程的各種形式平面方程的各種形式-64-xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一平如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的面，這向量就叫做該平面的法法向量向量法向量的特征：法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知平面的法向量為已知平面的法向量為(,),nA B C 設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn1 平面方程的點法式平面方程的點法式),(0000zyxM且過點且過點吳新民吳新民-65-0000(,)M Mxxyy zz0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都

36、滿足上方程，不在平面上的點都不滿足平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足 上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量(,)nA B C 已知點已知點).,(000zyx吳新民吳新民-66-解解AB AC 取取ACABn (14,9,1),所求平面方程為所求平面方程為14(2)x 化簡得化簡得.015914 zyx)4,1,2(A)2,3,1(B)3,2,0(C例例1 求過三點求過三點和和的平面方程的平面方程.(3,4,6),(2,3,1),9(1)y(4)z0,吳新民吳新民-67-由平面的點法式方程由平面的點法式

37、方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 吳新民吳新民-68-取法向量取法向量21nnn 化簡得化簡得所求平面方程為所求平面方程為解解)1,1,1(7 zyx例例2 求過點求過點，且垂直于平面，且垂直于平面和和的平面方程的平面方程.1n(1,1,1),220 xz2n(2,0,1)(1,3,2)1x 3(1)y2(1)z0 3260 xyz吳新民吳新民-69-平面一般方程的幾種特殊情況平面一般方程的幾種特殊情況：,0)1(D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；,0)2(A ,0,

38、0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.吳新民吳新民-70-設平面為設平面為,0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知,0 D0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解),2,3,6(824 zyx例例3 設平面過原點及點設平面過原點及點且與平面且與平面垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.由平面過點由平面過點)2,3,6(知知吳新民吳新民

39、-71-設平面為設平面為,0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解zyx,、)0,0,(aP、)0,0(bQ),0,0(cR例例4 設平面與設平面與三軸分別交于三軸分別交于（其中（其中求此平面方程求此平面方程.)0 abc代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸上截距軸上截距y軸上截距軸上截距z軸上截距軸上截距吳新民吳新民-72-設平面為設平面為,1 czbyax,1 V1 1|1,3 2abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba 解解例例5

40、求平行于平面求平行于平面0566 zyx坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.而與三個而與三個cba61161 ,61ta ,1tb ,61tc t令令 代入體積式代入體積式11111|666t tt1,6,1,abc 666.xyz 所求平面方程為所求平面方程為61 t吳新民吳新民二二 直線方程的各種形式直線方程的各種形式-73-xyzo1 2 空間直線可看成不平行兩平面的交線空間直線可看成不平行兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直

41、線的一般方程L1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程吳新民吳新民-74-xyzo 如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的這條直線的方向向量方向向量sL0M M sMM0/2 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程),(0000zyxM設直線過點設直線過點方向向量為方向向量為),(zyxM為直線上任意一點為直線上任意一點pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程（點向式）（點向式）（標準式）（標準式）直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)(,)sm n p 0000(,)M Mxxyy zz 吳新民

42、吳新民-75-tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例6 求過相異點求過相異點),(),(222111zyxBzyxA的直線方程的直線方程.解解所求直線的方向向量為所求直線的方向向量為sAB 所求直線方程為所求直線方程為121121121zzzzyyyyxxxx 直線兩點式方程直線兩點式方程212121(,)xxyy zz吳新民吳新民-76-例例7 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點)

43、,(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy點坐標點坐標),2,0,1(因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx(4,1,3)吳新民吳新民-77-解解所以交點為所以交點為),0,3,0(B取取BAs 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx),4,3,2(Ay例例8 一直線過點一直線過點且和且和軸垂直相交，軸垂直相交，求其方程求其方程.因為直線和因為直線和y軸垂直相交軸垂直相交,或或02 zx3 y(2,0,4)吳新民吳新民三三

44、平面直線間的夾角及相互關系平面直線間的夾角及相互關系-78-定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA1 兩平面間的夾角兩平面間的夾角2222(,)nA B C 1111(,)nA B C 2n 吳新民吳新民-79-按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21

45、)2(/.212121CCBBAA 特別特別1 與與2 重合重合21212121DDCCBBAA 吳新民吳新民-80-例例9 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013,012)1(zyzyx解解cos 160 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 1n(1,2,1),2n(0,1,3),22222|1 02 11 3|(1)2(1)13 吳新民吳新民-81-1(2,1,1),n 2(4,2,2)n 211422 兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合211422 兩平面重合兩平面重合.01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyx

46、zyx解解解解11 12 吳新民吳新民-82-),(1111zyxP 1PNn0P 解解),(0000zyxPByAx 0 DCz0P例例10 設設是平面是平面外一點，求外一點，求到平面的距離到平面的距離.10|Prj|ndP P 01010PrjnP PP Pn 10010101(,)P Pxxyy zz 0222222222(,)ABCnABCABCABC 吳新民吳新民-83-222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 01010PrjnP PP Pn 0111 DCzByAx)(1 P000222

47、|.AxByCzDdABC點到平面距離公式點到平面距離公式吳新民吳新民-84-直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 12121212222222111222|cos(,)m mn np pL Lmnpmnp 兩直線的夾角為兩直線的方向向量的夾角（銳角）兩直線的夾角為兩直線的方向向量的夾角（銳角）.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式2 兩直線的夾角兩直線的夾角1111(,)sm np 2222(,)sm np 1212cos(,)|cos(,)|L Ls s 吳新民吳新民-85-兩直線的位置關系兩直線的位置關系：21)1(LL ,02121

48、21 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L1(1,4,0),s 2(0,0,1),s ,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即吳新民吳新民-86-解解設所求直線的方向向量為設所求直線的方向向量為(,),sm n p 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 325.xyz所求直線的方程所求直線的方程)5,2,3(34 zx152 zyx例例10 求過點求過點且與兩平面且與兩平面和和的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.4311n(1,0,4),2n(2,1,5)吳新民吳新民-87-,:000pzznyy

49、mxxL ,0:DCzByAx(,),sm n p (,),nA B C 2),(ns 0.2 3 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 稱為直線稱為直線直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角與平面的夾角與平面的夾角 2),(ns或或吳新民吳新民-88-222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關系位置關系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm .cos 2 cossin2 吳新民吳新民-89-解解(1,1,2)n (2,1,2),s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96

50、|22)1()1(21|.637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角:L,21121 zyx:,32 zyx例例11 設直線設直線平面平面求直線與平面的夾角求直線與平面的夾角.吳新民吳新民-90-解解0)5()1(2)2(3 zyx令令tzyx 12131.1213 tztytx)5,1,2(M12131 zyx例例12 求過點求過點且與直線且與直線垂直相交的直線方程，并求點垂直相交的直線方程，并求點)5,1,2(M到直線到直線12131 zyx的距離。的距離。先作一過點先作一過點 M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點,N吳新

51、民吳新民-91-代入平面方程得代入平面方程得 ,1 t交點交點)1,3,2(N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN(22,31,15)(0,2,4),所求直線方程為所求直線方程為215.012xyz點點)5,1,2(M到直線到直線12131 zyx的距離的距離|dMN 52420222 吳新民吳新民-92-設直線設直線L的一般式方程為的一般式方程為111122220(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 其中系數(shù)其中系數(shù)111,A B C與與222,A B C不成比例。不成比例。對于任意對于任意常數(shù)常數(shù),建立三元一次方程：建立三元一次方程：11112222()0

52、A xB yC zDA xB yC zD 或或12121212()()()0(3)AA xBByCCzDD4 平面束方程平面束方程吳新民吳新民-93-由于系數(shù)由于系數(shù)111,A B C與與222,A B C不成比例，不成比例，所以所以對任意常數(shù)對任意常數(shù),不同時為不同時為121212,AA BB CC零，零，因此方程因此方程(3)表示一個平面表示一個平面.又由于滿足又由于滿足L的方程的方程的點必滿足此平面方程，的點必滿足此平面方程，因此方程因此方程(3)一定通過直線一定通過直線L的平面的平面.反之，通過直線反之，通過直線L的平面（除的平面（除(2)外）都包含外）都包含在在(3)所表示的一族平面

53、中所表示的一族平面中.通過定直線的所有平面的通過定直線的所有平面的全體稱為全體稱為平面束平面束，而方程而方程(13)稱為通過直線稱為通過直線L的的平面平面束方程束方程.吳新民吳新民-94-例例13求過直線求過直線1010 xyzxyz 和點和點(2,1,1)M的的平面方程。平面方程。解法一解法一將直線方程化為標準式將直線方程化為標準式1yz所以已知直線的方向向量為所以已知直線的方向向量為,sjk 且過點且過點0(0,1,0)M因此所求平面的法向量為因此所求平面的法向量為0nsM M011201ijk 0 x(2,0,1)(0,1,1)22ijk吳新民吳新民-95-所以所求平面方程為所以所求平面

54、方程為22(1)2(1)0 xyz即即2220 xyz解法二解法二過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為(1)(1)0 xyzxyz 所求平面過點所求平面過點(2,1,1),M(1)(1)(1)10 xyz所以所以12(1)1110,3 所求平面方程為所求平面方程為244403333xyz2220 xyz吳新民吳新民-96-例例14求直線求直線在平面在平面0 xyz上的投影直線方程。上的投影直線方程。解解 所求直線在與已知平面垂直的平面上，所求直線在與已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，和已知平面垂直，過已知直線且與已知平面垂直的平面方程，過已知直線且與已知平面垂直的平面方程，首先

55、求首先求(1)(1)(1)(1)0 xyz過已知直過已知直線的平面束方程為線的平面束方程為1010 xyzxyz (1)(1)0 xyzxyz 即即吳新民吳新民-97-1,1,1 1,1,11110 1 2220yz所求直線方程為所求直線方程為010 xyzyz 因此因此吳新民吳新民第五節(jié)第五節(jié) 空間曲面與空間曲線空間曲面與空間曲線-98-一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 曲線方程的概念曲線方程的概念三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法吳新民吳新民一一 曲面方程的概念曲面方程的概念-99-水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面方程的定義：曲面方程的定義：曲面的實例曲面

56、的實例：1 曲面方程的定義曲面方程的定義S0),(zyxF如果曲面如果曲面與三元方程與三元方程有下述關系：有下述關系：S(1)曲面曲面上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；S上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；(2)不在曲面不在曲面0),(zyxFS那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的的方程方程，S就叫做方程的就叫做方程的圖形圖形而曲面而曲面吳新民吳新民-100-解解,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為O)4,3,2(0M2:1例例1 求與原點求與原點及及的距

57、離之比為的距離之比為的點的全體所組成的曲面方程的點的全體所組成的曲面方程.設設),(zyxM是曲面上任一點，是曲面上任一點，吳新民吳新民-101-根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程.07262 zyx解解),3,2,1(A),4,1,2(BAB 例例2 已知已知求線段求線段面的方程面的方程.的垂直平分的垂直平分設設),(zyxM是所求曲面上任一點，是所求曲面上任一點，吳新民吳新民-102-zxyo根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c例例3 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)

58、2()1(22 yxz用平面用平面cz 去截圖形得圓：去截圖形得圓：當平面當平面cz 上下移動時，上下移動時，得到一系列圓得到一系列圓,的增大的增大),2,1(cc 1圓心在圓心在半徑為半徑為半徑隨半徑隨c而增大而增大.cyx 1)2()1(22)1(c吳新民吳新民-103-以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：(2)已知坐標間的關系式，研究曲面形狀已知坐標間的關系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）(1)已已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程吳新民吳新民-104-(1

59、)球面球面RMM|0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2222000 xxyyzzR所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 設球心在點設球心在點0000(,),Mxy z半徑為半徑為,R下面建立球面下面建立球面方程方程.2 幾種常見的曲面幾種常見的曲面設設),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，(球面方程的標準式球面方程的標準式)吳新民吳新民-105-將球面方程標準時展開得將球面方程標準時展開得2222220000002220 xyzx xy yz zxyzR由此可見球面方程的特點由此可見球面方程的特點1)是是,x y

60、z的二次方程的二次方程2)222,xyz的系數(shù)為的系數(shù)為1（或相等）（或相等）3)不含不含,xy yz zx項項(球面方程的一般式球面方程的一般式)2220 xyzAxByCzD球面方程又可表示為球面方程又可表示為吳新民吳新民-106-定義定義(2)柱面柱面C并沿定曲線并沿定曲線所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面.L移動的直線移動的直線柱面柱面C這條定曲線這條定曲線叫叫的的準線準線，平行于定直線平行于定直線llCLL叫叫母線母線.柱面的柱面的動直線動直線吳新民吳新民-107-下面建立母線平行于下面建立母線平行于z軸，準線為軸，準線為xOy平面曲線平面曲線(,)0f x y 的柱面方程。的

61、柱面方程。設設(,)M x y z為柱面上為柱面上任意一點，任意一點，過過M作平行作平行z軸的直線交軸的直線交xOy平面平面曲線曲線(,)0f x y 上的點上的點111(,0),Mxy因此因此11,xx yy 將將11,xx yy 代入得柱面方程代入得柱面方程(,)0f x y 由于由于1M在在xOy平面曲線平面曲線11(,)0f xy 上，上，xyzo),(zyxM 11(,0)M x y 吳新民吳新民-108-從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：yx,z0),(yxF 只含只含而缺而缺的方程的方程z系中表示母線平行于系中表示母線平行于在空間直角坐標在空間直角坐標軸的柱面，軸的柱

62、面，zy,x0),(zyFxyoz.C 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母線平行于系中表示母線平行于面上面上在空間直角坐標在空間直角坐標曲線曲線軸的柱面，其準線為軸的柱面，其準線為xz,y0),(xzFyzox.C 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母線平行于系中表示母線平行于面上面上在空間直角坐標在空間直角坐標曲線曲線軸的柱面，其準線為軸的柱面，其準線為xoy.C面上面上曲線曲線其準線為其準線為吳新民吳新民-109-柱面舉例柱面舉例母線平行于母線平行于12222 byaxz軸的軸的軸軸xy 母線平行于母線平行于z準線為準線為xOy面直線面直線yx xyzO的的平面平面(1)(2)準線為

63、準線為xOy面橢圓面橢圓橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzO吳新民吳新民-110-軸的軸的母線平行于母線平行于y12222 bzax軸的軸的22pyz 母線平行母線平行于于xxyzOxyzO(3)22,zpy 準線為準線為yOz面拋物線面拋物線拋物柱面拋物柱面雙曲柱面雙曲柱面(4)準線為準線為zOx面雙曲線面雙曲線22221,xzab吳新民吳新民-111-定義定義 一條平面曲線繞一條平面曲線繞其所在平面上的一條定直其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.(3)旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面叫旋轉(zhuǎn)曲面的叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸這條定直線這條定直線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸吳新

64、民吳新民-112-xyz,1zz|122yyx 求由求由yOz平面曲線平面曲線(,)0f y z 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面方程。的旋轉(zhuǎn)面方程。設旋轉(zhuǎn)面上任意一點設旋轉(zhuǎn)面上任意一點(,)M x y z則則),0(111zyM),(zyxMo 0),(zyfo是由是由yOz平平面的曲線面的曲線111(0,)My z繞繞z(,)0f y z 上上軸旋轉(zhuǎn)而得的，軸旋轉(zhuǎn)而得的，一點一點將上式代入將上式代入0),(11 zyf得方程得方程 ,0,22 zyxfyoz0),(zyfz面上曲線面上曲線繞繞軸的軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.吳新民吳新民-113-.0,22 zxyf22(,)0

65、fxzy同理：同理：yoz0),(zyfy坐標面上的已知曲線坐標面上的已知曲線繞繞軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為xoy(,)0f x y y坐標面上的已知曲線坐標面上的已知曲線繞繞一周的一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)吳新民吳新民-114-xyzxyzo 例例4 將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲旋轉(zhuǎn)雙曲面面12222 czayyz1)雙曲線雙曲線分別繞分別繞軸和軸和軸；軸；繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)o旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲

66、面單葉單葉雙葉雙葉吳新民吳新民-115-xyzoyzx122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pyzx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面z2)繞繞軸；軸；12222 czay面上橢圓面上橢圓yozoy3)繞繞軸；軸；22xpy 面上拋物線面上拋物線xoy吳新民吳新民-116-xyzo4)tanyz 面上直線面上直線yoz tan22yxz 2222tan)(yxz 圓錐面圓錐面)20(z繞繞軸；軸；吳新民吳新民-117-(4)錐面錐面通過定點通過定點M動直線動直線L沿定曲線沿定曲線C移動所形成的移動所形成的曲面稱為曲面稱為錐面錐面，定點定點M稱稱為錐面的為錐面的頂點頂點，定曲線定曲線稱為錐面的稱為錐面的準線準線。CLC ML稱為錐面的稱為錐面的母線母線，動直線動直線吳新民吳新民-118-xyzo ),(zyxM),(cyxM 例例5 建立以橢圓建立以橢圓0,12222 czbyax為準線，為準線，坐標原點為頂點的錐面方程。坐標原點為頂點的錐面方程。解解 設點設點),(zyxM 錐面錐面 上任意一點，上任意一點，過點過點M 的母線的母線交橢圓于點交橢圓于點),(cyxM 由由/OMOM c