第9講二次函數(shù)與冪函數(shù)夯實基礎(chǔ)【p19】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)；2會求二次函數(shù)的值域與最值；3運用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式“三個二次”之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題；4了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題【基礎(chǔ)檢測】1函數(shù)y的圖象是()【解析】函數(shù)y可化為yx3，當(dāng)x時，求得y<，選項B，D不合題意，可排除選項B，D；當(dāng)x2時，求得y8>1，選項A不合題意，可排除選項A，故選C.【答案】C2冪函數(shù)ykx過點(4，2)，則k的值為()A1 B. C1 D.【解析】由冪函數(shù)的定義得k1.所以yx，因為冪函數(shù)經(jīng)過點(4，2)，所以2422，21，.所以k1.【答案】B3已知函數(shù)f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為()A1 B0 C1 D2【解析】函數(shù)f(x)x24xa(x2)2a4，x0，1，函數(shù)f(x)x24xa在0，1單調(diào)遞增，當(dāng)x0時，f(x)有最小值f(0)a2，當(dāng)x1時，f(x)有最大值f(1)3a321.【答案】C4已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(2，) D2，)【解析】函數(shù)f(x)x22ax3為對稱軸x0a開口向上的二次函數(shù)，在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，區(qū)間1，2在對稱軸x0a的右邊，即a1，實數(shù)a的取值范圍是(，1【答案】B5已知函數(shù)f(x)x22axb(a>1)的定義域和值域都為1，a，則b_【解析】函數(shù)f(x)x22axb(a1)的對稱軸方程為xa>1，所以函數(shù)f(x)x22axb在1，a上為減函數(shù)，又函數(shù)在1，a上的值域也為1，a，則即由得：b3a1，代入得：a23a20，解得：a1(舍)，a2.把a2代入b3a1得b5.【答案】5【知識要點】1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對稱2.冪函數(shù)(1)定義：形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)冪函數(shù)的圖象比較(3)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；冪函數(shù)的圖象過定點(1，1)；當(dāng)>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，)上單調(diào)遞減3二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值若a0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc在閉區(qū)間p，q上的最大值為M，最小值為N.令x0(pq)，若<p，則Mf(q)，N_f(p)_；若>q，則Mf(p)，N_f(q)_；若px0，則Mf(q)，N_f_；若x0<q，則Mf(p)，Nf.4根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，當(dāng)b24ac0時，圖象與x軸有兩個交點M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)0的兩根，且|M1M2|x1x2|.典 例 剖 析【p20】考點1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)當(dāng)時，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過的象限是()A第二象限 B第三象限C第四象限 D第二、四象限【解析】yx1的圖象經(jīng)過第一、三象限，yx的圖象經(jīng)過第一象限，yx3的圖象經(jīng)過第一、三象限故選D.【答案】D(2)函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，對任意x1，x2(0，)，且x1x2，滿足>0，若a，bR，且ab>0，ab<0，則f(a)f(b)的值()A恒大于0 B恒小于0C等于0 D無法判斷【解析】由已知函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，可得m2m11，解得m2或m1，當(dāng)m2時，f(x)x3，當(dāng)m1時，f(x)x3，對任意的x1，x2(0，)，且x1x2，滿足0，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以m2，此時f(x)x3，又ab>0，ab<0，可知a，b異號，且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值，則f(a)f(b)恒大于0.【答案】A(3)若(a1)<(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】不等式(a1)<(32a)等價于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a.解得a<1或<a<.【答案】(，1)【點評】(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸考點2二次函數(shù)的解析式的求法已知函數(shù)f(x)x2mxn(m，nR)滿足f(0)f(1)，且方程xf(x)有兩個相等的實數(shù)根(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x0，3時，求函數(shù)f(x)的值域【解析】(1)f(x)x2mxn，且f(0)f(1)，n1mn，m1，f(x)x2xn.方程xf(x)有兩個相等的實數(shù)根，即x22xn0有兩個相等的實數(shù)根，(2)24n0，n1，f(x)x2x1.(2)由(1)知f(x)x2x1，此函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為x的拋物線，當(dāng)x時，f(x)有最小值f.而f1，f(0)1，f(3)32317，當(dāng)x0，3時，函數(shù)f(x)的值域是.【點評】求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，利用所給出的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解考點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)已知函數(shù)f2x2axb且f3.(1)若函數(shù)f的圖象關(guān)于直線x1對稱，求函數(shù)f在區(qū)間上的值域；(2)若函數(shù)f在區(qū)間上遞減，求實數(shù)b的取值范圍【解析】(1)f2x24x321，x，ff33，ff1，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.(2)函數(shù)f在區(qū)間上遞減，3，則a12，又f3，b2a5，a12，b19.已知函數(shù)f(x)(x2)(xa)，其中a2.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0，1上的最小值是2，求a的值【解析】(1)因為f(x)(x2)(xa)x2(a2)x2a，所以f(x)的圖象的對稱軸為直線x.由1，解得a0.(2)函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x.當(dāng)a2時，f(x)的最小值為f(0)4，顯然與題意不符；當(dāng)0<<1，即0<a<2時，因為f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f，令2，此方程無解；當(dāng)11，即a0時，因為f(x)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0，1上的最小值為f(1)(1a)，令(1a)2，解得a3.綜上，a3.【點評】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的確定與應(yīng)用，關(guān)鍵是充分應(yīng)用其對稱軸及與坐標(biāo)軸的交點考點4三個二次的綜合應(yīng)用已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a>0)，若f(1)0，且對任意實數(shù)x均有f(x)0成立，設(shè)g(x)f(x)kx.(1)當(dāng)x2，2時，g(x)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)x1，2時，g(x)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍【解析】(1)f(x)ax2bx1(a>0)，f(1)0且對任意實數(shù)x均有f(x)0成立；x1，且ab10；即b2a，且ab10，解得a1，b2；f(x)x22x1.g(x)f(x)kxx2(2k)x1，g(x)在2，2上是單調(diào)函數(shù)，x應(yīng)滿足：2或2，即k6或k2.k的取值范圍是k|k2或k6(2)若g(x)x2(2k)x1，x1，2時，g(x)<0恒成立，則即解得k>，k的取值范圍是.【點評】二次函數(shù)值恒大(小)于零，常結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式來考慮；利用二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，即二次不等式解集區(qū)間的端點值是對應(yīng)方程的解；關(guān)于二次方程根的分布問題，可以借助二次函數(shù)的圖象直觀考察，主要從判別式、對稱軸、端點值這三個方面入手考慮應(yīng)滿足的條件方 法 總 結(jié)【p21】1冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否會出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點2利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較3二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的關(guān)系，運用函數(shù)方程的思想、方法將它們進行轉(zhuǎn)化，這是準(zhǔn)確迅速解決此類問題的關(guān)鍵4對二次函數(shù)yax2bxc(a0)在m，n的最值的研究是本講內(nèi)容的重點，對如下結(jié)論必須熟練掌握：(1)當(dāng)xm，n時，是它的一個最值，另一個最值在區(qū)間端點取得(2)當(dāng)xm，n時，最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個端點處取得(3)二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題的處理，常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想，當(dāng)二次函數(shù)的表達式中含有參數(shù)或所給區(qū)間是變化的，需要考察二次函數(shù)的圖象特征(開口方向、對稱軸與該區(qū)間的位置關(guān)系)，抓住頂點的橫坐標(biāo)是否屬于該區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論和求解5二次函數(shù)問題大多通過數(shù)形結(jié)合求解，同時注意分類討論和等價轉(zhuǎn)化走 進 高 考【p21】1(2017·山東)已知當(dāng)x0，1時，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是()A(0，12，) B(0，13，)C(0，2，) D(0，3，)【解析】當(dāng)0<m1時，1，y(mx1)2單調(diào)遞減，且y(mx1)2(m1)2，1，ym單調(diào)遞增，且ymm，1m，此時有且僅有一個交點；當(dāng)m>1時，0<<1，y(mx1)2在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需(m1)21mm3，選B.【答案】B考 點 集 訓(xùn)【p185】A組題1已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4，2)，則冪函數(shù)f(x)具有的性質(zhì)是()A在其定義域上為增函數(shù)B在其定義域上為減函數(shù)C奇函數(shù)D定義域為R【解析】設(shè)冪函數(shù)f(x)x，冪函數(shù)的圖象過點(4，2)，42，f(x)x(x0)，由f(x)的性質(zhì)知，f(x)是非奇非偶函數(shù)，值域為0，)，在定義域內(nèi)無最大值，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增【答案】A2已知函數(shù)fx2bxc的圖象的對稱軸是x1，并且經(jīng)過點A，則f()A6 B2 C0 D4【解析】fx2bxc，對稱軸為x1，得b2，過A，知f93bc96c0，c3，fx22x3，f1230.【答案】C3若函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B(，3)C(3，) D3，)【解析】函數(shù)f(x)x22(a1)x2是一個開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x1a，函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，1a<4，即a>3，實數(shù)a的取值范圍是(3，)【答案】C4二次函數(shù)f(x)ax2bxc(xR)的最小值為f(1)，則f()，f，f()的大小關(guān)系是()Af()<f<f()Bf<f()<f()Cf()<f()<fDf()<f()<f【解析】因為二次函數(shù)有最小值，所以a>0，所以對稱軸為x1，所以與對稱軸的距離分別為|1|、|1|，大小關(guān)系為|1|1|<，所以f()<f()<f.【答案】D5已知函數(shù)f(x)(3m)x2m5是冪函數(shù)，則f_.【解析】函數(shù)f(x)(3m)x2m5是冪函數(shù)，可得3m1，即m2，函數(shù)f(x)x1，f2.【答案】26已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)(x1)2，若當(dāng)x時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為_【解析】當(dāng)x<0時，x>0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.mn的最小值是1.【答案】17設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx2，如果f(x1)f(x2) (x1x2)，則f(x1x2)_【解析】由題意知，因為f(x1)f(x2)x1x2，所以f(x1x2)fa·b·22.【答案】28已知二次函數(shù)f(x)2kx22x3k2，x5，5(1)當(dāng)k1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍【解析】(1)k1時，f(x)2x22x5，f(x)對稱軸為x，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)maxf(5)2×2510555，f(x)minf156.(2)由于f(x)是二次函數(shù)，所以k0，f(x)關(guān)于x對稱，要使f(x)在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù)，則必有5或5，解得k0或0k，即實數(shù)k的取值范圍是.B組題1已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n()A3 B1或2 C1 D2【解析】冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，n22n21，n23n為偶數(shù)，且n23n<0，解得n1.【答案】C2如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A(3，0)，對稱軸為x1.給出下面四個結(jié)論：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中正確的是()A B C D【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象，可以確定二次函數(shù)yax2bxc與x軸的必有兩個交點，即方程ax2bxc0有兩個不相等的實數(shù)根，b24ac>0，即b2>4ac，故正確；對稱軸x1，2ab0，故錯誤；當(dāng)x1時，由圖象可知yabc0，故錯誤；由對稱軸x1，得b2a，又函數(shù)圖象開口向下，a<0，5a<2a，即5a<b，故正確【答案】B3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc滿足：ff，且f(x)<2x的解集為.(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)f(x)mx(mR)，若g(x)在x1，2上的最小值為4，求m的值【解析】(1)ff，即a2b.又f(x)<2x，即ax2(b2)xc<0的解集為，1和是ax2(b2)xc0的兩根，且a>0，1，1×，由得a2，b1，c3，f(x)2x2x3.(2)g(x)2x2(1m)x3，其對稱軸方程為x，若<1，即m<3時，g(x)ming(1)m2，由m24，得m2>3，不符合題意；若12，即3m9時，g(x)ming4，解得m1±2，符合m3，9；若>2，即m>9時，g(x)ming(2)72m，由72m4，得m<9，不符合題意綜上得m1±2.4已知二次函數(shù)f(x)ax2bx(a，b為常數(shù)，且a0)滿足條件：f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的表達式(2)是否存在實數(shù)m，n(m<n)使f(x)的定義域和值域分別是m，n和3m，3n，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由【解析】(1)f(x)ax2bx，且f(x5)f(x3)，令x3，有f(35)f(33)f(0)0，f(2)f(0)4a2b0，b2a，又f(x)xax2(b1)x0有等根，(b1)24a×00，b1，a，f(x)x2x.(2)假設(shè)存在實數(shù)m，n(m<n)符合題意，則3nf(x)max，f(x)x2x(x1)2，3nf(x)max，即n，又f(x)對稱軸為x1，f(x)在m，n單調(diào)遞增，f(m)3m，f(n)3n，解得m0或m4，n0或n4，又mn，m4，n0，存在實數(shù)m4，n0，使f(x)定義域和值域分別為m，n與3m，3n16