北師大版課標(biāo)初中數(shù)學(xué)九年級九年級下學(xué)期直角三角形的邊角關(guān)系從梯子的傾斜限度談起  §1.1.2  從梯子的傾斜限度談起(二)教學(xué)目的    (一)教學(xué)知識點(diǎn)    1.經(jīng)歷摸索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義.    2.可以運(yùn)用sinA、cosA表達(dá)直角三角形兩邊的比.    3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡樸的計(jì)算.    4.理解銳角三角函數(shù)的意義.    (二)能力訓(xùn)練規(guī)定    1.經(jīng)歷類比、猜想等過程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地論述自己的觀點(diǎn).    2.體會數(shù)形結(jié)合的思想，并運(yùn)用它分析、解決問題，提高解決問題的能力.    (三)情感與價(jià)值觀規(guī)定    1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.    2.形成合伙交流的意識以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)    1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例闡明.    2.能用sinA、cosA表達(dá)直角三角形兩邊的比.    3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡樸的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)    用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.教學(xué)措施    摸索交流法.教具準(zhǔn)備    多媒體演示.教學(xué)過程    .創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課    師我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜限度，并且得出了當(dāng)傾斜角擬定期，其對邊與斜邊之比隨之?dāng)M定.也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān).并在此基本上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.b5E2RGbCAP    目前我們提出兩個(gè)問題：    問題1當(dāng)直角三角形中的銳角擬定之后，其她邊之間的比也擬定嗎?    問題2梯子的傾斜限度與這些比有關(guān)嗎?如果有，是如何的關(guān)系?    .講授新課    1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義    多媒體演示如下內(nèi)容：想一想：如圖(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2) 有什么關(guān)系? 呢?(3)如果變化A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論?(4)如果變化梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?請同窗們討論后回答.    生A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1/A2C2.RtBA1C1RtBA2C2.  (相似三角形相應(yīng)邊成比例).    由于A2是梯子A1B上的任意點(diǎn)，因此，如果變化A2在梯子A1B上的位置，上述結(jié)論仍成立.    由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角擬定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之?dāng)M定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無關(guān).    生如果變化梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之變化.    師我們會發(fā)現(xiàn)這是一種變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的變化而變化，同步，如果給定一種傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一擬定的.這是一種什么關(guān)系呢?p1EanqFDPw    生函數(shù)關(guān)系.    師較好!上面我們有了和定義正切相似的基本，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)   在RtABC中，如果銳角A擬定，那么A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之?dāng)M定.如圖，A的對邊與鄰邊的比叫做A的正弦(sine)，記作sinA，即DXDiTa9E3d    sinA    A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦(cosine)，記作cosA，即    cosA=    銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)(trigonometricfunction).    師你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢?    生我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A擬定期.A的對邊與斜邊的比值，A的鄰邊與斜邊的比值，A的對邊與鄰邊的比值也都唯一擬定.在“A的三角函數(shù)”概念中，A是自變量，其取值范疇是0°<A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一擬定的值與之相應(yīng).RTCrpUDGiT    2.梯子的傾斜限度與sinA和cosA的關(guān)系    師我們上一節(jié)懂得了梯子的傾斜限度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜限度與否也和sinA、cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是如何的關(guān)系?5PCzVD7HxA生如圖所示，ABA1B1，在RtABC中，sinA= ，在RtA1B1C中，sinA1= .    ,    即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，    因此梯子的傾斜限度與sinA有關(guān)系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜限度.    生同樣道理cosA=  cosA1 ,    AB=A1B1    即cosA>cosA1，    因此梯子的傾斜限度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.    師同窗們分析得很棒，可以結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜限度，但實(shí)際中一般使用正切.jLBHrnAILg    3.例題解說    多媒體演示.例1如圖，在RtABC中，B=90°，AC200.sinA0.6，求BC的長.    分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表達(dá)A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA0.6， 0.6.xHAQX74J0X    解：在RtABC中，B90°，AC200.    sinA0.6，即= 0.6，BCAC×0.6200×0.6=120.    思考：(1)cosA?    (2)sinC？  cosC?    (3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論?    解：根據(jù)勾股定理，得    AB =160.    在RtABC中，CB90°.    cosA 0.8，    sinC= =0.8，    cosC  0.6，    由上面的計(jì)算可知    sinAcosCO.6，    cosAsinC0.8.    由于A+C90°，因此，結(jié)論為“一種銳角的正弦等于它余角的余弦”“一種銳角的余弦等于它余角的正弦”.LDAYtRyKfE例2做一做：如圖，在RtABC中，C=90°，cosA ，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請用一般式體現(xiàn).Zzz6ZB2Ltk 分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同步進(jìn)一步滲入sin(90°-A)cosA，cos(90°-A)=sinA.    解：在RtABC中，C90°，AC=10，cosA ，cosA ,AB= ,sinB根據(jù)勾股定理，得BC2AB2-AC2( )2-102=BC .cosB ,sinA可以得出同例1同樣的結(jié)論.A+B=90°，sinA：cosB=cos(90-A)，即sinAcos(90°-A)；    cosAsinBsin(90°-A)，即cosAsin(90°-A).    .隨堂練習(xí)    多媒體演示    1.在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.    分析：規(guī)定sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過A作ADBC，D為垂足.     解：過A作ADBC，D為垂足.    AB=AC，BD=DC= BC=3.    在RtABD中，AB5，BD=3，    AD4.    sinB  cosB ,    tanB= .    2.在ABC中，C90°，sinA ，BC=20，求ABC的周長和面積.    解：sinA=  ，sinA= ，BC20，    AB 25.    在RtBC中，AC =15，    ABC的周長AB+AC+BC25+15+2060，    ABC的面積： AC×BC= ×15×20150.3.(陜西)(補(bǔ)充練習(xí))在ABC中.C=90°，若tanA= ，則sinA=     .    解：如圖，tanA= = .設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得AB= .sinA= .學(xué)時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念結(jié)識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，A是自變量，其取值范疇是0°<A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)A擬定期，三個(gè)比值分別唯一擬定；當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一擬定的值與之相應(yīng).類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜限度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題.dvzfvkwMI1    .課后作業(yè)    習(xí)題1、2第1、2、3、4題    .活動(dòng)與探究已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC2AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明)rqyn14ZNXI     過程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相似，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一種直角三角形中，在RtABC中，CDAB.因此圖中具有三個(gè)直角三角形.例如B既在RtBDC中，又在RtABC中，波及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得cosB ，cosB= .EmxvxOtOco    成果在RtABC中，cosB    又CDAB.    在RtCDB中，cosB = BC2AB·BD.板書設(shè)計(jì)    §1.1.2  從梯子傾斜限度談起(二)1.正弦、余弦的定義在KtABC中，如果銳角A擬定.sinAcosA2.梯子的傾斜限度與sinA和cosA有關(guān)嗎?sinA的值越大，梯子越陡cosA的值越小，梯子越陡3.例題解說4.隨堂練習(xí)