第八章 層次分析法層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡(jiǎn)稱 AHP) 是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡(jiǎn)易方 法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是 美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的一種 簡(jiǎn)便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。§1 層次分析法的基本原理與步驟人們?cè)谶M(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題 的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制 約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。 層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、 簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn) 行：(i) 建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；(ii) 構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；(iii) 層次單排序及一致性檢驗(yàn)；(iv) 層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面分別說明這四個(gè)步驟的實(shí)現(xiàn)過程。1.1 遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn)應(yīng)用AHP分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、 層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下 復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬 性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下 一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：(i) 最高層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是 分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。(ii) 中間層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及 的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮 的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。(iii )最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選 擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案 層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要 分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層 次中各元素所支配的元素一般不要超過 9 個(gè)。這是因?yàn)?支配的元素過多會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例1假期旅游有p、p、p 3個(gè)旅游勝地供你選擇, 試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。p1p飲食在此問題中，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲 食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較 3 個(gè)侯選地點(diǎn)?？?以建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型。措施層 p1.2 構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各 準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者 的心目中，它們各占有一定的比例。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重 時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外， 當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素 有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼 而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的 數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這 一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小 塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為w.w，現(xiàn)在， 請(qǐng)人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例Q不能讓他知道 各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且 完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X二X，,x 對(duì)某因素Z的影響 大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？ Saaty等人建議 可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦 法。即每次取兩個(gè)因子X和X，以a表示X和X對(duì)Z的影 響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A二（a /表示，稱a為 Z-X之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡(jiǎn)稱判斷矩陣）。容易看 出，若X與X對(duì)Z的影響之比為a，則X與X對(duì)Z的影響之 i j ij j i 比應(yīng)為a =丄。ji a定義I"若矩陣a二（a）滿足（/ nxnG）a > 0，（“）a =丄（i, j = 1,2,n）i/i a則稱之為正互反矩陣（易見a = 1，i = 1,n）。關(guān)于如何確定a的值，Saaty等建議引用數(shù)字19及 其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了 19標(biāo)度的含義：標(biāo)度1表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性3表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要2，4，6，表示上述相鄰判斷的中間值8若因素i與因素j的重要性之比為一，那么因倒數(shù)ij素j與因素i重要性之比為a =丄。ji aj從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能 力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù) 據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人 們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用 19 標(biāo)度 最為合適。最后，應(yīng)該指出，一般地作n(n 1)次兩兩判斷是必要2的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個(gè)元素比較，即只作n-1 個(gè)比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個(gè)判斷 的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個(gè)別判斷的失誤對(duì)于 難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行n(n D次比較可 2 以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，從 而導(dǎo)出一個(gè)合理的排序。1.3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)判斷矩陣a對(duì)應(yīng)于最大特征值九的特征向量w，經(jīng) 歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相 對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因 素的干擾，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致應(yīng)當(dāng)滿足：(1)定義2 陣。性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還a a 二 aVi, j, k = 1,2,nij jk ik滿足關(guān)系式(1)的正互反矩陣稱為一致矩需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的(正互反)判斷矩陣 A 是否嚴(yán)重 地非一致，以便確定是否接受a。定理1正互反矩陣a的最大特征根九必為正實(shí) 數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。a的其余特 征值的模均嚴(yán)格小于九。定理2若a為一致矩陣，則(i) A必為正互反矩陣。(ii) A的轉(zhuǎn)置矩陣at也是一致矩陣。(iii) A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而 rank( A) = 1 (同樣，A的任意兩列也成比例)。(iv) A的最大特征值九二n，其中n為矩陣A的階。 A的其余特征根均為零。maX(V)若a的最大特征值九對(duì)應(yīng)的特征向量為maxW 二(w，,w )t，貝U a = Wi-， Vi, j 二 1,2,n，即1 nij wjwww1 1 一1www12nwwwA _ www12n wwwnn * nwww12n定理3 n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根九二n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時(shí)，必有max九 > n。maX根據(jù)定理3,我們可以由九是否等于n來檢驗(yàn)判斷 矩陣a是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于。，故 九比n大得越多，a的非一致性程度也就越嚴(yán)重，：對(duì) 應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X二x,., x 在對(duì)因素Z的影響中所占的比重。因此，對(duì) 決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決 定是否能接受它。對(duì)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下：(i) 計(jì)算一致性指標(biāo)CICI = Xmax - nn 1(ii) 查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對(duì)n = 1,.,9，Saaty給出了RI的值，如下表所示：n19234568RI000.580.901.121.241.321.411.45RI 的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造 500個(gè)樣 本矩陣：隨機(jī)地從 19及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反max矩陣，求得最大特征根的平均值九，并定義九'nRI = maxn 1(iii)計(jì)算一致性比例CRRI當(dāng)CR < 0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否 則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正。1.4 層次總排序及一致性檢驗(yàn)上面我們得到的是一組元素對(duì)其上一層中某元素的 權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各 方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判?權(quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。設(shè)上一層次（A層）包含A，,A共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為a，,a。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素B,., B，它們關(guān)于a的層次單排序權(quán)重1 nj分別為b，,b （當(dāng)B與A無關(guān)聯(lián)時(shí)，b二0）?，F(xiàn)求B層中 各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求B層各因素的層次總排序 權(quán)重b，,b，計(jì)算按下表所示方式進(jìn)行，即b =£ba，1 niij jj=1排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次 均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較判斷矩 陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層 次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較 嚴(yán)重的非一致性。設(shè)B層中與A相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷矩陣在單 排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為ci（ j），（j二1 m），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI（j）（C/（j）、ri（j）已在層次單排序時(shí)求得），則b層總排序隨機(jī) 致性比例為為 CI （j ）aCR =亠 遲 RI （j ）a,當(dāng)CR < o io時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。§2 層次分析法的應(yīng)用 在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有 兩個(gè)：（i）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié) 構(gòu)；（ii）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際定量化處 理。層次分析法對(duì)人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提 出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供 了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主 要表現(xiàn)在：（i）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主 觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重 非一致性，卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面 性。（ii）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求 較高的決策問題。 AHP 至多只能算是一種半定量（或定 性與定量結(jié)合）的方法。AHP 方法經(jīng)過幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對(duì) AHP 的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法， 像群組決策、模糊決策和反饋系統(tǒng)理論近幾年成為該領(lǐng) 域的一個(gè)新熱點(diǎn)。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān) 鍵的一步?，F(xiàn)再分析一個(gè)實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例 2 挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位 表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè) 層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。工作滿意程度B1X研究課題同事情況地理位置晝單位名氣準(zhǔn)則層3工作13工作25工作3AB1B2B3B4B11141B11242B11/2153B1/41/41/5B4111/335B62223方案層CB B11/211/231/211/31 1311/3（方案層）1C1 21/4 3 1/21/51C4131/22C21/3113BCCC1123B 3C2CCBCC21 2C 11313/4C41C5231/3C15331/3BCCC1_2v 3C 11C 1/3 1 7 C 3 1221C331/71C31/51/7BC51CC23BC6 1CC23179丄C1121 37C11C2117C21/711C31/71/71C31/91層次總排序）如下表所示。準(zhǔn)則研究發(fā)展待遇同事地理單位課題前途情況位置名氣總排 序權(quán) 值準(zhǔn)則層權(quán) 值0.1507 0.1792 0.1886 0.04720.14640.2879方案 層 單排 序 權(quán)值工 作1 工作2 工 作30.13650.0974 0.2426 0.27900.46670.79860.6250 0.33310.0879 0.64910.46670.10490.2385 0.5695 0.6694 0.07190.06670.09650.39520.29960.3052根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作 1。 計(jì)算程序如下：clca=1,1,1,4,1,1/21,1,2,4,1,1/21,1/2,1,5,3,1/2 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/31,1,1/3,3,1,12,2,2,3,3,1; x,y=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=ei genvalue(1);ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24 w1=x(:,1)/sum(x(:,1) b1=1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1;x,y=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1);ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58 w21=x(:,1)/sum(x(:,1) b2=1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1; x,y=eig(b2);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1);ci22=(lamda-3)/2;cr22=ci22/0.58 w22=x(:,1)/sum(x(:,1) b3=1 3 1/3;1/3 1 1/7;3 7 1; x,y=eig(b3);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1);ci23=(lamda-3)/2;cr23=ci23/0.58 w23=x(:,1)/sum(x(:,1) b4=1 1/3 5;3 1 7;1/5 1/7 1; x,y=eig(b4);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1);ci24=(lamda-3)/2;cr24=ci24/0.58 w24=x(:,1)/sum(x(:,1) b5=1 1 7;1 1 7;1/7 1/7 1; x,y=eig(b5);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(2);ci25=(lamda-3)/2;cr25=ci25/0.58w25=x(:,2)/sum(x(:,2)b6=1 7 9;1/7 1 1 ;1/9 1 1; x,y=eig(b6);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1);ci26=(lamda-3)/2;cr26=ci26/0.58 w26=x(:,1)/sum(x(:,1) w_sum=w21,w22,w23,w24,w25,w26*w1 ci=ci21,ci22,ci23,ci24,ci25,ci26; cr=ci*w1/sum(0.58*w1)習(xí)題八151161.若發(fā)現(xiàn)一成對(duì)比較矩陣a的非一致性較為嚴(yán)重, 應(yīng)如何尋找引起非一致性的元素？例如，設(shè)已構(gòu)造了成 對(duì)比較矩陣1A = 513(i) 對(duì)A作一致性檢驗(yàn)。(ii) 如A的非一致性較嚴(yán)重，應(yīng)如何作修正。