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,歡迎進入數(shù)學課堂,數(shù)學歸納法,情景一,思考：（1）（2）用的數(shù)學方法是什么，運用的數(shù)學方法有什么區(qū)別？,歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,歸納法,（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法,（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法,問題1德國數(shù)學家哥德巴赫經(jīng)過觀察:4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=11+3…68=31+37…猜想:任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和。,,,問題2費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他曾認為，當n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了＝4294967297＝6700417641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結(jié)論便不成立．,情景二,問題3如果{an}是一個等差數(shù)列，a1=a1+0d,a2=a1+1d,a3=a1+2d,a4=a1+3d…則an=a1+(n-1)d,情境三（多米諾骨牌游戲）,情境三（多米諾骨牌游戲）,（1）處理第一個問題；（相當于推倒第一塊骨牌）,（2）驗證前一骨牌與后一骨牌有遞推關(guān)系；（相當于前牌推倒時保證后牌倒）,如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？,,多米諾骨牌游戲原理,思考：請同學們舉幾則生活中應用這種遞推的思想的例子。,古代烽火傳遞軍情，早操排隊等等,（第k張骨牌倒時保證第k+1張骨牌也倒）,如果{an}是一個等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。,類比多米諾骨牌游戲原理證明,數(shù)學歸納法,對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：,（1）證明當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立，（2）假設(shè)當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立證明當n=k+1時命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學歸納法,例：已知數(shù)列{an}，其通項公式為an=2n-1(1)計算S1,S2,S3,S4(2)試猜想該數(shù)列的前n項和公式Sn，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論。,例題講解,解：（1）S1=a1=1S2=S1+a2=1+3=4S3=S2+a3=4+5=9S4=S3+a4=9+7=16,證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式是成立的。(2)假設(shè)當n=k時等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2則當n=k+1時,(2)猜想Sn=n2,問題轉(zhuǎn)化為證明1+3+5+…+(2n-1)=n2,1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=(k+1)2∴當n=k+1時，等式也成立由(1)和(2)知,等式對于任何n∈N*都成立,用數(shù)學歸納法證明12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝,練習鞏固,,,,,(1)數(shù)學歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的重要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:（1）證明當n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論也正確（3）由（1）、（2）得出結(jié)論,歸納小結(jié),(2)數(shù)學歸納法也是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。,課后作業(yè),1.課本作業(yè)p72.2.1②③④,2.課后思考:,求證:當n∈N*時，,德國數(shù)學家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個質(zhì)數(shù)的和,他猜想這個命題是正確的,但他本人無法給予證明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教當時頗負盛名的瑞士數(shù)學家歐拉,歐拉經(jīng)過反復研究,發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個質(zhì)數(shù)的和.于是,歐拉對大于2的偶數(shù)逐個加以驗算,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日，他復信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理?！边@就是著名的哥德巴赫猜想.,課后興趣閱讀（哥德巴赫猜想）,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,