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1、第一部分 力＆物體的平衡 第一講 力的解決 一、矢量的運(yùn)算 1、加法 體現(xiàn)： + = 。 名詞：為“和矢量”。 法則：平行四邊形法則。如圖1所示。 和矢量大?。篶 = ，其中α為和的夾角。 和矢量方向：在、之間，和夾角β= arcsin 2、減法 體現(xiàn)： = － 。 名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。 法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。 差矢量大?。篴 = ，其中θ為和的夾角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一條直線(xiàn)上的矢量運(yùn)算是平

2、行四邊形和三角形法則的特例。 例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R ，周期為T(mén) ，求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。 解說(shuō)：如圖3所示，A到B點(diǎn)相應(yīng)T的過(guò)程，A到C點(diǎn)相應(yīng)T的過(guò)程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。 根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 由于有兩處波及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 = － ，= － ，根據(jù)三角形法則，它們?cè)趫D3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線(xiàn)）。 本題只關(guān)懷各矢量的大小，顯然： = = = ，且： = = ， = 2= 因此：= = = ，= = = 。 （學(xué)生活動(dòng)）觀測(cè)與思考：這兩個(gè)加速度與否相等，勻速率

3、圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？ 答：否；不是。 3、乘法 矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 ⑴ 叉乘 體現(xiàn)：× = 名詞：稱(chēng)“矢量的叉積”，它是一種新的矢量。 叉積的大?。篶 = absinα，其中α為和的夾角。意義：的大小相應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。 叉積的方向：垂直和擬定的平面，并由右手螺旋定則擬定方向，如圖4所示。 顯然，×≠×，但有：×= －× ⑵ 點(diǎn)乘 體現(xiàn)：· = c 名詞：c稱(chēng)“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一種矢量，而是一種標(biāo)量。 點(diǎn)積的大?。篶 = abcosα，其中α為和的夾角。 二、共點(diǎn)力的合成 1、平行四邊形法則與矢量體現(xiàn)

4、式 2、一般平行四邊形的合力與分力的求法 余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要——正交分解 第二講 物體的平衡 一、共點(diǎn)力平衡 1、特性：質(zhì)心無(wú)加速度。 2、條件：Σ = 0 ，或 = 0 ， = 0 例題：如圖5所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。 解說(shuō)：直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題，幾何關(guān)系比較簡(jiǎn)樸。 答案：距棒的左端L/4處。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：放在斜面上的均質(zhì)長(zhǎng)方體，按實(shí)際狀況分析受力，斜面的支持力會(huì)通過(guò)長(zhǎng)方體的重心嗎？ 解

5、：將各處的支持力歸納成一種N ，則長(zhǎng)方體受三個(gè)力（G 、f 、N）必共點(diǎn)，由此推知，N不也許通過(guò)長(zhǎng)方體的重心。對(duì)的受力情形如圖6所示（一般的受力圖是將受力物體當(dāng)作一種點(diǎn)，這時(shí)，N就過(guò)重心了）。 答：不會(huì)。 二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡 1、特性：物體無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。 2、條件：Σ= 0 ，或ΣM+ =ΣM- 如果物體靜止，肯定會(huì)同步滿(mǎn)足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。 3、非共點(diǎn)力的合成 大小和方向：遵從一條直線(xiàn)矢量合成法則。 作用點(diǎn)：先假定一種等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。 第三講 習(xí)題課 1、如圖7所示，在固定的、傾

6、角為α斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一種質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對(duì)球的彈力最小。 解說(shuō)：法一，平行四邊形動(dòng)態(tài)解決。 對(duì)球體進(jìn)行受力分析，然后對(duì)平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一種三角形，如圖8的左圖和中圖所示。 由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致N2的方向變化時(shí)，N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。 顯然，隨著β增大，N1單調(diào)減小，而N2的大小先減小后增大，當(dāng)N2垂直N1時(shí)，N2取極小值，且N2min = Gsinα。 法二，函數(shù)法。 看圖8的中間圖，對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理，有： =

7、，即：N2 = ，β在0到180°之間取值，N2的極值討論是很容易的。 答案：當(dāng)β= 90°時(shí)，甲板的彈力最小。 2、把一種重為G的物體用一種水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開(kāi)始物體所受的摩擦力f的變化圖線(xiàn)是圖10中的哪一種？ 解說(shuō)：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問(wèn)題和準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的問(wèn)題，但本題是一種例外。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速，平衡方程不再合用。如何避開(kāi)牛頓第二定律，是本題授學(xué)時(shí)的難點(diǎn)。 靜力學(xué)的知識(shí)，本題在于辨別兩種摩擦的不同判據(jù)。 水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。 物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力f = μN(yùn) ，必持續(xù)增大。但物

8、體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒(méi)有關(guān)系。 對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過(guò)程。據(jù)物理常識(shí)，加速時(shí)，f ＜ G ，而在減速時(shí)f ＞ G 。 答案：B 。 3、如圖11所示，一種重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L＜2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。 解說(shuō)：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一種三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來(lái)就是直角三角形）；②運(yùn)用正、余弦定理；③運(yùn)用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角

9、形相似。本題旨在貫徹第三種思路。 分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表達(dá)彈簧彈力，N表達(dá)大環(huán)的支持力。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。） 容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，因此： ⑴ 由胡克定律：F = k（- R） ⑵ 幾何關(guān)系：= 2Rcosθ ⑶ 解以上三式即可。 答案：arccos 。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大

10、的彈簧，其他條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？ 答：變??；不變。 （學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過(guò)滑輪將一小球從圖13所示的A位置開(kāi)始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過(guò)程中，繩子的拉力T和球面支持力N如何變化？ 解：和上題完全相似。 答：T變小，N不變。 4、如圖14所示，一種半徑為R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O點(diǎn)，先將它置于水平地面上，平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。 解說(shuō)：練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。

11、 根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線(xiàn)上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn)，可以畫(huà)出重心的具體位置。幾何計(jì)算比較簡(jiǎn)樸。 答案：R 。 （學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長(zhǎng)為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？ 解：三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。 答： 。 4、兩根等長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)，一端拴在同一懸點(diǎn)O上，另一端各系一種小球，兩球的質(zhì)量分別為m1和m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線(xiàn)張開(kāi)一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m1 : m2為多少？ 解說(shuō)：本題考察正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問(wèn)題。 對(duì)兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移

12、，如圖16所示。 一方面注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為α。 并且，兩球互相作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表達(dá)，設(shè)為F 。 對(duì)左邊的矢量三角形用正弦定理，有： = ① 同理，對(duì)右邊的矢量三角形，有： = ② 解①②兩式即可。 答案：1 ： 。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：解本題與否尚有其他的措施？ 答：有——將模型當(dāng)作用輕桿連成的兩小球，而將O點(diǎn)當(dāng)作轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對(duì)O的力矩必然是平衡的。這種措施更直接、簡(jiǎn)便。 應(yīng)用：若原題中繩長(zhǎng)不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2

13、，其他條件不變，m1與m2的比值又將是多少？ 解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一種正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相似。 答：2 ：3 。 5、如圖17所示，一種半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿正好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），因此要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn)：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)某些，至少需要多大的水平推力？ 解說(shuō)：這是一種典型的力矩平衡的例題。 以球和桿為對(duì)象，研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦

14、力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為： f R + N（R + L）= G（R + L） ① 球和板已相對(duì)滑動(dòng)，故：f = μN(yùn) ② 解①②可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。 同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f′= = F′。 答案： 。 第四講 摩擦角及其他 一、摩擦角 1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱(chēng)全反力，一般用R表達(dá)，亦稱(chēng)接觸反力。 2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱(chēng)摩擦角，一般用φm表達(dá)。 此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φm = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱(chēng)動(dòng)

15、摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱(chēng)靜摩擦角。一般解決為φm = φms 。 3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析解決物體受力時(shí)更以便、更簡(jiǎn)捷。 二、隔離法與整體法 1、隔離法：當(dāng)物體對(duì)象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，有必要各個(gè)擊破，逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開(kāi)來(lái)分析解決，稱(chēng)隔離法。 在解決各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意互相作用力的大小和方向關(guān)系。 2、整體法：當(dāng)各個(gè)體均處在平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以不顧個(gè)體的差別而講多種對(duì)象當(dāng)作一種整體進(jìn)行分析解決，稱(chēng)整體法。 應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。 三、應(yīng)用 1、物體放在水平面

16、上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速邁進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速邁進(jìn)，求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素μ。 解說(shuō)：這是一種能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。可以通過(guò)不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。 法一，正交分解。（學(xué)生分析受力→列方程→得成果。） 法二，用摩擦角解題。 引進(jìn)全反力R ，對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。 再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一種頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線(xiàn)必垂直底邊……故有：φm

17、 = 15°。 最后，μ= tgφm 。 答案：0.268 。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速邁進(jìn)的最小F值是多少？ 解：見(jiàn)圖18，右圖中虛線(xiàn)的長(zhǎng)度即Fmin ，因此，F(xiàn)min = Gsinφm 。 答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。 2、如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體可以沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對(duì)斜面體的摩擦力大小。 解說(shuō)：本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。

18、 法一，隔離法。簡(jiǎn)要簡(jiǎn)介…… 法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以當(dāng)作一種整體。 做整體的受力分析時(shí)，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡(jiǎn)樸，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。 答案：26.0N 。 （學(xué)生活動(dòng)）地面給斜面體的支持力是多少？ 解：略。 答：135N 。 應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊正好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且規(guī)定斜面體靜止不動(dòng)，就必須施加一種大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足

19、題意的這個(gè)F的大小和方向。 解說(shuō)：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切也許的工具解題。 法一：隔離法。 由第一種物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ 對(duì)第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對(duì)互相作用力只用兩個(gè)字母表達(dá)（N表達(dá)正壓力和彈力，f表達(dá)摩擦力），如圖21所示。 對(duì)滑塊，我們可以考察沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡—— Fx = f + mgsinθ Fy + mgcosθ= N 且 f = μN(yùn) = Ntgθ 綜合以上三式得到： Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ

20、 ① 對(duì)斜面體，只看水平方向平衡就行了—— P = fcosθ+ Nsinθ 即：4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ 代入μ值，化簡(jiǎn)得：Fy = mgcosθ ② ②代入①可得：Fx = 3mgsinθ 最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設(shè)α為F和斜面的夾角）。 答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。 法二：引入摩擦角和整體法觀念。 仍然沿用“法一”中有關(guān)F的方向設(shè)立（見(jiàn)圖21中的α角）。 先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴ 再隔離滑塊，分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ，由于簡(jiǎn)化后只有三個(gè)力（R、mg和F），可以將矢量平移后構(gòu)成一種三角形，如圖22所示。 在圖22右邊的矢量三角形中，有： = = ⑵ 注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶ 解⑴⑵⑶式可得F和α的值。