,歡迎進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂,本章回顧,一知識(shí)結(jié)構(gòu),二方法總結(jié)1.公理的應(yīng)用(1)證明共面問(wèn)題證明共面問(wèn)題,一般有兩種證法.一是由某些元素確定一個(gè)平面,再證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi);二是分別由不同元素確定若干個(gè)平面,再證明這些平面重合.,(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題證明空間三點(diǎn)共線問(wèn)題,通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)面的交線上,即先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上,再證明第三點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).當(dāng)然必在兩個(gè)平面的交線上.(3)證明三線共點(diǎn)問(wèn)題證明空間三線共點(diǎn)問(wèn)題,先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.,2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)根據(jù)異面直線的定義.(2)反證法.3.求異面直線所成角的方法求異面直線所成的角是通過(guò)平移直線,把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)等角定理及推論,異面直線所成的角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān),將角的頂點(diǎn)取在一些特殊點(diǎn)上(如線段端點(diǎn),中點(diǎn)等),以便于計(jì)算,具體步驟如下:,(1)利用定義構(gòu)造角;(2)證明所作出的角為異面直線所成的角;(3)解三角形求角.,4.線線平行的判定方法(1)定義:同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線;(2)公理4:ab,bcac;(3)平面幾何中判定兩直線平行的方法;(4)線面平行的性質(zhì):a,a,=bab;(5)線面垂直的性質(zhì):a,bab;(6)面面平行的性質(zhì):,=a,=bab.,5.直線和平面平行的判定方法(1)定義:;(2)判定定理:ab,a,ba;(3)線面垂直的性質(zhì):ba,b,aa;(4)面面平行的性質(zhì):,aa.,6.兩個(gè)平面平行的判定方法(1)依定義采用反證法;(2)利用判定定理:a,b,a,b,ab=A;(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行:a,a;(4)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行:,.,7.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化由上面的框圖易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化,因此要判定某一平行的過(guò)程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程,在解題時(shí)把握這一點(diǎn),靈活確定轉(zhuǎn)化的思路和方向.,8.線線垂直的判定方法(1)定義:兩條直線所成的角為90;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法;(3)線面垂直的性質(zhì):a,bab;(4)線面垂直的性質(zhì):a,bab.,9.線面垂直的判定方法(1)線面垂直的定義:a與內(nèi)任意直線垂直a;,(3)判定定理2:ab,ab;(4)面面平行的性質(zhì):,aa;(5)面面垂直的性質(zhì):,=l,a,ala.,10.兩個(gè)平面垂直的判定方法(1)利用定義:兩個(gè)平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a,a.,11.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.,三數(shù)學(xué)思想1.轉(zhuǎn)化的思想例1:如下圖,點(diǎn)P是ABC所在平面外一點(diǎn),ABC分別是PBCPCAPAB的重心.(1)求證:平面ABC平面ABC;(2)求AB:AB.,解:(1)如右圖,連結(jié)并延長(zhǎng)PAPBPC,其延長(zhǎng)線分別交BCACAB于MNQ.AB是PBCPAC的重心,同理由BC是PACPAB的重心,可知BCQN.ABMN,MN平面ABC,AB平面ABC,AB平面ABC,同理BC平面ABC.又AB面ABC,BC面ABC,ABBC=B.平面ABC平面ABC.,(2)平面ABC平面ABC,平面PMN平面ABC=MN,平面PMN平面ABC=AB,ABMN,2.數(shù)形結(jié)合思想,例2:某幾何體的三視圖如下圖所示,P是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),G是PB的中點(diǎn).(1)根據(jù)三視圖,畫(huà)出該幾何體的直觀圖;(2)在直觀圖中,證明:PD面AGC;證明:面PBD面AGC.,解:(1)該幾何體是底面為2的正方形,側(cè)面為全等的三角形的四棱錐,直觀圖如下圖所示,(2)連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)O,連結(jié)OG,因?yàn)镚為PB的中點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),所以O(shè)GPD.又OG面AGC,PD面AGC,所以PD面AGC.連結(jié)PO,由三視圖,PO面ABCD,所以AOPO.又AOBO,所以AO平面PBD.AO平面AGC,面PBD面AGC.,3.分類討論思想,例3:如果二面角-l-的平面角是銳角,點(diǎn)P到和棱l的距離分別為求二面角的大小.,分析:點(diǎn)P可能在二面角-l-的內(nèi)部,也可能在外部,應(yīng)分類解答.,解:如圖所示,P在二面角-l-的內(nèi)部時(shí),圖(1),點(diǎn)P在-l-的外部時(shí),圖(2).在圖(1)中,PA,PAl,ACl,l面PAC,同理,l面PBC而面PAC面PBC=PC,面PAC與面PBC應(yīng)重合,即ACBP在同一平面內(nèi),ACB是二面角-l-的平面角,在RtAPC中,在RtBCP中,BCP=45ACB=30+45=75在圖(2)中,應(yīng)有ACB=45-30=15.,4.函數(shù)的思想,例4:在長(zhǎng)方體A1B1C1D1ABCD中,點(diǎn)M在AB1上移動(dòng),點(diǎn)N在BC1上移動(dòng),求點(diǎn)M和點(diǎn)N的最短距離.,解:如右圖所示,在BB1上取動(dòng)點(diǎn)P,作PMAB1于M,PNBC交BC1于N,連結(jié)MN,因?yàn)锽C垂直于平面A1ABB1內(nèi)的所有直線,所以BCBB1,BCPM.又PNBC,PNBB1,PNPM.設(shè)BP=x,四數(shù)學(xué)方法1.利用平移求異面直線所成的角例5:如右圖,在空間四邊形ABCD中,EF分別是ABCD的中點(diǎn),且AD=BC,ADBC,求EF與BC所成的角.,解:連結(jié)EF,取BD的中點(diǎn)G,連結(jié)GEGF.EF分別是ABCD的中點(diǎn),EG和FG分別是ABD和DBC的中位線.GE.故EFG(或其補(bǔ)角)就是EF和BC所成的角.AD=BC,GE=GF.又ADBC,EGF=90.EFG=45.故EF與BC所成的角為45.,2.反證法例6:求證:過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行.已知:點(diǎn)P直線a.求證:過(guò)點(diǎn)P和直線a平行的直線b有且只有一條.,證明:存在性:如下圖,Pa,點(diǎn)P和直線a確定一個(gè)平面,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線b與直線a平行,故這樣的直線b存在.,唯一性:假設(shè)過(guò)點(diǎn)P還有一條直線c與a平行.ab,ac,bc,這與bc共點(diǎn)于P矛盾.故假設(shè)不成立,因此直線b唯一.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行.,規(guī)律技巧:對(duì)于“有且唯一”性命題的證明,既要證明“有”即存在性,又要證明唯一性,其中唯一性的證明大多采用反證法.反證法的證明過(guò)程是:從否定結(jié)論入手,進(jìn)行推理,直至推出矛盾(可以與假設(shè)相矛盾,也可以與已知定理公理相矛盾)矛盾產(chǎn)生的原因是假設(shè)不成立,故原命題成立.,3.同一法例7:已知平面平面,直線AB過(guò)內(nèi)一點(diǎn)A,且AB平面.求證:AB.,分析:此題直接證明,不易表達(dá),可用同一法證明.,證明:在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作直線AC垂直于平面的交線OE.如下圖,則AC平面.因?yàn)锳B和AC都過(guò)點(diǎn)A,且垂直于平面,所以ABAC重合.也就是AB平面.,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,