第二章3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法,在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會(huì)倒下.,思考1試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？,答案第一輛自行車倒下；任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下.,思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問題？,答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題.,梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：證明當(dāng)時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng)_時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,nn0,nk1,nk(kN，且kn0),(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.(3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程,正整數(shù),題型探究,類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，,證明,即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)可知，原等式對(duì)nN均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn).并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè).,證明,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，,當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2,所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知，等式對(duì)任何nN都成立.,類型二證明與整除有關(guān)的問題,例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除.,證明,證明(1)當(dāng)n1時(shí)，x2y2(xy)(xy)能被xy整除.(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2).x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除.即當(dāng)nk1時(shí)，x2k2y2k2能被xy整除.由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，命題均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證.,跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN).,證明,證明(1)當(dāng)n1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3).因?yàn)閗3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立.由(1)(2)知，命題對(duì)一切nN成立.,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1,2,4,3,解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為A.1B.2C.3D.4,答案,解析,1,2,4,3,解析當(dāng)n1時(shí)，n12，故左邊所得的項(xiàng)為1aa2.,A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3,答案,解析,1,2,4,3,解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除，當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_.,答案,解析,81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1),5634k1),1,2,4,3,證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，即13(2k1)k2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)等式成立.由(1)(2)可知，等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明13(2n1)n2(nN).,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問題(1)第一步中的驗(yàn)證，對(duì)于有些問題驗(yàn)證的并不是n1，有時(shí)需驗(yàn)證n2，n3.(2)對(duì)nk1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.(3)“假設(shè)nk時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.,2.判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題是否正確(1)要看有無歸納奠基.(2)證明當(dāng)nk1時(shí)是否應(yīng)用了歸納假設(shè).3.與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中關(guān)鍵問題是從當(dāng)nk1時(shí)的表達(dá)式中分解出nk時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立.,本課結(jié)束,