第二章,推理與證明,22直接證明與間接證明,23數(shù)學(xué)歸納法,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明_,當(dāng)nk1時命題也成立,1用數(shù)學(xué)歸納法證明12(2n1)(n1)(2n1)時，在驗(yàn)證n1成立時，左邊所得的代數(shù)式是()A1B13C123D1234解析當(dāng)n1時，2n12113，所以左邊為123故應(yīng)選C,C,B,B,互動探究學(xué)案,命題方向1數(shù)學(xué)歸納法的基本原理及用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式,典例1,規(guī)律總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項(xiàng)的情況；二是弄清從nk到nk1等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；三是證明nk1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝nk1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形,C,B,命題方向2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,典例2,規(guī)律總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式和證明恒等式注意事項(xiàng)大致相同，需要注意的是：(1)在應(yīng)用歸納假設(shè)證明過程中，方向不明確時，可采用分析法完成，經(jīng)過分析找到推證的方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明(2)在推證“nk1時不等式也成立”的過程中，常常要將表達(dá)式作適當(dāng)放縮變形，以便于應(yīng)用歸納假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論,命題方向3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR思路分析證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，即采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出nk時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得以解決證明(1)當(dāng)n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1由歸納假設(shè)知，上式能被a2a1整除，故當(dāng)nk1時命題也成立由(1)、(2)知，對一切nN*，命題都成立,典例3,規(guī)律總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，首先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除其中的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，可采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法分析出因子，從而利用歸納假設(shè)使問題得到解決利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由歸納假設(shè)P(k)能被p整除，證P(k1)能被p整除，也可運(yùn)用結(jié)論：若P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除或利用“P(k)能被P整除，存在整式q(k)，使P(k)Pq(k)”，將P(k1)變形轉(zhuǎn)化分解因式產(chǎn)生因式p,例如本題中，在推證nk1命題也成立時，可以用整除的定義，將歸納假設(shè)表示出來，假設(shè)nk時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)為多項(xiàng)式)，所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1，所以nk1時，ak2(a1)2k1ak2(a1)2(a1)2k1ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1(a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)，顯然能被a2a1整除，即nk1時，命題亦成立,跟蹤練習(xí)3求證：當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除證明(1)顯然，當(dāng)n1時，命題成立，即x1y1能被xy整除(2)假設(shè)當(dāng)n2k1(kN*)時命題成立，即(xy)能整除x2k1y2k1，則當(dāng)n2k1時，x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1，xy能整除(x2k1y2k1)，又xy能整除(xy)(xy)y2k1，(xy)能整除x2k1y2k1由(1)、(2)可知當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除,由已知條件首先計(jì)算數(shù)列an的前幾項(xiàng)的值，根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，猜想出數(shù)列an的通項(xiàng)公式或遞推公式，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項(xiàng)的一種常見的方法,歸納猜想證明,設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1(n1,2,3，)(1)求a1，a2；(2)求Sn的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明,典例4,規(guī)律總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法源于對某些猜想的證明，而猜想是根據(jù)不完全歸納法對一些具體的、簡單的情形進(jìn)行觀察、類比而提出的給出一些簡單的命題(n1,2,3，)，猜想并證明對任意自然數(shù)n都成立的一般性命題解題一般分三步進(jìn)行：(1)驗(yàn)證P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，；(2)提出猜想；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明,跟蹤練習(xí)4在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中>0(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通項(xiàng)公式并加以證明解析(1)由an1ann1(2)2n，將a12代入，得a2a12(2)224；將a224代入，得a3a23(2)22238；將a3238代入，得a4a34(2)233416,(2)由a2，a3，a4，對an的通項(xiàng)公式作出猜想：an(n1)n2n證明如下：當(dāng)n1時，a12(11)121成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，ak(k1)k2k，則當(dāng)nk1時，ak1akk1(2)2k(k1)k12kk1(2)2kkk12k1(k1)1k12k1由此可知，當(dāng)nk1時，ak1(k1)1k12k1也成立由可知，an(n1)n2n對任意nN*都成立,數(shù)學(xué)歸納法證明：2222n12(2n11)(n>2，nN),未用歸納假設(shè)而致誤,典例5,辨析錯解中的第二步?jīng)]用到歸納假設(shè)，直接使用了等比數(shù)列的求和公式由于未用歸納假設(shè)，造成使用數(shù)學(xué)歸納法失誤正解(1)當(dāng)n3時，左邊2226，右邊2(221)6，等式成立；(2)假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即2222k12(2k11)，那么nk1時，2222k12k2(2k11)2k22k22(2k1)所以當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，等式對任意n>2，nN都成立點(diǎn)評在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可其中，第一步是遞推的基礎(chǔ)，驗(yàn)證nn0時結(jié)論成立的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2、3等；第二步是遞推的依據(jù)，證明nk1時命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,1某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時該命題成立，則可推得nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時該命題不成立，則可推得()A當(dāng)n6時，該命題不成立B當(dāng)n6時，該命題成立C當(dāng)n4時，該命題不成立D當(dāng)n4時，該命題成立解析若n4時，該命題成立，由條件可推得n5命題成立它的逆否命題為：若n5不成立，則n4時該命題也不成立,C,