2.5.1離散型隨機(jī)變量的均值,第2章2.5隨機(jī)變量的均值和方差,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點分布、二項分布的均值.4.會利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實際問題.,題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),知識點一離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望,設(shè)有12個西瓜，其中4個重5kg,3個重6kg,5個重7kg.,思考1,任取1個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試問X可以取哪些值？,答案,答案X5,6,7.,思考2,當(dāng)X取上述值時，對應(yīng)的概率分別是多少？,答案,思考3,如何求每個西瓜的平均重量？,答案,(1)數(shù)學(xué)期望：E(X).(2)性質(zhì)pi0，i1,2，n；p1p2pn1.(3)數(shù)學(xué)期望的含義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的.,離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：,梳理,x1p1x2p2xnpn,平均水平,知識點二兩點分布、超幾何分布、二項分布的均值,1.兩點分布：若X01分布，則E(X).2.超幾何分布：若XH(n，M，N)，則E(X).3.二項分布：若XB(n，p)，則E(X).,p,np,題型探究,命題角度1一般離散型隨機(jī)變量的均值例1某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的概率分布和均值；,解答,類型一離散型隨機(jī)變量的均值,解X的可能取值為300，100,100,300.P(X300)0.230.008，,P(X300)0.830.512，所以X的概率分布如下表：,所以E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分).,(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X0)的概率.,解這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.,解答,求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(Xk).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元，20個獎品是25元，5個獎品是100元.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？,解答,解設(shè)一張彩票的中獎額為隨機(jī)變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表：,0.2，所以一張彩票的合理價格是0.2元.,命題角度2二項分布與兩點分布的均值例2某運(yùn)動員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值；,解投籃1次，命中次數(shù)X的概率分布如下表：,解答,則E(X)0.6.,(2)求重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y的均值.,解由題意知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項分布，即YB(5,0.6)，E(Y)np50.63.,解答,引申探究在重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)為Y，隨機(jī)變量5Y2.求E().,解E()E(5Y2)5E(Y)253217.,解答,(1)常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗中成功的概率，則兩點分布E(X)p；二項分布E(X)np.熟練應(yīng)用上述兩公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度.(2)兩點分布與二項分布辨析相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生.不同點：a.隨機(jī)變量的取值不同，兩點分布隨機(jī)變量的取值為0,1，二項分布中隨機(jī)變量的取值X0,1,2，n.b.試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進(jìn)行n次試驗.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨立.(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；,解設(shè)該車主購買乙種保險的概率為p，由題意知p(10.5)0.3，解得p0.6.設(shè)所求概率為P1，則P11(10.5)(10.6)0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8.,解答,(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的均值.,解每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是20.,解答,命題角度3超幾何分布的均值例3一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n3)個白球.已知從口袋中隨機(jī)取出一個球是紅球的概率是不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個球，求取到白球的個數(shù)的均值E().,解答,方法一白球的個數(shù)可取0,1,2.,方法二取到白球的個數(shù)服從參數(shù)為N5，M2，n3的超幾何分布，,(1)超幾何分布模型一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品，則P(Xk)k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.(2)超幾何分布均值的計算公式若一個隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X),反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3設(shè)在15個同類型的零件中有2個次品，每次任取1個，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的個數(shù)，求均值E(X).,解答,方法二由題意可知，X服從N15，M2，n3的超幾何分布，,例4甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果相互獨立，第1局甲當(dāng)裁判.(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；,解記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.則AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2),類型二均值的應(yīng)用,解答,(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的均值.,解X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負(fù)”.,解答,解答此類題目，應(yīng)首先把實際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練4某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；,解答,解記事件A1從甲箱中摸出的1個球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個球是紅球，B1顧客抽獎1次獲一等獎，B2顧客抽獎1次獲二等獎，C顧客抽獎1次能獲獎.,故所求概率為,(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值.,解答,故X的概率分布如下表：,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.現(xiàn)有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為隨機(jī)變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為_.,答案,2,3,4,1,解析,1.18,2,3,4,1,解析因為X的所有可能取值為1.2,1.18,1.17，,所以X的概率分布如下表：,2.若p為非負(fù)實數(shù)，隨機(jī)變量的概率分布如下表：,答案,2,3,4,1,解析,則E()的最大值為_.,3.設(shè)隨機(jī)變量XB(40，p)，且E(X)16，則p_.,答案,2,3,4,1,解析,解析E(X)np40p16，得p0.4.,0.4,4.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.(1)求的概率分布、均值；,2,3,4,1,解答,解的概率分布如下表：,(2)若a4，E()1，求a的值.,2,3,4,1,解答,規(guī)律與方法,1.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值.(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否.(3)根據(jù)公式寫出均值.2.若X、Y是兩個隨機(jī)變量，且YaXb，則E(Y)aE(X)b；如果一個隨機(jī)變量服從兩點分布或二項分布，可直接利用公式計算均值.,本課結(jié)束,