數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理離散時(shí)間信號卷積的定義1基礎(chǔ)教學(xué)123離散線性卷積離散周期卷積離散循環(huán)卷積數(shù)字信號處理2基礎(chǔ)教學(xué)離散線性卷積 設(shè)序列x(n)和y(n)(-n+),稱下述運(yùn)算：為序列x(n)和y(n)的線性卷積，記作x(n)y(n),即 x(n)y(n)=)()(inyixi)()(inyixi3基礎(chǔ)教學(xué)離散線性卷積 容易看出，和一般的相加、相乘運(yùn)算相比，卷積運(yùn)算要復(fù)雜得多，它是有移位、相乘、和相加組成的綜合性運(yùn)算。對于不同的n,序列的線性卷積值構(gòu)成了一個(gè)新的序列g(shù)(n).即 g(n)=x(n)y(n)4基礎(chǔ)教學(xué)離散線性卷積 例 3.2：設(shè)序列x(n)=1,-1,2和y(n)=3,0,-1,試計(jì)算x(n)和y(n)的線性卷積序列g(shù)(n)(-n+)解：由于x(n)和y(n)都是3點(diǎn)典型的有限序列，因此，n2時(shí)，x(n)=y(n)=0,即i2時(shí)，x(i)=0.而對y(n-i),則n-i2時(shí)，y(n-i)=0,這時(shí)in和in-2，因此，可得：g(n)=當(dāng)n4時(shí)，g(n)=0 因此，x(n)和y(n)的線性卷積序列 g(n)=3,-3,5,1,-2)()(22inyixni6基礎(chǔ)教學(xué)離散線性卷積 線性卷積的求和限為-到+，因此，它一般有收斂問題。對于線性卷積x(n)y(n),當(dāng) ,則稱卷積在n=處收斂，若在-n+時(shí)線性卷積處處收斂，則稱線性卷積收斂。若x(n)和y(n)中有一個(gè)序列是一般有限序列，不失一般性，設(shè)這個(gè)序列是x(n）x(n)=0 (n ,)可得：x(n)y(n)=上式是有限項(xiàng)求和，不存在不收斂的問題，涉及有限序列的線性卷積一定收斂。nnynxn0)()(n0N1N2N1N2)()(21inyNNixi7基礎(chǔ)教學(xué)離散周期卷積 對兩個(gè)同周期的周期序列，可以定義周期卷積。設(shè)周期序列 和 的周期均為N，稱下列運(yùn)算：（-n+）為周期序列 和 的周期卷積，記作 容易看出，周期卷積也確定了一個(gè)新的序列，并且可以證明，這一序列也是周期為N的周期序列。若記這序列為 nx nyinyixNi1-0)(ny nx nynx inyixnynxNi10 nf nynxnf8基礎(chǔ)教學(xué)離散周期卷積 在上式中，可以看出，周期卷積的求和區(qū)間是周期序列對的主值區(qū)間。但是，若用任何長為N的區(qū)間求和，容易證明和值都是相同的，這正是周期序列的周期性帶來的結(jié)果。由于周期序列周期卷積的求和區(qū)間是有限的，因此，它不存在收斂的問題。若把非周期序列看作周期無限大的周期序列，這時(shí)，周期卷積和線性卷積完全一致。例 3.3：設(shè) 和 都是周期N=3的周期序列，它們的序列值分別為 和 ，試計(jì)算它們的周期卷積序列 。解：由于 也是周期N=3的周期序列，故只需計(jì)算n=0,1,2時(shí) 的值即可 ny nx 2,1,1nx 1,0,3ny nf nf nf9基礎(chǔ)教學(xué)離散周期卷積 532011102112022512310122011012011011402113112210022110000202020yxyxyxiyixfyxyxyxyxyxyxiyixfyxyxyxyxyxyxiyixfiii10基礎(chǔ)教學(xué)離散周期卷積 因此：和 的周期卷積序列 為 nx ny nf 5,5,4nf11基礎(chǔ)教學(xué)離散循環(huán)卷積 對N點(diǎn)有限序列來說，除了作線性卷積運(yùn)算外，還有一種特殊的卷積運(yùn)算，這就是循環(huán)卷積。設(shè)N點(diǎn)有限序列x(n)和y(n)，稱下列運(yùn)算：為有限序列x(n)和y(n)的循環(huán)卷積，記為 即：循環(huán)卷積也確定了一個(gè)新的序列，若把循環(huán)卷積序列記為t(n),則 ninyixrNNi1-0n-nynx ninyixnynxrNNi10 nynxnt12基礎(chǔ)教學(xué)離散循環(huán)卷積 可以看出，循環(huán)卷積序列t(n)也是有限序列，并且它與參與卷積的兩有限序列具有相同的長度N。通常，若只考慮主值區(qū)間的值，則可簡化為在循環(huán)卷積式中，對有序列y(n)的下標(biāo)應(yīng)用了模N運(yùn)算。由于卷積式中也是有限項(xiàng)的和，因此也不存在收斂的問題。例3.4 對例3.2中的3點(diǎn)有限序列x(n)和y(n),試計(jì)算N=3的循環(huán)卷積序列t(n).解：由于N=3的循環(huán)卷積序列t(n)也是3點(diǎn)序列，因此，只需求出主值區(qū)間 0,2中循環(huán)卷積序列t(n)就可以了。inyixnynxNi1010Nn13基礎(chǔ)教學(xué)離散循環(huán)卷積 因此，x(n)和y(n)的3點(diǎn)循環(huán)卷積序列t(n)為 53201110211203222312130203225123101220110321231113010311402113112210032023101300030)(0202020yxyxyxyxyxyxiyixtyxyxyxyxyxyxiyixtyxyxyxyxyxyxiyixtiii 5,5,4 nt14基礎(chǔ)教學(xué)離散循環(huán)卷積 和例3.3中周期卷積序列 的主值序列相對照，可以看出，t(n)和 完全相同。它表明周期序列的周期卷積和有限序列的循環(huán)卷積之間有著確定的內(nèi)在聯(lián)系。在一般情況下，有限序列x(n)和y(n)往往長度不同。例如，序列x(n)的長度為N1 序列y(n)的長度為N2。在這種情況下，為了對x(n)和y(n)作循環(huán)卷積運(yùn)算，選擇某個(gè)正整數(shù)N，使 .容易看出，可以把x(n)和y(n)都當(dāng)作長度為N的有限序列，只不過在各自新的區(qū)間中包含了較多的零值。例如，序列 x(n)=-2,3,4 是一個(gè)3點(diǎn)有限序列，若將它寫成如下形式：x(n)=-2,3,4,0,0 x(n)就可以看作是5點(diǎn)有限序列。而序列x(n)本身并沒有改變，僅僅是主值區(qū)間的范圍擴(kuò)展了，這種通過考慮零值而使有限序列主值區(qū)間加長的過程通常稱為補(bǔ)零。nf nfNNNN11,15基礎(chǔ)教學(xué)