第二節(jié) 定積分的計算()分部積分公式1基礎教學 設設函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv.定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導:,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv 定積分的分部積分法2基礎教學例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 則則3基礎教學例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 4基礎教學例例3 3 計算計算解解.sin420 dxx xt 20sin2 tdtt 20)cos(2 tdt 2200cos2cos 2 tdttt20sin2 t 2.sin420 dxx5基礎教學例例4 4 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln(xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln35 6基礎教學 102102)1ln()1ln(xdxdxxx解：解：1022)1ln(201)1ln(2xdxxxdxxx 1021212ln21dxxx)111(212ln2110 01)1ln(2212ln212 xxx41.)1ln(510dxxx計算例7基礎教學 edxx1)sin(ln解解：exxdexx1)sin(ln1)sin(ln edxxe1)cos(ln1sin edxxee1)sin(ln11cos1sin.)sin(ln 61edxx計算例8基礎教學11cos1sin)sin(ln21 eedxxe)11cos1sin(21)sin(ln1 eedxxe求定積分也經常采用遞推的方法，如下例：求定積分也經常采用遞推的方法，如下例：9基礎教學例例 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設設,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 10基礎教學 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關于下標的遞推公式關于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止11基礎教學,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2200 dxI,1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是12基礎教學.)()()(800 xxuodudxxfduuxufxf連續(xù)，證明：設例證：證：利用定積分的分部積分法利用定積分的分部積分法 xuuoxduuufxdxxfududxxf000)(0)()(xxduuufdxxfx00)()(13基礎教學例例9 9 設設 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數(shù)，沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx14基礎教學 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x).11(cos21 ,0sin)1(11 dtttf15基礎教學設設)(xf 在在 1,0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求，求 10)2(dxxfx.例例1010 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 1010d)2(21)2(21xxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 16基礎教學幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式1、定積分的換元法、定積分的換元法dxxfba)(dtttf )()(三、小結2、定積分的分部積分公式、定積分的分部積分公式 .bababavduuvudv（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）17基礎教學