第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 3.5.1 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像 3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像 3.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像 3.5.5 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 3.5 鏡像法鏡像法1第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代解，可以用等效電荷的電位替代1.問題的提出問題的提出幾個(gè)實(shí)例幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。示。q qqq非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷等效電荷等效電荷3.5.1 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理2第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用?；蚓€電荷的作用。問題問題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？這種等效是否合理？3第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2.鏡像法的原理鏡像法的原理 用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來等效替代用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3.鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ) 解的解的惟一性定理惟一性定理4第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素三要素”。4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.確定鏡像電荷的兩條原則確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的等效求解的“有效場(chǎng)域有效場(chǎng)域”。鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域區(qū)域 的邊界條件來確定。的邊界條件來確定。5第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院1.點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷鏡像電荷電位函數(shù)電位函數(shù)因因z=0時(shí)，時(shí)，有效區(qū)域有效區(qū)域RR q qhhq q qh6第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院上半空間上半空間(z0）的電位函數(shù)）的電位函數(shù)q qh22222211(,)4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為7第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2.線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：鏡像線電荷：ln(0)2lRzR滿足原問題的邊界條件，滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。所得的解是正確的。電位函數(shù)電位函數(shù)當(dāng)當(dāng)z=0 時(shí)，時(shí)，rr 0,llhh hhl 有效區(qū)域有效區(qū)域RR l8第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷電荷q 位于位于(d1,d2)處。處。顯然，顯然，q1 對(duì)平面對(duì)平面 2 以及以及 q2 對(duì)平對(duì)平面面 1 均不能滿足邊界條件。均不能滿足邊界條件。1231111()4qRRRR對(duì)于平面對(duì)于平面1，有鏡像電荷，有鏡像電荷q1=q，位于，位于(d1,d2)對(duì)于平面對(duì)于平面2，有鏡像電荷，有鏡像電荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)處處再設(shè)置一再設(shè)置一鏡像電荷鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能，所有邊界條件才能得到滿足。得到滿足。電位函數(shù)電位函數(shù) d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d19第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 例例3.5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷一個(gè)點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？解解：移動(dòng)電荷：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來源于導(dǎo)受的電場(chǎng)力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾审w板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至移至無窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。無窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。20()4(2)xqE xexe22200()d1d4(2)16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx =0d-d 由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷 替代。當(dāng)電荷替代。當(dāng)電荷q 移移至至x時(shí)，像電荷時(shí)，像電荷 應(yīng)位于應(yīng)位于x，則，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度qq q10第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來等效。來等效。q 應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球與球心的連線上，距球心為心的連線上，距球心為d。則有。則有 01()4qqRR 如圖所示，點(diǎn)電荷如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑位于半徑為為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和和 q。d dq?問題問題：PqarRdqPaqrRRdd11第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 令令ra，由球面上電位為零，由球面上電位為零，即即 0，得，得=0qqRRRqRq 常數(shù)此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。OqPOq P2add 0RaqqqRdqqRR 條件條件：若：若像電荷的位置像電荷的位置像電荷的電量像電荷的電量1adqq RdaRad常數(shù)常數(shù)qPqaRRddO12第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2222221()42cos()2()cosqarardrddradr ad22223 2()4(2cos)Sr aq dara adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos)SSq daaaqSqaadadd 可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為球面上的感應(yīng)電荷面密度為qPaqrRRdd01()4qqRR13第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,aqqd 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為、外半徑為b，點(diǎn)電，點(diǎn)電荷荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d|q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)（無關(guān)（為什么為什么？）？）aqdobqrRRaqdOd14第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院球殼內(nèi)的電位球殼內(nèi)的電位220223 2()4(2cos)Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos)SSq adaqSqaadad 感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等?？梢?，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。22222201()42cos()2()cosqarardrddradr ad15第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電的感應(yīng)電荷分布，則荷分布，則 2,aaqq ddd 導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零。電荷為零。采用疊加原理來確定鏡像電荷采用疊加原理來確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為位于一個(gè)半徑為a 的不的不接地導(dǎo)體球外，距球心為接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRdO16第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院0aqqqda，然后斷開接地線，并將電荷然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個(gè)位可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷于球心的鏡像電荷q來替代，即來替代，即01()4qqqRRr球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddqO17第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像問題問題：如圖如圖 1 所示，一根電荷線密度所示，一根電荷線密度為為 的無限長線電荷位于半徑為的無限長線電荷位于半徑為a 的的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為軸線平行且到軸線的距離為d。l圖圖1 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱lxoa0d圖圖2 線電荷與導(dǎo)體圓柱的線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像鏡像ald(,)P xo0ld特點(diǎn)特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。同產(chǎn)生。分析方法分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。所示。1.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像18第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院a由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即時(shí)，電位應(yīng)為零，即 所以有所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為且距圓柱的軸線為 ，則由，則由 和和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)共同產(chǎn)生的電位函數(shù)ldll2lladd 由于上式對(duì)任意的由于上式對(duì)任意的 都成立，因此，將上式對(duì)都成立，因此，將上式對(duì) 求導(dǎo)，可以得到求導(dǎo)，可以得到 222211lnln222cos2cosllCdddd|222211lnln0222cos2cosllCa adadadad|0cos)(2)()(2222lllldaddaddad00)()(2222lllldaddad19第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：2242222cosln22cosldadaCddd由由 時(shí)，時(shí)，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為2222()2(2cos)lSadaa adad 導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。ln2ldCa20第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖圖1 1 兩平行圓柱導(dǎo)體兩平行圓柱導(dǎo)體hahall圖圖2 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸lblhhbaa特點(diǎn)特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。的一側(cè)電荷密度較小。分析方法分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為密度分別為 、且相距為、且相距為2b 的兩根的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖 2所示。所示。l問題問題：如圖如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單，單位長度分別帶電荷位長度分別帶電荷 和和 。ll21第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院圖圖2 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸lblhhbaa 通常將帶電細(xì)線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這通常將帶電細(xì)線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。種方法又稱為電軸法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定的鏡像確定b。思考思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？22第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3.5.5 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖圖1 1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面分界平面zx12qh特點(diǎn)：特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。與極化電荷共同產(chǎn)生。圖圖2 2 介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷Pqhh11xzqRR問題：?jiǎn)栴}：如圖如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為所示，介電常數(shù)分別為 和和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為距分界平面為h。12分析方法：分析方法：計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖2所示。所示。123第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院介質(zhì)介質(zhì)1中的電位為中的電位為122222211(,)4()()qqx y zxyzhxyzh(0)z 222221(,)4()qqx y zxyzh(0)z 2 計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)所示。介質(zhì)2中的電位為中的電位為圖圖3 3 介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷22qqPxzhR24第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院可得到可得到1211()()qqqqqqqq說明：說明：對(duì)位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面對(duì)位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為），其鏡像電荷為12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用電位滿足的邊界條件利用電位滿足的邊界條件25第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院圖圖1 1 線電流與磁介質(zhì)線電流與磁介質(zhì)分界平面分界平面zx12Ih圖圖2 2 磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 1的鏡像線的鏡像線電流電流PIhh11xzIRR特點(diǎn)特點(diǎn)：在直線電流在直線電流I 產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。流共同產(chǎn)生。問題問題：如圖如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為所示，磁導(dǎo)率分別為 和和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為分界平面，且與分界平面相距為h。12分析方法分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖2所示。所示。13.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 26第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxzh(0)z 因?yàn)殡娏餮匾驗(yàn)殡娏餮?y 軸方向流動(dòng)，所以矢軸方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有量磁位只有y 分量，則磁介質(zhì)分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖圖3 3 磁介質(zhì)磁介質(zhì)2 2的鏡像的鏡像線電流線電流22IIPxzhR 在計(jì)算磁介質(zhì)在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為率為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖3所示。所示。227第第3 3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院211020001211,zzzzAAAAzz相應(yīng)的磁場(chǎng)可由相應(yīng)的磁場(chǎng)可由 求得。求得。BA 11211222221()11lnln22()()()IIxzhxzh A(0)z 12222211ln()()Ixzh A(0)z 21212121IIII 12()()IIIIIIII可得到可得到故故利用矢量磁位滿足的邊界條件利用矢量磁位滿足的邊界條件28