第八章反常積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣反常積分(廣義積分)3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別準則1 反常積分的概念2 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別準則1基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、兩類反常積分的定義二、兩類反常積分的定義第一節(jié)一、問題的提出一、問題的提出反常積分的概念 第八章 2基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21xy A1xyO一、問題的提出一、問題的提出引例引例1.曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積 可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim13基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例2:曲線xy1所圍成的1x與 x 軸,y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy1A1xyO4基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1.設(shè),),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在,則稱此極限為 f(x)的無窮限反常積分反常積分,記作xxfxxfbabad)(limd)(這時稱反常積分xxfad)(收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散.類似地,若,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(二、兩類反常積分的定義二、兩類反常積分的定義5基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱xxfd)(發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分第一類反常積分.,并非不定型,說明說明:上述定義中若出現(xiàn) 它表明該反常積分發(fā)散.6基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計算表達式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF7基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.計算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xy211xyO思考思考:?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散!注意注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.8基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.證明第一類 p 積分apxxd證證:當(dāng) p=1 時有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時收斂;p1 時發(fā)散.,因此,當(dāng) p 1 時,反常積分收斂,其值為;11pap當(dāng) p1 時,反常積分發(fā)散.9基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.計算反常積分.)0(de0ptttp解解:tppte原式00de1tptptppe12021p10基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2.設(shè),()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0這時稱反常積分xxfbad)(收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散.類似地,若,),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f(x)在 a,b 上的反常積分,則定義則稱此極限為函 記作11基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類 說明說明:,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分第二類反常積分,無界點常稱鄰域內(nèi)無界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點瑕點(奇點奇點).例如,xxxd11112xxd)1(11間斷點,而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義12基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:若瑕點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF計算表達式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點,則若 a 為瑕點,則若 a,b 都為瑕點,則,),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?13基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 112dxx211111x下述解法是否正確:,積分收斂例例4.計算反常積分.)0(d022axaxa解解:顯然瑕點為 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5.討論反常積分112dxx的收斂性.解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散.14基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.證明反常積分baqaxx)(d證證:當(dāng) q=1 時,當(dāng) q 1 時收斂;q1 時發(fā)散.baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時,該廣義積分收斂,其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時,該廣義積分發(fā)散.15基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.解解：,)2()1()1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與的無窮間斷點,故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan1016基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限 2.兩個重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0(abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,)1(11pap17基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(1)有時通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2)當(dāng)一題同時含兩類反常積分時,應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.18基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)有時需考慮主值意義下的反常積分.baxxfd)(v.p.),(bcac為瑕點xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0常積分收斂.注意注意:主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反其定義為19基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 試證xxxxxd11d04204,并求其值.解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd12102112220基礎(chǔ)教學(xué)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx2221基礎(chǔ)教學(xué)