第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十一章 一、一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì),I0 x若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為其收斂域收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù),稱(chēng)收斂,發(fā)散,所有0 x稱(chēng)為其收收 0 x稱(chēng)為其發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn),),2,1()(nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為其發(fā)散域發(fā)散域.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,)(xS為級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù),并寫(xiě)成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項(xiàng))()()(xSxSxrnn則在收斂域上有,)()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前 n 項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱(chēng)它機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,等比級(jí)數(shù)它的收斂域是,)1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如,級(jí)數(shù),)0(02xnxxnnn,)(limxunn級(jí)數(shù)發(fā)散;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為.1x,)1,1(時(shí)當(dāng)x有和函數(shù),1時(shí)收斂當(dāng)x,10時(shí)但當(dāng) x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列),1,0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如,冪級(jí)數(shù)1,110 xxxnn為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù).即是此種情形.的情形,即nnxxa)(0稱(chēng) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1.(Abel定理定理)若冪級(jí)數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對(duì)滿(mǎn)足不等式0 xx 的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿(mǎn)足不等式證證:設(shè)00nnnxa,0lim0nnnxa收斂,則必有),2,1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0,使阿貝爾 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí),0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.也收斂,反之,若當(dāng)0 xx 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx0 x滿(mǎn)足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿(mǎn)足且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的 x,原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 冪級(jí)數(shù)在(,+)收斂;由Abel 定理可以看出,0nnnxa中心的區(qū)間.用R 表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0 時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在 x=0 收斂;R=時(shí),0 R冪級(jí)數(shù)在(R,R)收斂;(R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱(chēng)為收斂域收斂域.R 稱(chēng)為收斂半徑收斂半徑，在R,R 可能收斂也可能發(fā)散.Rx外發(fā)散;在(R,R)稱(chēng)為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2.若0nnnxa的系數(shù)滿(mǎn)足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1)若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),1x原級(jí)數(shù)發(fā)散.x即1x時(shí),1)當(dāng) 0 時(shí),2)當(dāng) 0 時(shí),3)當(dāng) 時(shí),即時(shí),則 1x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)若,0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對(duì)收斂,3)若,則對(duì)除 x=0 以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散,.0R對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說(shuō)明說(shuō)明:據(jù)此定理1limnnnaaR因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)端點(diǎn) x=1,1limnnnaaRnxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對(duì)端點(diǎn) x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),1)1(11nnn收斂;級(jí)數(shù)為,11nn發(fā)散.1,1(故收斂域?yàn)槔? 1.求冪級(jí)數(shù) limn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn解解:(1)limlim1nnnnaaR!1n)1(limnn所以收斂域?yàn)?),(2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n11limnn0所以級(jí)數(shù)僅在 x=0 處收斂.規(guī)定:0!=1!)1(1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.nnxnn202)!(!)2(求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.解解:級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為.21R21x即142x當(dāng)21x即)1(2nxnx2故直接由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.12)1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解解:令,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12當(dāng) t=2 時(shí),級(jí)數(shù)為,11nn此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng) t=2 時(shí),級(jí)數(shù)為,)1(1nnn此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理定理3.設(shè)冪級(jí)數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx,0nnnxcRx 則有:nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè) nnnxa0nnnxb0),2,1,0,1(0naan,3,2,0,1,110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是.1R1x1nnnxb0 x11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理4 若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)(證明見(jiàn)第六節(jié))nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注注:逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級(jí)數(shù)0!)(nnnxxS)(x則11!)1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù).因此得設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.1nnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1,x1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),)1,1(時(shí)故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1nnxx散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.求級(jí)數(shù)01nnnx的和函數(shù).)(xS解解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1,時(shí)級(jí)數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx)10(x1x及收斂,有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx,10 x,1)10(x1x及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8.2)1(122的和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnn解解:設(shè),1)(22nnnxxS則,)1,1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222)1(1nnn)0(x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1.已知nnnxa00 xx 在處條件收斂,問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答答:根據(jù)Abel 定理可知,級(jí)數(shù)在0 xx 收斂,0 xx 時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為.0 xR 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.在冪級(jí)數(shù)nnnnx02)1(2中,nnaa1nn)1(2)1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在?答答:不能.因?yàn)閚nnxu)(lim2)1(2limxnnn2x當(dāng)2x時(shí)級(jí)數(shù)收斂,2x時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,.2R說(shuō)明說(shuō)明:可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P215 1 (1),(3),(5),(7),(8)2 (1),(3)P257 7 (1),(4)8 (1),(3)作業(yè)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5 次方程的不可能性問(wèn)題,他還研究了更廣的一 并稱(chēng)之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得 到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開(kāi)拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類(lèi)代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說(shuō):阿貝爾留下的思想可供 后人發(fā)現(xiàn)這是一類(lèi)交換群,備用題備用題 求極限,)(lim221nanaan其中.1a解解:令nnanaaS221nkkak1作冪級(jí)數(shù),1nnxn設(shè)其和為,)(xS易知其收斂半徑為 1,則1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1(xxnnSlim)(1aS2)1(aa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束