第12講二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點一二次函數(shù)概念及表達(dá)式定義:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點二二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)(高頻)1.圖象性質(zhì),考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,2.圖象與系數(shù)關(guān)系,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點三二次函數(shù)表達(dá)式的確定(高頻)1.三種表達(dá)式的適用條件及求法確定二次函數(shù)表達(dá)式一般利用一般式求解.對不同的已知條件,應(yīng)靈活設(shè)出二次函數(shù)表達(dá)式的形式進(jìn)行求解.2.表達(dá)式三種形式的適用條件(1)當(dāng)已知拋物線上任意三點時,通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;(2)當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)(h,k)和拋物線上另一點時,通常設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k;(3)當(dāng)已知拋物線與x軸交點坐標(biāo)(x1,0)和(x2,0)時,通常設(shè)為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,3.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式的步驟(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組;(3)解方程組,求出待定系數(shù)的值,從而寫出函數(shù)的表達(dá)式.4.三種表達(dá)式之間的關(guān)系,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點四二次函數(shù)的平移由于拋物線的開口方向與開口大小均由二次項系數(shù)a確定,所以兩個二次函數(shù)如果a相等,那么其中一個圖象可以由另一個圖象平移得到.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點五,考點五二次函數(shù)與一元二次方程,命題點1,命題點2,命題點1二次函數(shù)解析式1.(2013安徽,16,8分)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(1,-1),且經(jīng)過原點(0,0),求該函數(shù)的解析式.解設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2-1(a0),2分函數(shù)圖象經(jīng)過原點(0,0),a(0-1)2-1=0,解得a=1.該函數(shù)的解析式為y=(x-1)2-1.8分,命題點3,命題點1,命題點2,命題點2二次函數(shù)性質(zhì)2.(2009安徽,23,14分)已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.,命題點3,命題點1,命題點2,(1)請說明圖1中,兩段函數(shù)圖象的實際意義;(2)寫出批發(fā)該種水果的資金金額(元)與批發(fā)量n(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;在圖2的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象;指出金額在什么范圍內(nèi),以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果;(3)經(jīng)調(diào)查,某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷售量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示,該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果,且當(dāng)日零售價不變,請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計進(jìn)貨和銷售的方案,使得當(dāng)日獲得的利潤最大.,命題點3,命題點1,命題點2,解(1)段函數(shù)圖象表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果,可按5元/kg批發(fā);段函數(shù)圖象表示批發(fā)量高于60kg的該種水果,可按4元/kg批發(fā).4分,命題點3,圖象如圖所示.由圖可知,資金金額滿足24060時,x60).則由題圖3,知日零售價p滿足x=320-40p.,從而x=80時,y最大值=160.此時,p=6.即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果,日零售價定為6元/kg,當(dāng)日可得最大利潤160元.14分,命題點1,命題點2,命題點3,命題點3二次函數(shù)的圖象3.(2015安徽,10,4分)如圖,一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象相交于P,Q兩點,則函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能為(A),命題點1,命題點2,命題點3,解析由于一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象有兩個不同的交點,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有兩個不相等的正實數(shù)根,所以函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個不同的交點,且都在x軸的正半軸上,故選A.,考法1,考法2,考法3,考法1二次函數(shù)的解析式的確定,例1(2018黑龍江哈爾濱)將拋物線y=-5x2+1向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得到的拋物線為()A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3答案:A解析:題干給的拋物線解析式可以看做頂點式,頂點為(0,1),平移可以看做是將頂點移動到(-1,-1),所以選A.方法總結(jié)二次函數(shù)的解析式往往是通過待定系數(shù)法或通過拋物線的平移、對稱變換進(jìn)行考查;本題考查了拋物線平移的問題.首先,將拋物線解析式化成頂點式;其次,根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則對解析式右側(cè)的代數(shù)式進(jìn)行變形,特別注意,左加右減是對自變量而言的;上加下減是對解析式整體而言的.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練1(2018淮北模擬)拋物線的形狀、開口方向與y=x2-4x+3相同,頂點在(-2,1),則關(guān)系式為(C),考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練2(2018合肥45中模擬)二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,對稱軸是x=-1,則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為(D)A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練3(2018蕪湖模擬)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,EGAF,FHCE,垂足分別為G,H,設(shè)AG=x,圖中陰影部分面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是(C),考法1,考法2,考法3,解析:E,F分別是AB,CD的中點,AE=CF,AECF,四邊形AFCE是平行四邊形,AFCE.EGAF,FHCE,四邊形EHFG是矩形,AEG+BEC=BCE+BEC=90,AEG=BCE,tanAEG=tanBCE,易證:AEGCFH,AG=CH,EH=EC-CH=4x,y=EGEH=8x2,故選C.,考法1,考法2,考法3,考法2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),例2(2018廣東深圳)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的是()A.abc>0B.2a+b=0C.3a+c0,當(dāng)開口向下時,a0,交于y負(fù)半軸c0,函數(shù)的圖象在x軸下方時,y0,拋物線與x軸有2個不同的交點,當(dāng)b2-4ac=0,拋物線與x軸只有1個交點,b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交點.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練4(2018四川成都)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是(D)A.圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,1)B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)C.當(dāng)x<0時,y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3,解析:因為當(dāng)x=0時,y=-1,所以圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-1),故A錯誤;圖象的對稱軸為x=-=-1,在y軸的左側(cè),故B錯誤;因為-1<x<0時,在對稱軸的右側(cè),開口向上,y的值隨x值的增大而增大,故C錯誤;y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,開口向上,所以有最小值-3,D正確.故選D.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練5(2018山東泰安)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=ax+b在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是(C),考法1,考法2,考法3,考法3二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例3(2016江蘇宿遷)若二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(-1,0),則方程ax2-2ax+c=0的解為()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1答案C解析方法一:可以求得,二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象的對稱軸為直線x=1,又經(jīng)過點(-1,0),根據(jù)對稱性,另一個交點為(3,0),所以方程的解為x1=-1,x2=3,故選C.方法二:二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a0)的圖象經(jīng)過點(-1,0),因此x1=-1是方程ax2-2ax+c=0的一個根.由韋達(dá)定理得,x1+x2=2.所以另一個根為3,故選C.,考法1,考法2,考法3,方法總結(jié)(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).(2)本題中有兩個待定系數(shù)a,c,求不出它們的具體數(shù)值,但可以求出二次函數(shù)的對稱軸,利用對稱性,可以求出另一個交點坐標(biāo)(即方程的根).(3)利用韋達(dá)定理,可以求出兩根之和,因此知道了一個根,可以求出另外一個根.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練6(2018浙江杭州)四位同學(xué)在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))時,甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時,函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時,y=4,已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的,則該同學(xué)是(B)A.甲B.乙C.丙D.丁,拋物線的解析式為y=x2-2x+4.當(dāng)x=-1時,y=x2-2x+4=7,乙的結(jié)論不正確;當(dāng)x=2時,y=x2-2x+4=4,丁的結(jié)論正確.四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的,假設(shè)成立.故選B.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練7(2018蕪湖二模)二次函數(shù)y=-x2+mx的圖象如圖,對稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數(shù))在1-5B.-5<t<3C.3<t4D.-5<t4,考法1,考法2,考法3,解析:如圖,關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t的交點的橫坐標(biāo),由-=2,得m=4.,當(dāng)x=1時,y=3,當(dāng)x=5時,y=-5,由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數(shù))在1<x<5的范圍內(nèi)有解,直線y=t在直線y=-5和直線y=4之間包括直線y=4,-5<t4.故選D.,考法1,考法2,考法3,對應(yīng)練8(2017江蘇南京)已知函數(shù)y=-x2+(m-1)x+m(m為常數(shù)).(1)該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是(D)A.0B.1C.2D.1或2(2)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=(x+1)2的圖象上.(3)當(dāng)-2m3時,求該函數(shù)的圖象頂點的縱坐標(biāo)的取值范圍.,考法1,考法2,考法3,當(dāng)m=-1時,z有最小值0;當(dāng)m-1時,z隨m的增大而增大;,因此,當(dāng)-2m3時,該函數(shù)的圖象頂點的縱坐標(biāo)的取值范圍是0z4.,