四、按行按列展開定理四、按行按列展開定理1.1.余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija36451322221 例例1:1:求求行行列列式式中中元元素素 和和的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式3 13164A(1)1413 3 23234A(1)(29)53 引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija004513221 134 A5144(12)4822 引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD 1112143 3332122244142443333aaa1aaaaaaaa A 例如例如33111213143 1212223244142434400a0aaaa(1)aaaaaaaa 33131112143 1 3 12321222443414244a000aaaa(1)aaaaaaaa 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 2、行列式按行（列）展開法則、行列式按行（列）展開法則nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 例如例如121x3 1)D=x20,(1,2)514A8,D2)D 例例1 1已已知知行行列列式式中中元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式求求已已知知四四階階行行列列式式 中中第第三三列列元元素素依依此此為為1,2,0,-1,1,2,0,-1,對對應(yīng)應(yīng)的的余余子子式式分分別別為為3,-2,4,5,3,-2,4,5,求求D D的的值值推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det(,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中例例235211105D,13132413 11121314112131411112131411213141設(shè)設(shè)行行列列式式求求A+A+A+AA+A+A+A 及及M+M+M+MM+M+M+M 一一般般行行列列式式:按按行行(列列)展展開開;化化成成上上(下下)三三角角形形行行(列列)和和相相同同帶帶形形爪爪形形逐逐行行加加減減特特殊殊行行列列式式按按行行(列列)展展開開加加邊邊法法數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法遞遞推推法法行列式計(jì)算方法：行列式計(jì)算方法：，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將10114324D.32142143143243214 D解解例例3計(jì)算計(jì)算(1).32142143143243214 D321421431432111110 D12341213121200011014,3,2 ccjj160103101121201231211211032 cc用提取公因子法計(jì)算用提取公因子法計(jì)算111x1111x1(2)1x1111x1112100 01210 0 (3)0121 00012 100012 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx）式成立）式成立時(shí)（時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例3證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設(shè)（假設(shè)（11 nii 1rrni n,n 1,22131n1221331nn1n 2n 2n 2221331nn1D11110 xxxxxx0 x(xx)x(xx)x(xx)0 x(xx)x(xx)x(xx)就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式例例計(jì)算計(jì)算6427811694143211111D4 1ji4ji)(xx12)34)(23)(24)(12)(13)(14(例例4 計(jì)算下列行列式計(jì)算下列行列式3.3.按行按列第二展開定理按行按列第二展開定理 Def1:k階子式階子式位于交叉處位于交叉處Nn階行列式中任選階行列式中任選k行行k列列,的元素按原位置所構(gòu)成的的元素按原位置所構(gòu)成的k階行列式階行列式Def2:k階子式的余子式階子式的余子式M階子式所在的行、列階子式所在的行、列劃去劃去k后余下的元素按原位置構(gòu)成的后余下的元素按原位置構(gòu)成的n-k階行列式階行列式Def3:k階子式的代數(shù)余子式為階子式的代數(shù)余子式為Mkkjjjiii 2121)1(子式所在的列號子式所在的列號階階為為階子式所在的行號階子式所在的行號為為其中其中kjjjkiiikk2121,ij ()nA(a),detAk(1kn),kkdetA 定定理理拉拉普普拉拉斯斯定定理理 設(shè)設(shè) 階階方方陣陣在在中中任任選選定定 行行由由這這 行行的的所所有有 階階子子式式與與之之對對應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式乘乘積積之之和和等等與與例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式aaa01000010例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式00000000052514241323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaa例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.;,0,.21jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 思考題解答思考題解答解解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn