微專題3多變量問題的處理,微專題3多變量問題的處理題型一利用基本不等式實(shí)現(xiàn)求解,例1(1)已知x為正實(shí)數(shù),且xy=2x+2,則+的最小值為.(2)若a2-ab+b2=1,a,b是實(shí)數(shù),則a+b的最大值是.,答案(1)2(2)2,解析(1)由題意可得x(y-2)=2,x>0,y-2>0,所以+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào),故+的最小值為2.,(2)因?yàn)閍2-ab+b2=(a+b)2-3ab=1,所以(a+b)2-1=3ab,即(a+b)21,所以-2a+b2,故a+b的最大值是2.,【方法歸納】解決約束條件下的二元最值問題,可將條件與目標(biāo)函數(shù)聯(lián)系起來,對(duì)條件或目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形,若兩者之間有和或積的形式,可利用基本不等式求解.,1-1若實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=1,則的最小值為.,答案4,解析由log2x+log2y=1得xy=2,又x>y>0,所以=(x-y)+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-y=2,即x=1+,y=-1時(shí)取等號(hào),所以的最小值為4.,1-2已知實(shí)數(shù)x,s,t滿足8x+9t=s,且x>-s,則的最小值為.,答案6,解析由x>-s和8x+9t=s得9x+9t=x+s>0,所以=(x+s)+=9(x+t)+6,當(dāng)且僅當(dāng)9(x+t)=時(shí)取等號(hào),故它的最小值為6.,題型二利用換元法實(shí)現(xiàn)求解,例2(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,cR)對(duì)任意的xR,都有f(x)f(x)成立,若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立,則實(shí)數(shù)M的最小值為.,(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足+y2=1,則3x2-2xy的最小值為.,答案(1)(2)6-2,解析(1)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,cR)對(duì)任意的xR,都有f(x)f(x)成立,即x2+(b-2)x+c-b0恒成立,則=(b-2)2-4(c-b)0,c+1,則c1,且c2=|b|,當(dāng)c=|b|時(shí),由c=+1可得c=|b|=2,此時(shí)f(c)-f(b)=-8或0,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立;當(dāng)c>|b|時(shí),M=,令t=,-1<tt恒成立,則實(shí)數(shù)t的最大值為.,答案2,解析由+=及a,b,c得=>0,則b>c>0,02,由+>t恒成立,得>t,則t2,故實(shí)數(shù)t的最大值為2.,2-2已知a,bR,a+b=4,則+的最大值為.,答案,解析由基本不等式可得ab=4,則+=.令9-ab=t,t5,則ab=9-t,+=,當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)取等號(hào),故+的最大值為.,題型三利用消元實(shí)現(xiàn)求解,例3(1)若關(guān)于x的不等式x3-3x2+ax+b<0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,3及任意的實(shí)數(shù)b2,4恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2的最小值為.,答案(1)(-,-2)(2),解析(1)不等式x3-3x2+ax+b<0對(duì)任意的實(shí)數(shù),b2,4恒成立,則x3-3x2+ax+42,即a0,y>0,xy+2x+y=4,所以y=>0,得0<x0,=>0,所以x-1>0,y-1>0.又+=1x+y=xy,所以(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=1.則+=4+9+=13+13+2=25,當(dāng)且僅當(dāng)=,與+=1聯(lián)立解得x=,y=時(shí)等號(hào)成立,所以+的最小值為25.,2.函數(shù)f(x)=2x2-4x+1(xR),若f(x1)=f(x2),且x1>x2,則的最小值為.,答案2,3.如圖,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2,AD=1,點(diǎn)P,Q分別在邊BC,CD上,且PAQ=45,則的最小值為.,答案4-4,4.已知a,b為正實(shí)數(shù),且a+b=1,則+的最小值為.,答案,5.已知正實(shí)數(shù),a,b滿足+=1,則ab的最大值為.,答案2-,解析ab=ab=+.令2a+b=m,2b+a=n,則a=,b=,m>0,n>0,則+=+=2-.因?yàn)?2=,當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)取等號(hào),則2-2-,當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)取等號(hào),故ab的最大值為2-.,