1,3-3事故樹的定性分析,2,教學目的與要求：1.掌握事故樹分析的數(shù)學基礎(chǔ);事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)、單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)2.熟悉事故樹的化簡3.掌握最小割集、最小徑集的幾種求法,3,一、布爾代數(shù)的基本知識,1.邏輯運算邏輯運算的對象是命題邏輯運算的基本運算有三種，即邏輯加、邏輯乘、邏輯非。,4,a.邏輯加,給定兩個命題A、B，對它們進行邏輯運算后構(gòu)成的新命題為S，若A、B兩者有一個成立或同時成立，S就成立；否則S不成立。則這種A、B間的邏輯運算叫做邏輯加，也叫“或”運算。構(gòu)成的新命題S，叫做A、B的邏輯和。記作AB=S或記作A+B=S。均讀作“A+B”。邏輯加相當于集合運算中的“并集”。根據(jù)邏輯加的定義可知：111；101；011；000。,5,給定兩個命題A、B，對它們進行邏輯運算后構(gòu)成新的命題P。若A、B同時成立，P就成立，否則P不成立。則這種A、B間的邏輯運算，叫做邏輯乘，也叫“與”運算。構(gòu)成的新命題P叫做A、B的邏輯積。記作AB=P，或記作AB=P，也可記作AB=P，均讀作A乘B。邏輯乘相當于集合運算中的“交集”。根據(jù)邏輯乘的定義可知：111；100：010：000。,b.邏輯乘,6,給定一個命題A，對它進行邏輯運算后，構(gòu)成新的命題為F，若A成立，F(xiàn)就不成立；若A不成立，F(xiàn)就成立。這種對A所進行的邏輯運算，叫做命題A的邏輯非，構(gòu)成的新命題F叫做命題A的邏輯非。A的邏輯非記作“”，讀作“A非”。邏輯非相當于集合運算的求“補集”。根據(jù)邏輯非的定義，可以知道：0；1；1；0,c.邏輯非,7,2.邏輯運算的常用法則,定理1：A(對合律)定理2：ABBA，ABBA(交換律)定理3：A(BC)(AB)CA(BC)(AB)C(結(jié)合律)定理4：ABC(AB)(AC)A(BC)ABAC(分配律)定理5：AAA，AAA(等冪律)推論：AAAA，AAAA,8,定理6：A1，A0定理7：A0A，A1A定理8：A11，A00定理9：AABAA(AB)A(吸收律)在事故樹分析中“AABA”，“AAA”和“AAA”幾個法則用得較多。,9,二、概率論的基本知識,1.相互獨立事件一個事件發(fā)生與否不受其他事件的發(fā)生與否的影響。假定有A1、A2、A3、An個事件，其中每一個事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱A1、A2、A3、An為獨立事件。,10,不能同時發(fā)生的事件。一個事件發(fā)生，其他事件必然不發(fā)生。它們之間互相排斥，互不相容。假定有A1、A2、A3、An個事件，A1發(fā)生時，A2、A3、An必然不發(fā)生；A2發(fā)生時，A1、A3、An事件必須不發(fā)生，則A1、A2、A3、An事件稱為互斥事件。,2.相互排斥事件,11,一個事件發(fā)生與否受其他事件的約束，即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件。設(shè)A、B兩事件，B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生，反之亦然，則A、B事件稱為相容事件。在事故樹分析中，遇到的基本事件大多數(shù)是獨立事件。,3.相容事件,12,4.n個獨立事件的概率和其計算公式是：P(A1+A2+A3+An)11P(A1)1P(A2)1P(A3)1P(An)式中：P為獨立事件的概率。,13,5.n個獨立事件的概率積其計算公式是：P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An),14,三、事故樹分析的數(shù)學基礎(chǔ)1.事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)是描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)，它完全取決于元、部件的狀態(tài)。通常假定任何時間，元、部件和系統(tǒng)只能取正常或故障兩種狀態(tài)，并且任何時刻系統(tǒng)的狀態(tài)由元、部件狀態(tài)唯一決定。假設(shè)系統(tǒng)由n個單元（即元、部件）組成，且下列二值變量xi對應于各單元的狀態(tài)為：,結(jié)構(gòu)函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。,15,y=(X)或y=(x1,x2,xn),(X)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù),16,與門結(jié)構(gòu),與門的結(jié)構(gòu)函數(shù),只有所有基本事件發(fā)生時，頂上事件才發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運算法則，它是邏輯“與”（邏輯乘）的關(guān)系，其邏輯式為：,這就是與門結(jié)構(gòu)函數(shù)。用代數(shù)算式表示為：,式中，,中取最小值，即只要有一個最小的“0”（正常），則整個系統(tǒng)為“0”（正常）。,17,或門的結(jié)構(gòu)函數(shù),或門結(jié)構(gòu),只要有一個或一個以上基本事件發(fā)生時，頂上事件就發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運算法則，它是邏輯“或”（邏輯加）的關(guān)系，其邏輯式為：,當僅取0,1二值時，結(jié)構(gòu)函數(shù)可寫成：,式中，,從,中取最大值，即只要其中有一個最大的“1”（故障），整個系統(tǒng)就為“1”（故障）。,這就是或門結(jié)構(gòu)函數(shù)。用代數(shù)算式表示為：,18,復雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)由與門和或門組成的事故樹，根據(jù)邏輯乘與邏輯加的關(guān)系，可以寫出其結(jié)構(gòu)函數(shù)。,則其結(jié)構(gòu)函數(shù)為：,19,2.單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中任一組成單元的狀態(tài)由正常（故障）變?yōu)楣收希ㄕ＃┒粫瓜到y(tǒng)的狀態(tài)由故障（正常）變?yōu)檎＃ü收希┑南到y(tǒng)。也就是說，系統(tǒng)每個元、部件對系統(tǒng)的功能（可靠性）發(fā)生影響，如果系統(tǒng)中所有元、部件發(fā)生故障，則系統(tǒng)一定呈故障狀態(tài)；反之，所有元、部件正常，系統(tǒng)一定正常。,20,而且，當故障的元、部件經(jīng)過修復轉(zhuǎn)為正常時系統(tǒng)不會由正常轉(zhuǎn)為故障；反之，正常部件故障不會使系統(tǒng)由故障轉(zhuǎn)為正常。根據(jù)以上特點，單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)具有下述性質(zhì):不含有多余元、部件。第i個元、部件正常與否，與系統(tǒng)正常與否無關(guān)。這樣，第i個元、部件就是邏輯多余元、部件。含有邏輯多余元、部件的系統(tǒng)不是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。組成系統(tǒng)的所有元、部件都正常，系統(tǒng)一定正常；反之，所有元、部件發(fā)生故障，系統(tǒng)一定發(fā)生故障。,21,系統(tǒng)中正常元、部件發(fā)生故障時，系統(tǒng)不可能出現(xiàn)由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)為正常狀態(tài)。這就體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性?；蜷T結(jié)構(gòu)（串聯(lián)系統(tǒng)）是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)不可靠性的上限，而與門結(jié)構(gòu)（并聯(lián)系統(tǒng)）則是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的下限。由與門和或門結(jié)構(gòu)組成的事故樹都是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。,22,練習1：寫出如下事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù),23,練習2：寫出如下事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù),24,四、事故樹的化簡,1.事故樹化簡的必要性在同一事故中包含有2個或2個以上的相同基本事件時，若不進行化簡，則可能產(chǎn)生結(jié)果的錯誤。為說明這一問題，試看例題：,25,且q1=q2=q3=0.1，x1、x2、x3相互獨立。,例,26,解：不化簡時，所求出的T發(fā)生的概率為：T=A1A2=x1x2x1+x3P(x1x2)=P(x1)P(x2)=q1q2n又P(A1+A2+An)=1-1-P(Ai)i=1P(x1+x3)=1-(1-q1)(1-q3)則P(T)=q1q21-(1-q1)(1-q3)=0.10.11-(1-0.1)(1-0.1)=0.0019,27,化簡后，求出的T發(fā)生的概率為：T=A1A2=x1x2(x1+x3)=x1x2x1+x1x2x3=x1x2+x1x2x3=x1x2P(T)=P(x1x2)=P(x1)P(x2)=0.10.1=0.01,28,由上面計算，兩種算法得到的結(jié)果不同，哪一個結(jié)果是正確的？這又是為什么呢？這是因為在事故樹結(jié)構(gòu)中，存在著多余的事件x3，所謂多余事件，指的是它的發(fā)生與頂上事件的發(fā)生無關(guān)。由于x3是多余的，所以若在計算時，無事先進行簡化，則發(fā)生錯誤。所以P(T)=0.01。故說明化簡的必要性。,29,化簡后的事故樹也可用其“等效圖”來表示。,T=x1x2。它表明，只要x1和x2同時發(fā)生，T就發(fā)生。所以，計算頂上概率時，應按其等效圖計算。,30,2.事故樹化簡舉例,例、將下列事故樹化簡,31,解：T=x1+A=x1+(x1x2)=x1,所以，其等效圖為：,32,例2化簡事故樹,33,等效事故樹,34,練習1：化簡該事故樹，并做出等效圖,35,等效事故樹,36,練習2：化簡該事故樹，并做出等效圖,37,等效事故樹,38,五、最小割集與最小徑集在事故樹分析中，最小割集與最小徑集的概念起著非常重要的作用。事故樹定性分析的主要任務是求出導致系統(tǒng)故障（事故）的全部故障模式。通過對最小割集或最小徑集的分析，可以找出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，提高系統(tǒng)的安全性和可靠性。,39,1.割集和最小割集割集是圖論中的一個重要的概念，事故樹分析中的割集指的是導致頂上事件發(fā)生的基本事件組合，也稱作截集或截止集。系統(tǒng)的割集也就是系統(tǒng)的故障模式。,40,如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了，這樣的割集就稱為最小割集。換句話說，也就是導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。因此，研究最小割集，實際上是研究系統(tǒng)發(fā)生事故的規(guī)律和表現(xiàn)形式，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié)。由此可見，最小割集表示了系統(tǒng)的危險性。,41,2.最小割集的求法最小割集的求法有多種，常用的方法有布爾代數(shù)化簡法、行列法、結(jié)構(gòu)法、質(zhì)數(shù)代入法和矩陣法等。這是僅就常用的布爾代數(shù)化簡法和行列法做一簡介。a.布爾代數(shù)化簡法事故樹經(jīng)過布爾代數(shù)化簡，得到若干交集的并集，每個交集實際就是一個最小割集。下面以圖示的事故樹為例，利用布爾代數(shù)化簡法求其最小割集。,42,圖1某事故樹示意圖,46,58,43,結(jié)果得7個交集的并集，這7個交集就是7個最小割集,即,44,圖2圖1事故樹的等效圖,45,b.行列法行列法又稱下行法，這種方法是1972年由：富塞爾(Fussel)提出，所以又稱為富塞爾法。該算法的基本原理是從頂上事件開始，由上往下進行，與門僅增加割集的容量（即割集內(nèi)包含的基本事件的個數(shù)），而不增加割集的數(shù)量?；蜷T則增加割集的數(shù)量，而不增加割集的容量。,46,每一步按上述的原則：由上而下排列，把與門連接的輸入事件橫向排列，把或門連接的輸入事件縱向排列，這樣逐層向下，直到全部邏輯門都置換成基本事件為止。得到的全部事件積之和，即是布爾割集（BICS)，再經(jīng)布爾代數(shù)化簡，就可得到若干最小割集。下面仍以圖1所示的事故樹為例，求最小割集。,47,頂上事件與下一層的中間事件是用或門連接的。故T被代替時，縱向排列。,與下一層事件之間也是或門連接的，故被代替時，仍然是縱向排列。,48,與下一層事件之間是與門連接的，故被代替時，要橫向排列。而與下層事件是或門連接的,故被代替時，要縱向排列。,49,50,51,這與第一種算法的結(jié)果是一致的。上述兩種算法相比，布爾代數(shù)化簡法較為簡單。但行列法便于用計算機輔助計算最小割集，故國際上仍普遍使用行列法。,52,六、徑集和最小徑集徑集是割集的對偶。當事故樹中某些基本事件的集合都不發(fā)生時，頂上事件就不發(fā)生，這種基本事件的集合稱為徑集，也叫路集或通集。所以系統(tǒng)的徑集也就代表了系統(tǒng)的正常模式，即系統(tǒng)成功的一種可能性。最小徑集，如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了，或者說，使事故樹頂上事件不發(fā)生的最低限度的基本事件組合，這樣的徑集就稱為最小徑集。,53,研究最小徑集，實際上是研究保證正常運行需要哪些基本環(huán)節(jié)正常發(fā)揮作用的問題，它表示系統(tǒng)不發(fā)生事故的幾種可能方案，即表示系統(tǒng)的可靠性。a.對偶、對偶系統(tǒng)及對偶樹設(shè)系統(tǒng)S有一個結(jié)構(gòu)函數(shù)，現(xiàn)定義一個新的結(jié)構(gòu)函數(shù)使式中，稱為為的對偶結(jié)構(gòu)函數(shù)，以為結(jié)構(gòu)函數(shù)的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)S的對偶系統(tǒng)。,54,由于有，所以的對偶系統(tǒng)是S。對偶是相互的，故稱為相互對偶系統(tǒng)。相互對偶系統(tǒng)有如下基本性質(zhì)：S的割集是的徑集，反之亦然。S的最小割集是的最小徑集，反之亦然。,55,利用相互對偶系統(tǒng)的定義，可根據(jù)某系統(tǒng)的事故樹建造其對偶樹。具體做法是，只要把原事故樹中的與門改為或門，或門改為與門，其他的如基本事件、頂上事件不變，即可建造對偶樹，根據(jù)相互對偶系統(tǒng)的基本性質(zhì)，則事故樹的最小割集就是對偶樹的最小徑集。因此，求事故樹最小割集的方法，同樣可用于對偶樹。,56,b.成功樹在對偶樹的基礎(chǔ)上，再把其基本事件及頂上事件T改成它們的補事件（即各事件發(fā)生改為不發(fā)生），就可得到成功樹。如圖3所示。,57,圖3事故樹、成功樹的變換示例,例1：以圖1為例，畫出其成功樹，求原樹的最小徑集。解：首先畫成功樹，見圖4,58,圖4圖1事故樹的成功樹,59,用布爾代數(shù)化簡法求成功樹的最小割集如下：由此得到成功樹的兩個最小割集，根據(jù)相互對偶關(guān)系，也就是原事故樹的兩個最小徑集，即：,60,例2：圖5是某系統(tǒng)的事故樹，求其最小割集，畫出成功樹，求最小徑集。解：用布爾代數(shù)化簡法求最小割集,圖5某系統(tǒng)的事故樹的示意圖,61,得到9個最小割集，分別為：,62,畫出的成功樹見圖圖6，最后用布爾代數(shù)化簡法求最小徑集。,圖6圖5事故樹的成功樹,63,得到成功樹的三個最小割集，根據(jù)相互對偶的關(guān)系，也就是事故樹的三個最小徑集，分別為：,如果將成功樹最后經(jīng)布爾代數(shù)化簡的結(jié)果再換為事故樹，則：,64,這樣，就形成了三個并集的交集。根據(jù)最小徑（割）集的定義，可做出其等效圖如圖7所示。,（a）用最小割集表示,圖7圖5事故樹的等效圖,65,（b）用最小徑集表示,66,七、判別割（徑）集數(shù)目的方法從上例可看出，同一事故樹中最小割集和最小徑集數(shù)目是不相等的。如果在事故樹中與門多、或門少，則最小割集的數(shù)目較少；反之，若或門多與門少，則最小徑集數(shù)目較少。在求最小割（徑）集時，為了減少計算工作量，應從割（徑）集數(shù)目較少的入手。,67,遇到很復雜的系統(tǒng)，往往很難根據(jù)邏輯門的數(shù)目來判定割（徑）集的數(shù)目。在求最小割集的行列法中曾指出，與門僅增加割集的容量（即基本事件的個數(shù)），而不增加割集的數(shù)量，或門則增加割集的數(shù)量，而不增加割集的容量。根據(jù)這一原理，下面介紹一種用“加乘法”求割（徑）集數(shù)目的方法。該法給每個基本事件賦值為1，直接利用“加乘法”求割（徑）集數(shù)目。但要注意，求割集數(shù)目和徑集數(shù)目，要分別在事故樹和成功樹上進行。,68,如圖8所示，首先根據(jù)事故樹畫出成功樹，再給各基本事件賦與“1”，然后根據(jù)輸入事件與輸出事件之間的邏輯門確定“加”或“乘”，若遇到或門就用“加”，遇到與門則用“乘”。,割集數(shù)目徑集數(shù)目,69,(a)事故樹（b）成功樹圖8用“加乘法”求割、徑集數(shù)目,70,從上例可看出，割集數(shù)目比徑集數(shù)目多，此時用徑集分析要比用割集分析簡單。如果估算出某事故樹的割、徑集數(shù)目相差不多，一般從分析割集入手較好。這是因為最小割集的意義是導致事故發(fā)生的各種途徑，得出的結(jié)果簡明、直觀。另外，在做定量分析時，用最小割集分析，還可采用較多的近似公式，而最小徑集則不能。必須注意，用上述方法得到的割、徑集數(shù)目，不是最小割、徑集的數(shù)目，而是最小割、徑集的上限。只有當事故樹中沒有重復事件時，得到的割、徑集的數(shù)目才是最小割、徑集數(shù)。,71,八、最小割集與最小徑集在事故樹分析中的意義1.最小割集表示系統(tǒng)的危險性。求解出最小割集可以掌握事故發(fā)生的各種可能，了解系統(tǒng)危險性的大小，為事故調(diào)查和事故預防提供依據(jù)。2.最小徑集表示系統(tǒng)的安全性。求出最小徑集，可知道要使事故不發(fā)生，需控制住哪幾個基本事件能使頂上事件不發(fā)生，并可知道有幾種可能的預防方案。,72,3.從最小割集能直觀地、概略地看出哪種事故發(fā)生后，對系統(tǒng)危險性影響最大，哪種稍次，哪種可以忽略，以及如何采取措施使事故發(fā)生概率迅速下降。4.利用最小割集和最小徑集可以直接排出結(jié)構(gòu)重要度的順序。5.根據(jù)最小徑集，選擇控制事故的最佳方案。6.利用最小割集和最小徑集計算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析。,