3.1函數(shù)與方程,(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有.(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程f(x)0的根.,1.函數(shù)的零點(diǎn),知識(shí)梳理,f(x)0,x軸,零點(diǎn),f(a)f(b)<0,(a，b),f(c)0,c,對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且的函數(shù)yf(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)<0.()(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.()(4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).()(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)<0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn).(),1.(教材改編)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.3,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,f(x)是增函數(shù)，又f(0)1，f(1)，,f(0)f(1)<0，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).,2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A.ycosxB.ysinxC.ylnxD.yx21,答案,解析,由于ysinx是奇函數(shù)；ylnx是非奇非偶函數(shù)；yx21是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn)；只有ycosx是偶函數(shù)又有零點(diǎn).,3.(2016吉林長(zhǎng)春檢測(cè))函數(shù)f(x)lnxx2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(，1)B.(1,2)C.(2，e)D.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)<0，,4.函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).,答案,解析,2,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).,5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,函數(shù)f(x)的圖象為直線(xiàn)，由題意可得f(1)f(1)0時(shí)，f(x)2>0恒成立，,所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).又因?yàn)閒(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x2)f(x)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.多于4B.4C.3D.2,答案,解析,由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象，如圖，觀(guān)察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).,思維升華,(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：解方程法；零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，),答案,解析,因?yàn)閒(1)6log216>0，f(2)3log222>0，,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4).,(2)函數(shù)f(x)xcosx2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.4B.5C.6D.7,答案,解析,由f(x)xcosx20，得x0或cosx20.又x0,4，所以x20,16.,由于cos(k)0(kZ)，,而在k(kZ)的所有取值中，,故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為156.,題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用,例3(1)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2),答案,解析,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，,又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)f(2)<0，,所以(a)(41a)<0，即a(a3)0，即a210a9>0，解得a9.又由圖象得a>0，09.,幾何畫(huà)板展示,引申探究,本例(2)中，若f(x)a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_.,答案,解析,作出y1|x23x|，y2a的圖象如右：,當(dāng)x0或x3時(shí)，y10，,思維升華,已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式(組)；解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍.(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法.,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)x2xa(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi).,答案,解析,(2,0),ax2x在(0,1)上有解，,函數(shù)yx2x，x(0,1)的值域?yàn)?0,2)，0<a<2，2<a<0.,(2)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_.,答案,解析,(0,2),由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示.則當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn).,幾何畫(huà)板展示,題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解答,方法一設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x11)(x21)<0，x1x2(x1x2)1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a2)(a21)1<0，即a2a2<0，2<a<1.方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1(a21)a2<0，2<a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.(2)若關(guān)于x的方程22x2xaa10有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).,(1，),利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,思想與方法系列4,答案,解析,思想方法指導(dǎo),(1)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍.(2)“af(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)yf(x)的值域解決.,幾何畫(huà)板展示,(1)函數(shù)f(x)axxa(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程axxa0有兩個(gè)根，即函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<a1時(shí)，圖象如圖所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，).,返回,課時(shí)作業(yè),1.設(shè)f(x)lnxx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(1)ln11210，f(1)f(2)1，所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0，故選D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知三個(gè)函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零點(diǎn)依次為a，b，c，則A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b,答案,解析,故f(x)2xx的零點(diǎn)a(1,0).g(2)0，g(x)的零點(diǎn)b2；,方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx，作出函數(shù)y2x，ylog2x和yx的圖象(如圖).由圖象易知a<0,0<c<1，而b2，故a<c0)的解的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.4,答案,解析,(數(shù)形結(jié)合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).,5.已知函數(shù)則使方程xf(x)m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(1,2)B.(，2C.(，1)(2，)D.(，12，),答案,解析,當(dāng)x0時(shí)，xf(x)m，即x1m，解得m1；,當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)m，即xm，解得m2，,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，12，).故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知xR，符號(hào)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)a(x0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若函數(shù)f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則不等式af(2x)>0的解集是_.,答案,解析,f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2,3.2,3是方程x2axb0的兩根，,f(x)x2x6.不等式af(2x)>0，即(4x22x6)>02x2x3a)，函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)的圖象與直線(xiàn)yb有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)axx4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g(x)logaxx4的零點(diǎn)為n，則的最小值為_(kāi).,答案,解析,1,設(shè)F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，則h(x)與F(x)，G(x)的交點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為m，n(m>0，n>0).因?yàn)镕(x)與G(x)關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng).又因?yàn)閥x和h(x)4x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以mn4.又m>0，n>0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；,如圖所示.,故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)若方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.,解答,由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根.,12.關(guān)于x的二次方程x2(m1)x10在區(qū)間0,2上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,解答,顯然x0不是方程x2(m1)x10的解，,00.又a>0，f(x)a(x1)244，且f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,令g(x)0，得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當(dāng)03，,故函數(shù)g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)x0(3，e5).,