醫(yī)學(xué)圖象 處 理（數(shù)字 圖 像處理） 復(fù) 習(xí)題庫 注意：解題必須完整，邏輯性強(qiáng)。 應(yīng)該根據(jù)已有公認(rèn)知識和該題所提供的條件按照合理的邏輯推出結(jié)果。 一、數(shù)字 圖 象基礎(chǔ) 1 空間分辨 率 人的視網(wǎng)膜的錐狀體的密度大約為每平方毫米 150000 個(gè)。 為了簡單起見， 假定當(dāng)在黃斑處的像點(diǎn)變得比視網(wǎng)膜區(qū)域的 接收器 （錐狀體） 直徑小的時(shí)候， 視覺系統(tǒng)已不能檢測到該點(diǎn)。 假定黃斑可用 1.5mm1.5mm 的方陣模型化， 并且錐狀 體之間的空間在該陣列上均勻分布。如果紙上的打印點(diǎn)離眼睛 0.2 m 遠(yuǎn) ，估計(jì)眼睛能辨別的最小打印點(diǎn)的直徑。 分析解答： 如圖所示，物體在視網(wǎng)膜上所呈的像的直徑是 x ，根據(jù)相似三角形原理，可以得到 014 . 0 2 2 . 0 2 x d 進(jìn)而算得 d x 07 . 0 把視網(wǎng)膜的中央凹 （黃斑） 看作一個(gè)有次序的排列了 337000 個(gè)元素的方 形傳感器陣列， 這個(gè)陣列可以表示為一個(gè)大小 580580 的矩 陣。假定每個(gè)陣元之間的間隙是相等的，那么在一個(gè)長為 1.5mm 的線上 可以排列 580 個(gè)元素和 579 個(gè)間 隙。即每個(gè)元素和間隙的大小為 m mm s 6 10 3 . 1 1159 5 . 1 如果物體在視網(wǎng)膜中央凹上所呈的像的尺寸小于這個(gè)分辨點(diǎn)，我們就認(rèn)為眼睛是看不到這個(gè)物體的。換句話說，如 果 一個(gè)點(diǎn)的直徑的 0.07 倍小 于 1.310 -6 m ，或者說直 徑小于 18.610 -6 m ，那么 眼睛就無法看到這個(gè)點(diǎn)。 2 圖像的形 成模型及灰度級分辨率 假設(shè)中心在 0 0 , y x 的平坦區(qū)域被一個(gè)強(qiáng)度分布為： 2 0 2 0 , y y x x Ke y x i 的光源照射。 為簡單起見， 假設(shè)區(qū)域的反 射是恒定的， 并等于 1.0，令 K=255 。 如果圖像用 m 比特的強(qiáng)度分辨率進(jìn)行數(shù)字化， 并且眼睛可檢測相鄰像素間灰度級 差別大于 8 的突變，那么數(shù)字化本圖像時(shí)的灰度級 k 取什 么值將導(dǎo)致可見的偽輪廓? 分析解答：在分析解答該題時(shí)，應(yīng)該從圖像的形成模型出發(fā)，綜合考慮灰度的量化、灰度級分辨率、灰度級之間的 關(guān) 系。 根據(jù)已知條件及圖像的形成模型，這里的圖像可表示為 2 0 2 0 2 0 2 0 255 0 . 1 , , , y y x x y y x x e Ke y x r y x i y x f 下圖所示為圖像的一個(gè)橫截面。如果圖像的亮度（灰度）使用 m 比特 的強(qiáng)度分辨率進(jìn)行數(shù)字化，那么此時(shí)的量化可以 表示成圖（b ） ，這里均勻 量化間隔為 m G 2 1 255 既然假定眼睛可檢測相鄰像素間灰度級差別大于 8 的突變 ，也就是說，當(dāng) 8 2 512 m G 即， 5 m 時(shí)，眼睛將能分辨出相鄰像素間的灰度差異。 因此，當(dāng)這里的圖像數(shù)字化時(shí)的灰度級 32 2 m k 時(shí)，將導(dǎo)致可見的偽輪廓。 3 圖像的形 成模型及灰度級分辨率 假設(shè)中心在 0 0 , y x 的平坦區(qū)域被一個(gè)強(qiáng)度分布如下的光源照射。 2 0 2 0 , y y x x Ke y x i K=511 。 為簡 單起見， 假設(shè)區(qū)域的反射是恒定的， 并等于 1.0 。 如果圖像用 m 比特的強(qiáng)度分辨率進(jìn)行數(shù)字化， 并且眼睛 可檢測相鄰像素間灰度差別大于 8 的突變，那么數(shù)字化本圖像時(shí)的灰度級 k 取什 么值將導(dǎo)致可見的偽輪廓? 分析解答：根據(jù)已知條件及圖像的形成模型，這里的圖像可表示為 2 0 2 0 2 0 2 0 511 0 . 1 , , , y y x x y y x x e Ke y x r y x i y x f 下圖所示為圖像的一個(gè)橫截面。如果圖像的亮度（灰度）使用 m 比特 的強(qiáng)度分辨率進(jìn)行數(shù)字化，那么此時(shí)的量化可以 表示成圖（b ） ，這里均勻 量化間隔為 m G 2 1 511 既然假定眼睛可檢測相鄰像素間灰度級差別大于 8 的突變 ，也就是說，當(dāng) 8 2 1 511 m G 即， 6 m 時(shí)，眼睛將能分辨出相鄰像素間的灰度差異。 因此，當(dāng)這里的圖像數(shù)字化時(shí)的灰度級 k 滿足 如下條件時(shí)，將導(dǎo)致可見的偽輪廓。 64 2 m k 4 鄰接性 兩個(gè)圖像子集 S 1 和 S 2 如 下圖所示。對于 V=1 ，確定這兩個(gè)子集是（1 ）4 鄰接， （2 ）8 鄰接，還 是（3 ）m 鄰接。 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 01110011 0 1 S 1 S 2 p q 分析解答：對于圖像子集 S 1 和 S 2 中 兩個(gè)點(diǎn) p 和 q ，因?yàn)?（1 ）q 不在 N 4 (p) 集中， 所以兩個(gè)子集不是 4 鄰 接的。 （2 ）q 在 N 8 (p) 集中，所以兩個(gè)子集是 8 鄰接的。 （3 ）q 在 N D (p) 集中，且 N 4 (p) N 4 (q) 為空集，所以兩個(gè)子集是 m 鄰接的。 5 連通性 考慮如下所示的圖像片段： （1）令 V=0 ，1，計(jì) 算 p 和 q 間的 4 ，8 ，m 通路的最短長度。 如果在這兩點(diǎn)間存在通路， 請?jiān)趫D中表示出最短通路 。 （2 ）令 V=1 ，2 ，同樣 計(jì)算 p 和 q 間的 4 ，8 ，m 通路的最短長度。如果在這兩點(diǎn)間存在通路，請?jiān)趫D中表示出最短 通路。 分析解答： （1 ）當(dāng) V=0 ，1 時(shí)，在 p 、q 之間不存 在 4 通路， 因?yàn)檠刂?4 鄰域且滿足 V 的點(diǎn)從 p 到達(dá) q 是不 可能的。 圖（a ）描述了在這種條件下到達(dá) q 點(diǎn)是不可能。圖（b ）實(shí) 線為最短的 8 通路，其長 度為 4 。圖（b ）虛線為最 短的 m 通路，其長度為 5 。 （2）當(dāng) V=1 ，2 時(shí)最短 的 4 通路的 長度是 6，如 圖（c ） 所示為其一種可能性。 容易證明 p 、q 間 存在其它等長的 4 通 路。圖（d ） 實(shí)線為最短的 8 通路， 其長度為 4 。圖 （d ）虛線 為最短的 m 通路，其長度為 6 。 6 空間分辨 率 有一幅在灰色背景下的黑白足球的圖像，直方圖如下所示。足球的直徑為 230mm ，其象素間距離為多少？ 灰度值 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 像素?cái)?shù) n i 0 520 920 490 30 40 5910 24040 6050 80 20 80 440 960 420 0 分析解答： 總的象素點(diǎn)數(shù)為 0+520+920+420+0=40000 ， 即 圖像大小為 200200 。 足 球的直徑為 230mm ， 圖像 的面積 為 230230mm 2 。如果已 正方形網(wǎng)格離散化圖像，那么，每個(gè)象素點(diǎn)大小為(230230)/(200200)=1.151.15 ， 即象素間 距離為 1.15mm 。 7 空間分辨 率 有一幅在灰色背景下的黑白足球的圖像 （足球及其背景構(gòu)成一幅方形圖像） ， 圖像灰度值及其像素?cái)?shù)如下表所示。 足球 的直徑為 230mm ，其象素 間距離為多少？ 灰度值 i 0 128 255 像素?cái)?shù) n i 16000 8000 16000 分析解答： 總的象素點(diǎn)數(shù)為 40000 ， 即圖像大小為 200200 。 足球的直徑為 230mm ， 圖像的面積為 230230mm 2 。如 果 已正方形網(wǎng)格離散化圖像，那么，每個(gè)象素點(diǎn)大小為(230230)/(200200)=1.151.15 ，即象素間距離為 1.15mm 。 8 在數(shù)字 化 一幅圖像 時(shí) ，應(yīng)注意 哪 幾個(gè)方面 的 問題？ 簡答：圖像的數(shù)字化包括采樣和量化兩個(gè)過程。因此，可將圖像的數(shù)字化過程中的問題歸納為下面兩個(gè)問題： 圖像在空間上的離散化稱為采樣。也就是用空間上部分點(diǎn)的灰度值代表圖像，這些點(diǎn)稱為采樣點(diǎn)。在進(jìn)行采樣時(shí) ， 采樣點(diǎn)間隔的大小選取要依據(jù)原圖像中包含的細(xì)微濃淡變化來決定。一般，圖像中細(xì)節(jié)越多，采樣間隔應(yīng)越小。 模擬圖像經(jīng)過采樣后，在時(shí)間和空間上離散化為像素。但采樣所得的像素值（即灰度值）仍是連續(xù)量。把采樣后 所 得的各像素的灰度值從模擬量到離散量的轉(zhuǎn)換稱為圖像灰度的量化。一般來說，實(shí)用上一般都采用等間隔量化，對 圖 像中像素灰度值頻繁出現(xiàn)的灰度值范圍，量化間隔取小一些，而對那些像素灰度值極少出現(xiàn)的范圍，則量化間隔取 大 一些。 一般，當(dāng)限定數(shù)字圖像的大小時(shí)，為了得到質(zhì)量較好的圖像可采用如下原則： （1 ）對緩變 的圖像，應(yīng)該粗采樣，細(xì)量化，這樣可以避免數(shù)字化后的圖像出現(xiàn)假輪廓。 （2 ）對細(xì)節(jié) 豐富的圖像，應(yīng)細(xì)采樣，粗量化，這樣可以避免數(shù)字化后的圖像被模糊（混疊） 。 二、空間 域 增強(qiáng)，直 方 圖變換、 均 衡、匹配 1 直方圖變 換 給定一幅圖像， 其概率密度為 r r Ae r p 。r 為從 0 到 b 變 化的灰度級變量，A 為歸一化因子。 完成直方圖匹配變換 r T s ， 使得變換圖像的概率密度函數(shù)為 2 s s Bse s p 。s 為變換圖像的灰度級，s 的變換范圍為 0 到 b ，B 為歸 一 化因子。 分析解答： 一般而言， 修改圖像的直方圖必須滿足 dr r p ds s p r s 。 s p s 為變換圖像的概率密度函數(shù)， r p r 為原 圖像的概率密度函數(shù)。 在本題中， 也就是 dr Ae ds Bse r s 2 。 對等式積分， 可以得到關(guān)于變量 s 和 r 的分布函數(shù)的 等 式。為了避免混淆，在等式的左邊，用 y 代替 積分變量 s ，右邊用 x 代 替積分變量 r ，于是 r x s y dx e A dy ye B 0 0 2 上式的左邊為 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 s s s y s y e e dy e dy ye 右邊為 r r x e dx e 1 0 因此，得到如下直方圖匹配的變換函數(shù) r r r s r s e B A s e B A s e B A e e B A e 1 2 1 ln 1 2 1 ln 1 2 1 1 2 1 2 2 2 當(dāng)然，這個(gè)變換函數(shù)還必須滿足一定的條件才有意義： 0 1 2 1 ln r e B A 2 中值濾波 已知表示為矩陣的圖像 13 14 11 3 11 9 7 9 6 3 12 6 7 5 2 0 4 3 4 7 5 5 3 13 1 8 9 7 4 15 3 6 8 6 3 1 。 （1 ）試求出 中值濾波的結(jié)果（不處理邊緣像素） 。 （2 ）從（1 ）中的結(jié)果舉例說明中值濾波器特別適合處理哪種類型的噪聲。 分析解答： （1 ）選取大小 為 33 的中 值濾波器。中值濾波（不處理邊緣像素）的過程如下： 中值濾波前后，邊緣像素灰度值保持不變。 圖像中的其它像素，可做如下處理： 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 | ) , ( , l k l j k i f median j i g （ 1 , , 2 , N j i ） 例如，第一個(gè)被處理的是第 2 行第 2 列像素，中 值濾波后的灰度值為 5 15 , 13 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 3 , 1 5 , 3 , 13 , 7 , 4 , 15 , 6 , 3 , 1 ) 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 ( 2 , 2 median median f f f f f f f f f median g 因此，最終的結(jié)果為 13 14 11 3 11 9 7 7 5 4 4 6 7 6 5 4 4 3 4 5 5 4 4 13 1 6 7 5 5 15 3 6 8 6 3 1 。 （2 ）單極或 雙極脈沖（椒鹽）噪聲。 3 直方圖均 衡 假定一幅像素?cái)?shù)為 6464 ， 灰度級為 8 級的圖像 A ， 其灰度級分布如下表 （k=0 ，1 ， ，7 代表灰 度，n k 代表 對應(yīng)灰度 的像素?cái)?shù)，P k 為對應(yīng)頻數(shù)） ，對其進(jìn)行 均衡化處理得圖像 B ，并畫出圖像 B 的直方圖。 k 0 1 2 3 4 5 6 7 n k 790 1023 850 656 329 245 122 81 P k 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02 分析解答：圖像 B 的灰 度分布為（直方圖略） ： k 0 1 2 3 4 5 6 7 n k 0 790 0 1023 0 850 985 448 p k 0.00 0.19 0.00 0.25 0.00 0.21 0.24 0.11 4 灰度變換線性點(diǎn)運(yùn)算 線性點(diǎn)運(yùn)算除了調(diào)節(jié)圖像的對比度以外，還有一種典型的線性點(diǎn)運(yùn)算的應(yīng)用就是灰度標(biāo)準(zhǔn)化。 假如設(shè)一幅灰度圖像為 H W I ，其中，W 、H 分別為圖像的寬度和高度。 求出將其變?yōu)榫禐?U ，方差為 D 的圖像 J 所需 的 線性灰 度變換函 數(shù) 。 分析解答： 首先將原圖像 H W I 進(jìn)行灰度標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化（規(guī)范化）后圖像的均值為 0 ，方差 為 1 。 灰度均值 1 0 1 0 1 W i H j j i I WH u ，灰度方差 1 0 1 0 2 2 1 W i H j u j i I WH 假設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)化后的圖像為 H W K ，那么 u H W I H W K 1 同樣，線性灰度變換后的圖像 H W J 。 灰度均值 1 0 1 0 1 W i H j j i J WH U ，灰度方差 1 0 1 0 2 1 W i H j U j i J WH D 將圖像 H W J 進(jìn)行灰度標(biāo)準(zhǔn)化處理，那么。 U H W J D H W K 1 因此，由上兩式可以推出 U u H W I D U H W K D H W J 1 0 W i ， 1 0 H j 5 直方圖均 衡（？） 在實(shí)際應(yīng)用中，將輸入圖像的直方圖模型化為高斯概率密度函數(shù)，其概率密度函數(shù)形式為： 2 2 2 2 1 m r r e r p 其中，m 和 分別是高斯概率密度函數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，分別對應(yīng)于給定圖像的平均灰度級和對比度。 試求出直方圖均衡化的變換函數(shù) r T s 。 分析解答：根據(jù)題意要求可知，直方圖均衡化后的圖像的概率密度函數(shù)為 s p s 1 。因 此，由 dr r p ds s p r s 得 r m w r r dw e dw w p r T s 0 2 0 2 2 2 1 需要進(jìn)一步分析，用數(shù)值方法解答。 6 直方圖匹 配 一幅圖像的灰度值的概率密度函數(shù) p r (r) 示于下圖?，F(xiàn)對此圖像進(jìn)行灰度變換，使其灰度表達(dá)式為下面右圖的 p z (z) 。假 設(shè)灰度值連續(xù)，求解完成這一要求的變換函數(shù) r T z 。 分析解答：因?yàn)榧僭O(shè)灰度值是連續(xù)的，所以由灰度值的概率密度圖形得到原圖像及變換后圖像的灰度值的概率密度 函 數(shù)分別為 1 0 1 0 2 2 0 0 r r r r r p r ， 1 0 1 0 2 0 0 z z z z z p z 方法一： 為了完成這一變換，首先，對原圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理，這一變換可表示為： p r (r) 1 2 r p z (z) 1 2 z r r dw w dw w p r T s r r r 2 2 2 2 0 0 其中 1 0 r 再對變換后圖像（要求具有概率密度函數(shù) p z (z) ）做直方圖均衡處理，這一變換表示為： 2 0 0 2 z wdw dw w p z G v z z z 其中 1 0 z 由上式可得 v v G z 1 。由于灰度級僅為正數(shù)，所以取 v z 。 為了匹配兩個(gè)直方圖（也就是將原圖像變換為具有指定直方圖的圖像） ，必須 v s ，因此 r r z 2 2 。 方法二： 為了匹配兩個(gè)直方圖（也就是將原圖像變換為具有指定直方圖的圖像） ，必須 r r z dz r p dr r p z r 2 2 因此 2 0 0 2 0 0 2 2 2 2 z wdw dw w p r r dw w dw w p z z z r r r 也就是 r r z r r z 2 2 2 2 2 （因?yàn)?z 和 r 表示灰度，所以有 0 z ， 2 0 0 2 0 2 2 r r r r r ，顯然這一條件能夠得到滿足） 7 拉普拉斯 變換的各向同性 一個(gè)二元圖像 f(x ，y) 的拉普拉斯變換定義為 2 2 2 2 2 y f x f f 。 證明拉普拉斯變換是各向同性的 （旋轉(zhuǎn)不變） 。 其中， 旋轉(zhuǎn) 角前后的坐標(biāo)關(guān)系表示為 cos sin sin cos y x y y x x ， y x, 和 y x , 分別為旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)。 證明：根據(jù)定義，二元圖像 f(x ，y) 旋轉(zhuǎn)前后的拉普拉斯變換分別為 2 2 2 2 2 y f x f f ， 2 2 2 2 2 y f x f f 對 x 的一階 偏導(dǎo)數(shù)為 sin cos y f x f x y y f x x x f x f 對 x 的二階 偏導(dǎo)數(shù)為 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos sin cos y f x f y y f x x f x f 同樣得到，對 y 的一階 偏導(dǎo)數(shù)為 cos sin y f x f y y y f y x y f y f 對 y 的二階 偏導(dǎo)數(shù)為 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin cos sin y f x f y y f x x f y f 因此得證 2 2 2 2 2 2 2 2 y f x f y f x f 8 已知圖像 j i f , 如圖所示，要求各灰度產(chǎn)生的概率（或頻數(shù)） ， 并畫出灰度直方圖。 0 1321321 0 5762576 1 6061631 2 6753565 3 2272616 2 6502352 1 2321242 3 1231201 分析解答：灰度概率（或頻數(shù)） P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) 5 12 16 9 1 7 10 4 5/64 12/64 16/64 9/64 1/64 7/64 10/64 4/64 根據(jù)灰度概率（或頻數(shù)）可得到對應(yīng)的圖像的直方圖。 9 以線性空 間濾波為例說明空間域圖像增強(qiáng)的基本原理。 分析解答： 空間域圖像增強(qiáng)是指通過空間濾波改善圖像的質(zhì)量。 空間濾波就是在待處理圖像中逐點(diǎn)地移動掩模( 濾波器) ， 濾波器在每一點(diǎn)的響應(yīng)通過事先定義的關(guān)系得到。 例如，線性空間濾波器的響應(yīng)為濾波器系數(shù)與濾波掩模掃過的區(qū)域的相應(yīng)象素值的乘積之和。 設(shè)圖像上任一點(diǎn)的灰度值為 f(x,y) ， 其鄰域表示如下圖所示。 f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1) f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1) f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1) 使用 33 的 掩模作用于該點(diǎn)，得到相應(yīng)的輸出為 f(x,y)=w(-1,-1)f(x-1,y-1)+w(-1,0)f(x-1,y)+w(-1,1)f(x-1,y+1)+w(0,-1)f(x,y-1)+ w(0,0)f(x,y)+w(0,1)f(x,y+1)+w(1,-1)f(x+1,y-1)+w(1,-)f(x+1,y)+w(1,1)f(x+1,y+1) 其中，掩模 W 如下圖所 示。 w(-1,-1) w(1,0) w(-1,1) w(0,1) w(0,0) w(0,1) w(1,1) w(1,0) w(1,1) 一般來說，用 mn 的濾 波器掩模進(jìn)行線性濾波由下式給出： a a s b b t t y s x f t s w y x g , , , 其中，a=(m 1)/2 ，b=(n-1)/2 。 10 寫出直 方圖均衡的變換函數(shù)（連續(xù)函數(shù)形式） ，并驗(yàn)證 ：直方圖均衡化處理后，圖像的概率密度函數(shù)為 1 。 分析解答： 考慮灰度變換函數(shù) 1 0 0 r d p r T s r r ， r p 為概率密度函數(shù)。 右邊積分是原圖像的累 積分布函數(shù)，當(dāng) r 從 0 增加 到 1 時(shí)， 該函數(shù)也從 0 單調(diào)地增加 到 1 。故此積 分滿足條件。顯然 r p dr ds r ， 1 1 1 1 s T r r r s T r r s r p r p ds dr r p s p ， 1 0 s 故按 r r d p r T s 0 對原圖像作灰度變換， 變換后圖像灰度的概率密度 s p s 是均勻的， 變換后圖像是一幅灰度 級均勻分布的圖像。 11 假設(shè)灰 度圖像 T 的灰度級數(shù)為 16 ，它的一個(gè) 55 的子區(qū)域 A D 為： 1 11 3 4 4 8 2 7 0 0 6 14 9 15 15 0 11 5 7 5 14 15 9 8 2 （1 ）畫出該 區(qū)域的直方圖。 （2 ）計(jì)算 A D 的熵。 （3 ）求該區(qū) 域的均值和方差。 （4 ） 如果該區(qū)域經(jīng)過點(diǎn)運(yùn)算 2 2 A A B D D f D ， 求灰度值為 15 的 像素?cái)?shù)。 （提 示： 用裁剪 法限定灰度范圍 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)運(yùn)算得到的灰度值不大于 0 時(shí)，結(jié)果 為 0 ；得到的 灰度值不小于最大灰度值時(shí)，結(jié)果為最大灰度值） （5 ）設(shè)圖像 其它部分的直方圖為： 灰度值 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 像素?cái)?shù) n i 2 67 51 60 55 88 30 10 56 78 90 16 18 16 15 19 求圖像 T 的直方圖。 分析解答： （1 ）該區(qū)域 的直方圖 灰度值 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 像素?cái)?shù) n i 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 0 0 2 3 （2 ） 灰度值 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 像素?cái)?shù) n i 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 0 0 2 3 概率 P i 3/25 1/25 2/25 1/25 2/25 2/25 1/25 2/25 2/25 2/25 0 2/25 0 0 2/25 3/25 62346 . 3 73413 . 0 2033207 55726 . 0 log 15 0 2 i i i P P （3 ）灰度均 值 7 25 175 1 15 0 i i n i WH u 灰度方差 W x H y u y x f WH 00 2 2 , 1 或 15 0 2 2 i i u i P 25.3/25 ？ （4 ）點(diǎn)運(yùn)算 2 2 A A B D D f D 后，得一個(gè) 55 的子區(qū)域 B D 為 1 11 3 4 4 8 2 7 0 0 6 14 9 15 15 0 11 5 7 5 14 15 9 8 2 0 20 4 6 6 14 2 12 2 2 10 26 16 28 28 2 20 8 12 8 26 28 16 14 2 0 15 4 6 6 14 2 12 0 0 10 15 15 15 15 0 15 8 12 8 15 15 15 14 2 灰度值為 15 像素?cái)?shù)為 9 。 （5 ）圖像 T 的直方圖 灰 度 值 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 像 素 數(shù) n i 2+3 67+1 51+2 60+1 55+2 88+2 30+1 10+2 56+2 78+2 90+0 16+2 18+0 16+0 15+2 19+3 像 素 數(shù) n i 5 68 53 61 57 90 31 12 58 80 90 18 18 16 17 22 12 中值 濾波 有一幅圖像如表所示， 由于干擾， 在圖像中有若干亮點(diǎn) （灰度值為 255 ） 。 試問如何處理此類圖像？畫出處理后的圖像。 1 1 1 1 1 1 2 255 2 3 3 3 3 3 255 4 3 3 3 3 3 255 4 6 3 3 4 5 255 8 2 3 4 6 7 8 分析解答：通常采用中值濾波器處理椒鹽噪聲。本題中的噪聲為單像素鹽粒噪聲，可采用 33 的窗口對原圖像進(jìn)行中 值濾波。濾波后的結(jié)果如下。 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 6 3 3 4 4 7 8 2 3 4 6 7 8 其中，單個(gè)像素寬度的邊界保留原狀，不作任何處理。 13 直 方圖 及其性質(zhì) 有一幅圖像， 在背景明亮的天空襯托下， 有一間亮色屋頂?shù)纳钌葌}。 假設(shè) 0 為暗 ，255 為亮 ， 在下述各種情況下， 試 指出直方圖看起來將是什么樣子。 （1 ）正確數(shù) 字化 （2 ）數(shù)字化 時(shí)增益調(diào)整過低 （3 ）增益調(diào) 整過高 （4 ）數(shù)字化 時(shí)偏置過大 （5 ）數(shù)字化 時(shí)偏置過小 （6 ）數(shù)字化 時(shí)增益和偏置均過大 分析解答： 數(shù)字化過程是將模擬灰度值按要求轉(zhuǎn)化為數(shù)字灰度級。 一 般來說， 正 常情況下， 數(shù)字化之前對應(yīng)的模擬 （ 電壓）值范圍為 0 5V 。 對應(yīng)的數(shù)字灰度級為 0 、1 、2 、255 ，即 0 255 。 14 直 方圖 的計(jì)算及 直 方圖均衡 已知圖像 j i f , 如圖所示，要求各灰度產(chǎn)生的概率（或頻數(shù)） ， 并畫出灰度直方圖。 0 1321321 0 5762576 1 6061631 2 6753565 3 2272616 2 6502352 1 2321242 3 1231201 分析解答：灰度概率（或頻數(shù)） P （0 ） P （1 ） P （2 ） P （3 ） P （4 ） P （5 ） P （6 ） P （7 ） 5 12 16 9 1 7 10 4 5/64 12/64 16/64 9/64 1/64 7/64 10/64 4/64 根據(jù)灰度概率（或頻數(shù)）可得到對應(yīng)的圖像的直方圖。 已知一幅圖像的像素?cái)?shù)為 6464 ，灰度級為 8 級的圖像，其灰度級分布如表所示，要求原來在統(tǒng)一灰度級中的象素 點(diǎn)在均衡化處理后仍在同一灰度級中，對其進(jìn)行均衡化處理。試給出均衡化處理后的灰度級分布完成下表。 r k n k p r （r k ） =n k /nr k S k 舍 入 S k 合 并 n sk p s （s k ） r 0 =0 790 0.19 r 1 =1/7 1023 0.25 r 2 =2/7 850 0.21 r 3 =3/7 656 0.16 r 4 =4/7 329 0.08 r 5 =5/7 245 0.06 r 6 =6/7 122 0.03 r 7 =1 81 0.02 分析解答： r k n k p r （r k ） =n k /n r k S k 舍 入 S k 合 并 n sk p s （s k ） r 0 =0 790 0.19 r 0 =0 1/7 s 0 790 0.19 r 1 =1/7 1023 0.25 r 1 =1/7 3/7 s 1 1023 0.25 r 2 =2/7 850 0.21 r 2 =2/7 5/7 s 2 850 0.11 255 0 屋頂 谷倉 天空 255 0 屋頂 谷倉 天空 255 0 屋頂 谷倉 天空 255 0 屋頂 谷倉 天空 255 0 屋頂 谷倉 天空 255 0 屋頂 谷倉 天空r 3 =3/7 656 0.16 r 3 =3/7 6/7 s 3 985 0.24 r 4 =4/7 329 0.08 r 4 =4/7 6/7 r 5 =5/7 245 0.06 r 5 =5/7 1 s 4 448 0.11 r 6 =6/7 122 0.03 r 6 =6/7 1 r 7 =1 81 0.02 r 7 =1 1 15 已知正 態(tài)分布的平滑函數(shù)為： 2 2 2 2 exp ) , ( y x y x h ，式中 是方差。試寫出馬爾算子 。 分析解答：所謂馬爾算子，是指在使用拉普拉斯算子計(jì)算之前利用平滑函數(shù)先對圖像進(jìn)行平滑處理。這一過程可描述 如下。 （1 ）首先使 用平滑函數(shù)處理圖像 y x f , ，即平滑處理后的圖像 d d y x h f y x h y x f y x g , , , , , （2 ）其次， 對 y x g , 使用拉普拉斯算子，即 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , y d d y x h f x d d y x h f y x h y x f y x g 將偏微分移入積分中，得 y x f y x h d d y y x h x y x h f y x h y x f y x g , , , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 上式表明， 根據(jù)函數(shù) y x h , 2 和圖像 y x f , 得卷積 ，平滑和拉 普拉斯算子 可以同時(shí)進(jìn) 行。也就是 說，使用下 面的馬 爾算子，可以僅用一次運(yùn)算即可完成上面的兩步運(yùn)算。 馬爾算子可表示如下 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 exp 2 , , , y x y x y y x h x y x h y x h 。 三、頻率 域 圖象增強(qiáng) 、 圖像的正 交 變換 1 已知一個(gè) Prewitt 算子 1 1 1 0 0 0 1 1 1 和一個(gè) Sobel 算子 1 2 1 0 0 0 1 2 1 ，問： （1 ）該 Prewitt 算子二維 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是怎樣的？并說明它是一個(gè)高通濾波器？ （2 ）這兩個(gè) 算子如果用來檢測圖像中的直線，它們分別是用來檢測那個(gè)方向的直線？ （3 ）其中哪 一個(gè)在噪聲抑制方面較好？ 分析解答： （1 ）這兩個(gè) 算子實(shí)際上是差分運(yùn)算及其變形。 設(shè)原圖像灰度值表示為 f(i, j) ，使用不 同算子處理后灰度值為 g(i, j) 。那么使 用 Prewitt 算 子的運(yùn)算可表示為 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 , j i f j i f j i f j i f j i f j i f j i g 為簡單起見，分析一維數(shù)字濾波器。上式的第二部分簡記為 1 1 x f x f x g 對應(yīng)的傅里葉變換表示為 M u j M u j e e u F u G 2 2 因此， M u i e e u H M u j M u j 2 sin 2 2 2 M u u H 2 sin 2 u H 在 u=0 處取 極小值 0 ，在 2 2 M u ，即 4 M u 處取極大值，因此是一個(gè)高通濾波器。 （2 ）水平方 向 （3 ）Sobel 算子 2 高斯型低 通濾波器在頻率域中的傳遞函數(shù)是： 2 2 2 2 , v u Ae v u H 證明空間域的相應(yīng)濾波器形式為： 2 2 2 2 2 2 2 , y x e A y x h （提示：將變量當(dāng)作連續(xù)的，以簡化計(jì)算。 ） 分析解答：因?yàn)?y h x h dv e e A du e e A dudv e Ae dudv e v u H y x h vy j v ux j u vy ux j v u vy ux j 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , （可分離性） x h 1 和 y h 1 具有完全一樣的形式。 所以，可以通過計(jì)算一維積分后得到結(jié)果。 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x ux j u e A du e e A x h 因此 2 2 2 2 2 2 2 , y x e A y x h 3 圖像的傅 立葉變換和反變換的性質(zhì) 觀察如下圖所示的圖像。右邊的圖像是這樣得到的： （1 ）在原始 圖像左邊乘上(-1) x+y 。 （2 ）計(jì)算離 散傅立葉變換（DFT ） 。 （3 ）對變換 取復(fù)共軛。 （4 ）計(jì)算傅 立葉反變換。 （5 ）結(jié)果的 實(shí)部再乘以(-1) x+y 。 用數(shù)學(xué)方法解釋為什么會產(chǎn)生這樣的結(jié)果。 分析解答： 設(shè)原始圖像為 y x f , ，其傅立葉變換為 v u F , y x f y x , 1 2 , 2 1 , N v M u F y x f y x 注： 因?yàn)?N y N j M x M j y x e e 2 2 2 2 1 所以 2 , 2 , , 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 N v M u F e e y x f e e y x f e e M x N y N y N v j M x M u j M x N y N vy j M ux j N y N j M x M j 2 , 2 N v M u F y x f y x , 1 注： 因?yàn)?N y N j M x M j y x e e 2 2 2 2 1 所以 2 , 2 , , , 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 N v M u F e e y x f e e y x f e e y x f e e M x N y N y N v j M x M u j M x N y N y N v j M x M u j M x N y N vy j M ux j N y N j M x M j 也可這樣證明： 由傅立葉變換的比例性質(zhì)， v u F y x f , , 由傅立葉變換的共軛對稱性， v u F v u F , , ，可得 v u F v u F , , ，因此 2 , 2 2 , 2 N v M u F N v M u F 取其逆變換后，即為 y x f y x , 1 亦可利用傅里葉變換的性質(zhì) v u F y x f , , 2 , 2 , 1 N v M u F y x f y x y x f y x f y x , , 1 2 右圖 y x f , 表示的正是左圖 y x f , 的關(guān)于原點(diǎn)的鏡像。 4 利用像素 點(diǎn)(x ，y) 的4- 近鄰像素組成一個(gè)空間域低通濾波器，濾波過程可以表示為 1 , , 1 1 , , 1 4 1 , y x f y x f y x f y x f y x g （1 ）求它在 頻域的等價(jià)濾波器H(u ，v) 。 （2 ）說明該 濾波器是一個(gè)低通濾波器。 分析解答：（1 ）對 1 , , 1 1 , , 1 4 1 , y x f y x f y x f y x f y x g 進(jìn)行傅立葉變換（借助傅立葉變換的頻移性質(zhì)），得到 N v M u v u F N v j v u F N v j v u F M u j v u F M u j v u F v u G 2 cos 2 cos , 2 1 2 exp , 2 exp , 4 1 2 exp , 2 exp , 4 1 , 所以，頻域的等價(jià)濾波器為 N v M u v u H 2 cos 2 cos 2 1 , 。 N u u H 2 cos （2 ） u H 在 u=0 處取極大值 1 ，在 2 2 M u ，即 4 M u 處取極小值 0 ， 因此是一個(gè)高通濾波器。 5 簡述圖像 的同態(tài)濾波過程。圖像的同態(tài)濾波主要應(yīng)用于哪些需要增強(qiáng)的情形？ 分析解答：在生活中會得到這樣的圖像，它的動態(tài)范圍很大，而我們感興趣的部分的灰度又很暗，圖像細(xì)節(jié)沒有辦 法 辨認(rèn)，采用一般的灰度級線性變換法是不行的。此時(shí)使用同態(tài)濾波就可以得到較好的增強(qiáng)效果。圖像的同態(tài)濾波屬 于 圖像頻率域處理范疇，其作用是對圖像灰度范圍進(jìn)行調(diào)整，通過消除圖像上照明不均的問題，增強(qiáng)暗區(qū)的圖像細(xì)節(jié) ， 同時(shí)又不損失亮區(qū)的圖像細(xì)節(jié)。圖像的同態(tài)濾波過程如圖所示。 6 求下列圖 像的二維傅立葉變換： 圖（a ）是長方形圖像 其他 0 , , b y a x E y x f 。圖（b ）是將 （a ）圖旋轉(zhuǎn) 45 后得到的 圖像。 分析解答：此題要說明的是二維傅立葉變換的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)不變性。即 如果存在傅立葉變換對 , , F r f ，那么 0 0 , , F r f 成立。 因?yàn)?其他 0 , , b y a x E y x f ，那么 v bv u au E vj bv j uj au j E dy e dx e E dxdy Ee v u F b b vy j a a ux j a a b b vy ux j 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 2 2 sin 2 , 2 2 2 而 cos r x ， sin r y ； cos u ， sin y 所以 sin sin 2 sin cos cos 2 sin , b a E F 因此 0 0 0 0 0 sin sin 2 sin cos cos 2 sin , b a E F 四、圖像 復(fù) 原 1 幾何畸變 的校正 下圖中，右邊的網(wǎng)格圖是幾何畸變圖像，且將左邊參考圖像中的點(diǎn) A 、B 、C 、D 的對應(yīng)點(diǎn)標(biāo)記為結(jié)點(diǎn)。左圖中各項(xiàng)表 示坐標(biāo)位置。 假設(shè)矩形 ABCD 的畸變可以由雙線性插值來建模， 并且其內(nèi)部像素的灰度值也可以由雙線性插值來建模。 對數(shù)變換 傅立葉變換 傅立葉逆變換 濾波 函數(shù) H(u,v) 輸入圖像 f(x,y) 濾波后的圖像 g(x,y) 指數(shù)變換 要求：復(fù)原出參考圖像中像素位置 2 , 2 處的灰度值。 分析解 答： 如果假 設(shè)畸 變圖像 和原 圖像所 在的 坐標(biāo)系 分別 為 v u 和 y x ，那么 兩個(gè)坐 標(biāo)系 之間的 關(guān)系 可由下 面的 多 項(xiàng)式表示： I i J j j i ij I i J j j i ij y x b y x q v y x a y x p u 00 00 , , 其中， ij a 為系數(shù)。 選取不同的系數(shù)和指數(shù)項(xiàng)，可以得到不同的坐標(biāo)變換的多項(xiàng)式。這里，選取 J 1 ，于是 xy b x b y b b v xy a x a y a a u 11 10 01 00 11 10 01 00 兩幅圖像中使用的四個(gè)結(jié)點(diǎn)對的相對坐標(biāo)為： 畸變圖像的相對坐標(biāo)（u ，v ） 參考圖像的坐標(biāo)（x ，y ） 像素 A （0 ，0 ） （0 ，0 ） 像素 B （3 ，1 ） （3 ，0 ） 像素 C （1 ，3 ） （0 ，3 ） 像素 D （4 ，4 ） （3 ，3 ） 下面要完成的第一步是根據(jù)這些已知的結(jié)點(diǎn)，確定坐標(biāo)變換的多項(xiàng)式中的系數(shù)。 像素 A ： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 11 10 01 00 1