- 1 - 習(xí) 題 11-1 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在平面 Oxy 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為： 。其中 a、 btbytax2sin,co 和 w 均為常量。試求質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn) O 的動(dòng)量矩。 taxvsin tbyv2cosxvyLO )cs2sii( tattbtm ocsna )cssi(i tttt )2cco22b tma3s 11-2 C、 D 兩球質(zhì)量均為 m，用長(zhǎng)為 2 l 的桿連接，并將其中點(diǎn)固定在軸 AB 上，桿 CD 與 軸 AB 的交角為 ，如圖 11-25 所示。如軸 AB 以角速度 w 轉(zhuǎn)動(dòng)，試求下列兩種情況下，系統(tǒng)對(duì) AB 軸的動(dòng)量矩。 （1）桿重忽略不計(jì)；（2）桿為均質(zhì)桿，質(zhì)量為 2m。 圖 11-25 (1) 22sin)sin(mllJz 2sinlmLz (2) 202i3dilxlz桿 2i38lJz2sn38L 11-3 試求圖 11-26 所示各均質(zhì)物體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。各物體質(zhì)量均為 m。 圖 11-26 - 2 - (a) 231mlLO (b) 291)6(llJ 291mlLO (c) 22451mllO45 (d) 23RJ 23RO 11-4 如圖 11-27 所示，均質(zhì)三角形薄板的質(zhì)量為 m，高為 h，試求對(duì)底邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jx。 圖 11-27 面密度為 bhmA2 在 y 處 y yhbyhbmAy d22dd 微小區(qū)域?qū)τ?z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 yhmyhJz d)(2d)(2 hz mhy0 0 232222 )413(d)( 61h 11-5 三根相同的均質(zhì)桿，用光滑鉸鏈聯(lián)接，如圖 11-28 所示。試求其對(duì)與 ABC 所在平面 垂直的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 圖 11-28 3)1(22hmlJz lh2321)1(mllz 11-6 如圖 11-29 所示，物體以角速度 w 繞 O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求物體對(duì)于 O 軸的動(dòng)量矩。(1) - 3 - 半徑為 R，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤(pán)，在中央挖去一邊長(zhǎng)為 R 的正方形，如圖 11-32a 所示。(2) 邊長(zhǎng)為 4a，質(zhì)量為 m 的正方形鋼板，在中央挖去一半徑為 a 的圓，如圖 11-32b 所示。 圖 11-29 (1) 2126RJC 21mR23mm)( 2222 679)1(6RJCO 97L (2) 212)4(61amJC ma16212963538 2222 96483581)( mRaaaJCO 9651024mR204JLO 11-7 如圖 11-30 所示，質(zhì)量為 m 的偏心輪在水平面上作平面運(yùn)動(dòng)。輪子軸心為 A，質(zhì)心 為 C， AC e；輪子半徑為 R，對(duì)軸心 A 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JA； C、 A、 B 三點(diǎn)在同一直線上。試求下 列兩種情況下輪子的動(dòng)量和對(duì)地面上 B 點(diǎn)的動(dòng)量矩：(1)當(dāng)輪子只滾不滑時(shí)，已知 vA；(2)當(dāng)輪 子又滾又滑時(shí)，已知 vA、w。 圖 11-30)()( 2meJRJeRmvLAcCCB - 4 - (1) RvA)(eCRvemJRvmJmL AAAB )()( 2222 (2) evACCBJe)( )(2eRAA mRv 11-8 曲柄以勻角速度 w 繞 O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿 AB 帶動(dòng)滑塊 A 與 B 分別在鉛垂和水平滑道 中運(yùn)動(dòng)，如圖 11-31 所示。已知 OC AC BC l，曲柄質(zhì)量為 m，連桿質(zhì)量為 2m，試求系統(tǒng)在 圖示位置時(shí)對(duì) O 軸的動(dòng)量矩。 圖 11-31 (順時(shí)針)ABABOCL231ml 2222 34)()( mllllvABCAB 25lLO 11-9 如圖 11-32 所示的小球 A，質(zhì)量為 m，連接在長(zhǎng)為 l 的無(wú)重桿 AB 上，放在盛有液體 的容器中。桿以初角速度 w0繞 O1O2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小球受到與速度反向的液體阻力 F kmw， k 為比 例常數(shù)。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間角速度 w 成為初角速度的一半？ 圖 11-32 2mlLzkmlMzztd - 5 - 得 lktd tl00 tkln 0t 2lnkt 11-10 水平圓盤(pán)可繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓盤(pán)上有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M 作圓周運(yùn)動(dòng)，已知其速 度大小 v0=常量，圓的半徑為 r，圓心到 z 軸的距離為 l， M 點(diǎn)在圓盤(pán)上的位置由 f 角確定，如 圖 11-33 所示。如圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，并且當(dāng)點(diǎn) M 離 z 軸最遠(yuǎn)（在點(diǎn) M0）時(shí)，圓盤(pán)的角速度 為零。軸的摩擦和空氣阻力略去不計(jì)，試求圓盤(pán)的角速度與 f 角的關(guān)系。 圖 11-33 0zM常zL )(rlmvL cos)cos2( 02 lmvrlrlmJz ()cos2002 vvrlJz (10rvz 11-11 兩個(gè)質(zhì)量分別為 m1、 m2的重物 M1、 M2分別系在繩子的兩端，如圖 11-34 所示。兩繩 分別繞在半徑為 r1、 r2并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設(shè)兩鼓輪對(duì) O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JO，試求鼓輪 的角加速度。 圖 11-34 21rvmJLOz1rv2rv)(2rz 21gMz - 6 - zzMtLd 2121)( grmrmJO2g 11-12 如圖 11-35 所示，為求半徑 R0.5m 的飛輪 A 對(duì)于通過(guò)其重心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛 輪上繞以細(xì)繩，繩的末端系一質(zhì)量為 m18kg 的重錘，重錘自高度 h2m 處落下，測(cè)得落下時(shí) 間 t116s。為消去軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為 m24kg 的重錘作第二次試驗(yàn)，此重錘自同 一高度落下的時(shí)間 t225s。假定摩擦力矩為一常數(shù)，且與重錘的重量無(wú)關(guān)，試求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量和軸承的摩擦力矩。 圖 11-35vRmJvRJmvJLz )()()( 2gMzfztd f2)(mgRaJ)(f MthJ)(2 tgR)(2f 第一次試驗(yàn) 2165.0).8(5.02f2J (1)43fMg 第二次試驗(yàn) 25.0)5.(5.02f2J - 7 - (2)2(15.78fMgJ (1)-(2) f.46. mN03f 由(1)得 2f kg.10592)(2gJ 11-13 通風(fēng)機(jī)風(fēng)扇的葉輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，以初角速度 w0繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，見(jiàn)圖 11- 36。設(shè)空氣阻力矩與角速度成正比，方向相反，即 M kw， k 為比例系數(shù)，試求在阻力作用 下，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間角速度減少一半？在此時(shí)間間隔內(nèi)葉輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？ 圖 11-36 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 kMtJd t tJk02d0 t1ln 2kt 11-14 兩均質(zhì)細(xì)桿 OC 和 AB 的質(zhì)量分別為 50kg 和 100kg，在 C 點(diǎn)互相垂直焊接起來(lái)。若 在圖 11-37 所示位置由靜止釋放，試求釋放瞬時(shí)鉸支座 O 的約束力。鉸 O 處的摩擦忽略不計(jì)。 圖 11-37ggmgMJezO 125)025(15.0)()( 21 F325031g6 - 8 - 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 125)025(5.02121 mamayCyCy0 x eFeyCF Ox 21WO ggy652N496750y 11-15 質(zhì)量為 100kg、半徑為 1m 的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速 n=120r/min 繞 O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 11- 38 所示。設(shè)有一常力 F 作用于閘桿，輪經(jīng) 10s 后停止轉(zhuǎn)動(dòng)。已知摩擦因數(shù) 0.1，試求力 F 的大小。 圖 11-38 桿 05.3.10N FMO N73F 圓輪 RFJOd NdFRtJFOdNtmRnRttJFO140372137NN8.6910.4 11-16 如圖 11-39 所示的帶傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪半徑為 R1、質(zhì)量為 m1，從動(dòng)輪半徑為 R2、質(zhì)量為 m2，兩輪以帶相連接，分別繞 O1 和 O2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在主動(dòng)輪上作用有力偶矩為 M 的主 - 9 - 動(dòng)力偶，從動(dòng)輪上的阻力偶矩為 。帶輪可視為均質(zhì)圓盤(pán)，帶質(zhì)量不計(jì)，帶與帶輪間無(wú)滑動(dòng)。M 試求主動(dòng)輪的角加速度。 圖 11-39 主動(dòng)輪 RFJO1T21)() 從動(dòng)輪 22 即 (1)1T212)(MRm (2)RFT2 因 12 式(1) R2+(2) R1 1221 RMm 122 11)(R 2112mM 11-17 如圖 11-40 所示，電絞車(chē)提升一質(zhì)量為 m 的物體，在其主動(dòng)軸上作用有一矩為 M 的 主動(dòng)力偶。已知主動(dòng)軸和從動(dòng)軸連同安裝在這兩軸上的齒輪以及其它附屬零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別 為 J1 和 J2 ；傳動(dòng)比 z2:z1 i；吊索纏繞在鼓輪上，鼓輪半徑為 R。設(shè)軸承的摩擦和吊索的質(zhì) 量均略去不計(jì)，試求重物的加速度。 圖 11-40 主動(dòng)軸 MRFJ1t1)(2i (1)1ta - 10 - 從動(dòng)軸連重物 vRmJvJmvRJLO )(2222 gFMt222dOt (2)mgRFaRJ2t2 式(1) R2+(2) R1 121 Mi 上式除以 R1 mgiaJi22212)(imga 11-18 半徑為 R、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤(pán)，沿傾角為 的斜面作純滾，如圖 11-41 所示。不 計(jì)滾動(dòng)阻礙，試求：(1)圓輪質(zhì)心的加速度；(2)圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。 圖 11-41 (1) 圓盤(pán)的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 )(eCy exMJFma (1)gsin (2)co0NF (3)rJC (4)a - 11 - 由式(3)、(4)得 CmaF21 代入式(1) sin3g 由式(2) coN (2) cosin31sNsFgF tastan31mis 11-19 均質(zhì)圓柱體 A 的質(zhì)量為 m，在外圓上繞以細(xì)繩，繩的一端 B 固定不動(dòng)，如圖 11-42 所示。圓柱體因解開(kāi)繩子而下降，其初速度為零。試求當(dāng)圓柱體的軸心降落了高度 h 時(shí)軸心的 速度和繩子的張力。 圖 11-42 (1)TFmgaARJC)( AT21 (2)Fa 由式(1)、(2)得 gA32mg31T hhav2 11-20 如圖 11-43 所示，有一輪子，軸的直徑為 50mm，無(wú)初速地沿傾角 的軌道滾20 下，設(shè)只滾不滑，5 秒內(nèi)輪心滾過(guò)距離 s=3m。試求輪子對(duì)輪心的回轉(zhuǎn)半徑。 圖 11-43 與習(xí)題 11-18 類(lèi)似，此處 2mJC (1)FmgaCsin - 12 - (2)cos0NmgF (3)rJC (4)a 由式(3)、(4)得 2ramFC 代入式(1) 2/1sing 而 21tasC4.0532tC 即 4.0/in2rg )1.si( m02.9658.124.0sin895240 r 11-21 重物 A 質(zhì)量為 m1，系在繩子上，繩子跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量的固定滑輪 D，并繞在鼓輪 B 上，如圖 11-44 所示。由于重物下降，帶動(dòng)輪 C 沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。設(shè)鼓輪半徑為 r， 輪 C 的半徑為 R，兩者固連在一起，總質(zhì)量為 m2，對(duì)于其水平軸 O 的回轉(zhuǎn)半徑為 。試求重物 A 的加速度。 圖 11-44 重物 A T1Fgma (1)AT 鼓輪 B 和輪 C FRrJOT)( (2)amA2 - 13 - FamOT2 (3)RrA 由式(2)、(3)消去 F 得 RraAAT222 )(T2rRam 將式(1)代入上式 )(122 rRamgrAA Ra )()(221rA 11-22 半徑為 r 的均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為 m，放在粗糙的水平面上，如圖 11-45 所示。設(shè)其中 心 C 的初速度為 v0，方向水平向右，同時(shí)圓柱如圖所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，其初角速度為 w0，且有 rw0<v0。如圓柱體與水平面的摩擦因數(shù)為 ，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn) 動(dòng)，并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度。 圖 11-45 由 mgFmaCN 得 g 由 rJC)(gr21 得 2 gtvtavC00 r2 純滾時(shí) C 即 gttv00 r3 - 14 - grvt30 200rvtC 11-23 如圖 11-46 所示，長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿 AB 一端系在細(xì)索 BE 上，另一端放在 光滑平面上，當(dāng)細(xì)索鉛直而桿靜止時(shí)，桿對(duì)水平面的傾角 f45，現(xiàn)細(xì)索突然斷掉，試求桿 A 端的約束反力。 圖 11-46 細(xì)索突然斷掉瞬時(shí) 0 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒， C 點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)法(以 A 為基點(diǎn)，分析 C 點(diǎn)) nCaa 0n A (1)cosC 平面運(yùn)動(dòng)微分方程 (2)maGFN (3)cos2)(12Nll 由式(1)代入式(2)得 cos2NlmgF 再代入式(3)得 ll l )cs31(6)cos412(22 由(3)得 N3cos6mglF 當(dāng) 時(shí)，455 11-24 如圖 11-47 所示的均質(zhì)長(zhǎng)方體質(zhì)量為 50kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 0.2，在力 - 15 - F 作用下向右滑動(dòng)。試求：(1)不傾倒時(shí)力 F 的最大值；(2)此時(shí)長(zhǎng)方體的加速度。 圖 11-47 長(zhǎng)方體平動(dòng) 0 平面運(yùn)動(dòng)微分方程 (1)CmaFd54 (2)03Ng (3)150(315540NddFF )3(NdmgF 臨界狀態(tài) 0 由式(3)得 015315NdF 2F 0)(N )51mg 02(3)2( N18.263.5)4.1(5)1( mgF 此時(shí) 3dFmg 由式(1)得 508.92.169.2.09.)53(45d mgFgaC 2/s0. 11-25 如圖 11-48 所示的均質(zhì)長(zhǎng)方形板放置在光滑水平面上。若點(diǎn) B 的支承面突然移開(kāi)， 試求此瞬時(shí)點(diǎn) A 的加速度。 - 16 - 圖 11-48 點(diǎn) B 的支承面突然移開(kāi) 0 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒， C 點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)法(以 A 為基點(diǎn)，分析 C 點(diǎn)) nCaa 0n A cosC a 故 (1)2l 平面運(yùn)動(dòng)微分方程 (2)ACFmga (3)2)(122lbl 由式(1)代入式(2)得 2lmgA 再代入式(3)得 2)()(122 lbl22246)(1lgmblg243lgaC 2243tnblgblA 11-26 均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿 AB，質(zhì)量為 m，長(zhǎng)為 l， CD d，與鉛垂墻間的夾角為 ， D 棱是光滑的。 在圖 11-49 所示位置將桿突然釋放，試求剛釋放時(shí)，質(zhì)心 C 的加速度和 D 處的約束力。 圖 11-49 - 17 - (1)exCFmacosDCxFma (2)ey gyin (3)(CMJdlD21 基點(diǎn)法(以 D 為基點(diǎn)，分析 C 點(diǎn)) ( )nDaa 0nCa (4)cossiCCx (5)iDy 由(3)得 (6)dmlF12 將式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2) cos)cossin(laCDgdin12i 即 cos)cossin(mlamCDgdin12i (7)ctt2lCD (8)osana (7)+(8)得 cs)t(tn12)cot(t gdlCDda22 i)cot)(tan1(sllg 代入(3)得 2sildmgFD - 18 - 由(1)得 21cosincosldglmFaDCx 由(2)得 gly 2i 11-27 均質(zhì)圓柱體 A 和 B 的質(zhì)量均為 m，半徑均為 r，一繩纏在繞固定軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱 A 上，繩的另一端繞在圓柱 B 上，如圖 11-50 所示。摩擦忽略不計(jì)。試求：(1)圓柱體 B 下落時(shí) 質(zhì)心的加速度；(2)若在圓柱體 A 上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，矩為 M 的力偶，試問(wèn)在什么條件下圓 柱體 B 的質(zhì)心加速度將向上。 圖 11-50 (1) 圓柱體 A rFJOT)( amr21 (1)TA 圓柱體 B rFJ)( amrAT21 (2)(B (3)TFga 式(1)+(2)，得 T21mB 4TaF 代入式(3)，得 - 19 - gaB54 (2) 圓柱體 A rFMJOT amr21 (1)TA 圓柱體 B rFJ)( amrBAT21 (2)( (3)gFaBT 式(1)+(2)，得 T21rMmB BaF4T 代入式(3)，得 mgarMBB412 50Ba 得 gr2 11-28 如圖 11-51 所示，重為 350N 的平板放在兩個(gè)相同的圓柱體上，圓柱體半徑為 r， 重量為 130N，斜面傾角為 20。今在板上作用一平行于斜面的力 FT，設(shè)在平板與圓柱體之間以 及圓柱體與斜面之間沒(méi)有滑動(dòng)。試求：(1)平板以加速度 a1.8m/s 2沿斜面上升時(shí) FT力的大??； - 20 - (2)去掉 FT力后平板的加速度。 圖 11-51 (1) 分析一個(gè)圓柱體(另一圓柱體相同) 2/aC)2/(raC sin21gmF rr)(2 即 (1)sin221gmFa (2)214 由式(1)+(2)得 sin243gmFa (3)sin4322gmaF 板 a112Tigsn mgma112sini43i)()(21210sin)35(8.9304517682N3.4 - 21 - (2) 分析一個(gè)圓柱體(另一圓柱體相同) 2/aC)2/(raC 12sinFgm rr)(12 即 (1)122sinFgma (2)214 由式(1)+(2)得 (3)sin243gmFa 板 Fgm121sin (4)a 由式(3)+(4)得 sin)()43(2121gm21sia 2m/s58.320sin5.478305sin)( gg