空間幾何體的表面積和體積一課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。二命題走向近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測2009年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題；三要點(diǎn)精講1多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長lS側(cè)+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底h正棱錐ch棱臺棱臺各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長。2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。四典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個平行六面體的體積。圖1 圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，從而OM=ON。點(diǎn)O在BAD的平分線上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面體的體積為。題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）A2 B3 C6 D解析：設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為a=1，b，c，則對角線l的長為l=；答案D。點(diǎn)評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長。例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積PABCDOE例5 （2008山東卷6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D(A)9（B）10(C)11 (D)12（2008江西卷10）連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有下列四個命題：弦、可能相交于點(diǎn) 弦、可能相交于點(diǎn)的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個數(shù)為CA1個 B2個 C3個 D4個（2008湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為BA. B. C. D. 點(diǎn)評：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例6（2008北京，19）（本小題滿分12分）ABCMPD如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，（）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（）求四棱錐的體積（）證明：在中，由于，ABCMPDO所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（）解：過作交于，由于平面平面，所以平面因此為四棱錐的高，又是邊長為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故點(diǎn)評：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐BEFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得點(diǎn)評：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運(yùn)算。例8（2007江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 BS1>S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題例9（2008四川理，19）（本小題滿分12分）如圖，面ABEF面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BEAF，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)。()證明：四邊形BCHG是平行四邊形；()C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？()設(shè)AB=BE，證明：平面ADE平面CDE.GHFEDCBA)解法一： ()由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. ()C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下： 由BE ,G是FA的中點(diǎn)知，BE GF，所以EFBG. 由()知BGGH，故FH共面.又點(diǎn)D在直線FH上. 所以C、D、F、E四點(diǎn)共面. ()連結(jié)EG，由AB=BE，BE AG及BAG=90知ABEG是正方形. 故BGEA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BGED. 又EDEAE，所以BG平面ADE. 由()知，CHBG，所以CH平面ADE.由()知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE. 解法二： 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. ()設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是又點(diǎn)G不在直線BC上.所以四邊形BCHG是平行四邊形.()C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下：由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以()由AB=BE，得c=a，所以又即 CHAE,CHAD,又 ADAE =A,所以CH平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.點(diǎn)評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實(shí)際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10（1）（2008四川理，8）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過作垂線于的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( D )（）（）（）（）【解】：設(shè)分別過作垂線于的面截球得三個圓的半徑為，球半徑為，則： 這三個圓的面積之比為： 故選D【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系；【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理；例11（2008四川文，12）若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( B )（） （） （） （）【解】：如圖在三棱柱中，設(shè)，由條件有，作于點(diǎn)，則 故選B【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力；【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；例12如圖99，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。圖題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題例13已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，。點(diǎn)評： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例14如圖所示，球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC內(nèi)的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共線，球的半徑R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。點(diǎn)評：本題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a,下略。題型9：球的面積、體積綜合問題例15（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O1的體積。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，則作軸截面如圖，又，（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè)AOFAEG ，得AO1HAOF ，得點(diǎn)評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，設(shè)是北緯的緯線長，答：北緯緯線長約等于（2）解：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，所以，球心到截面距離為例16在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，中，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于點(diǎn)評：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。（2008廣東文18）（本小題滿分14分）如圖5所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，。（1）求線段PD的長；（2）若，求三棱錐P-ABC的體積?！窘馕觥浚?） BD是圓的直徑 又 , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱錐的體積為 .五思維總結(jié)1正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長為a，則這個正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對棱中點(diǎn)連線段的長：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。2直角四面體的性質(zhì) 有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。則：不含直角的底面ABC是銳角三角形；直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是ABC的垂心；體積 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半徑 R=；內(nèi)切球半徑 r=3圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.如圖，圓錐的頂角為，母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圓臺 如圖，圓臺母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r 、r，則h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一個平面去截一個球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。5. 兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）