第六章 氣體動(dòng)理論#61一容積為10L的真空系統(tǒng)已被抽成1.010-5 mmHg的真空，初態(tài)溫度為20。為了提高其真空度，將它放在300的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體，如果烘烤后壓強(qiáng)為1.010-2 mmHg，問器壁原來吸附了多少個(gè)氣體分子?解：由式，有因而器壁原來吸附的氣體分子數(shù)為62一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強(qiáng)為1.01105 Pa，溫度為27，求：（l）氣體分子的數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（4）分子間的平均距離。（設(shè)分子間等距排列）分析：在題中壓強(qiáng)和溫度的條件下，氧氣可視為理想氣體。因此，可由理想氣體的物態(tài)方程、密度的定義以及分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系等求解。又因可將分子看成是均勻等距排列的，故每個(gè)分子占有的體積為，由數(shù)密度的含意可知即可求出。解：（l）單位體積分子數(shù) （2）氧氣的密度 （3）氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 （4）氧氣分子的平均距離63本題圖中I、II兩條曲線是兩種不同氣體（氫氣和氧氣）在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求：（1）氫氣分子和氧氣分子的最概然速率；（2）兩種氣體所處的溫度。分析：由可知，在相同溫度下，由于不同氣體的摩爾質(zhì)量不同，它們的最概然速率也就不同。因，故氫氣比氧氣的要大，由此可判定圖中曲線II所標(biāo)應(yīng)是對應(yīng)于氫氣分子的最概然速率。從而可求出該曲線所對應(yīng)的溫度。又因曲線I、II所處的溫度相同，故曲線I中氧氣的最概然速率也可按上式求得。解：（1）由分析知?dú)錃夥肿拥淖罡湃凰俾蕿榱?xí)題63圖利用可得氧氣分子最概然速率為（2）由得氣體溫度64有N個(gè)質(zhì)量均為m的同種氣體分子，它們的速率分布如本題圖所示。（1）說明曲線與橫坐標(biāo)所包圍面積的含義；（2）由N和v0求a值；（3）求在速率v0/2到3v0/2間隔內(nèi)的分子數(shù)；（4）求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能.習(xí)題64圖分析：處理與氣體分子速率分布曲線有關(guān)的問題時(shí)，關(guān)鍵要理解分布函數(shù)的物理意義。題中縱坐標(biāo)，即處于速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。同時(shí)要掌握的歸一化條件，即。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)分布函數(shù)并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法（如函數(shù)求平均值或極值等），即可求解本題。解：（l）由于分子所允許的速率在0到2v0的范圍內(nèi)，由歸一化條件可知圖中曲線下的面積即曲線下面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N。（2）從圖中可知，在0到v0區(qū)間內(nèi)，；而在v0到2v0區(qū)間內(nèi)，。則利用歸一化條件有得（3）速率在v0/2到3v0/2間隔內(nèi)的分子數(shù)為 (4)分子速率平方的平均值按定義為故分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為 65當(dāng)氫氣的溫度為300時(shí)，求速率在區(qū)間3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)N1與速率在區(qū)間vp到vp+10m/s之間的分子數(shù)N2之比。解：氫氣在溫度T=273+300=573開時(shí)的最可幾速率vp為 麥克斯韋速度分布公式可改寫為 則速度在3000米/秒3010米/秒間的分子數(shù) 速度在vp vp10米/秒間的分子數(shù) 故 66有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為 (v0>v>0) (v>v0) (1) 作速率分布曲線；（2）求常數(shù)C；（3）求粒子的平均速率。解： （2）由歸一化式得 （3） 67 根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明：處于平均速率附近一固定小速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與成反比。解：由 則速率分布函數(shù)可化為 速率在 區(qū)間內(nèi)分子數(shù)DN為 可見： 68一密封房間的體積為533m3，室溫為20，室內(nèi)空氣分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？如果氣體溫度升高1.0K，而體積不變,則氣體的內(nèi)能變化多少？氣體分子方均根速率增加多少？（已知空氣的密度r=1.29Kg/m3，摩爾質(zhì)量M =2910-3Kg / mol，且空氣分子可認(rèn)為是剛性雙原子分子。）解：根據(jù) 69在容積為2.010-3 m3的容器中，有內(nèi)能為6.75102 J的剛性雙原子分子理想氣體。（1）求氣體的壓強(qiáng)；（2）設(shè)分子總數(shù)為5.41022個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度。解：（1）由和可得氣體壓強(qiáng)（2）分子數(shù)密度n=N/V為，則該氣體的溫度 氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為610質(zhì)點(diǎn)離開地球引力作用所需的逃逸速率為，其中R為地球半徑。（1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度；（2）說明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。（取R= 6.40106 m）分析：氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率。對于摩爾質(zhì)量M不同的氣體分子，為使等于逃逸速率v，所需的溫度是不同的；如果環(huán)境溫度相同，則摩爾質(zhì)量M較小的就容易達(dá)到逃逸速率。解：（1）由題意逃逸速率，而分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率。當(dāng)時(shí)，有 由于氫氣的摩爾質(zhì)量，氧氣的摩爾質(zhì)量則它們達(dá)到逃逸速率時(shí)所需的溫度分別為（2）根據(jù)上述分析，當(dāng)溫度相同時(shí)，氫氣的平均速率比氧氣的要大（約為4倍），因此達(dá)到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論，宇宙在形成過程中經(jīng)歷了一個(gè)極高溫過程。在地球形成的初期，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高。因而，在氣體分子產(chǎn)生過程中就開始有分子逃逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。另外，雖然目前的大氣層溫度不可能達(dá)到上述計(jì)算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速率分布曲線可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運(yùn)動(dòng)速率大于逃逸速率。從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達(dá)到逃逸速率的可能性大于氧氣分子。611討論氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能的分布函數(shù)，歸一化條件，及求任意函數(shù)的平均值公式。并由麥克斯韋氣體分子速率分布函數(shù)導(dǎo)出動(dòng)能分布函數(shù)，求出最可幾動(dòng)能。解：在動(dòng)能空間中取一小區(qū)間，小區(qū)間內(nèi)分子數(shù)dN占總分子數(shù)N之比為其中為分子動(dòng)能分布函數(shù)，它滿足歸一化條件：任意函數(shù)的平均值公式：令可求出令可得最可幾動(dòng)能612已知在單位時(shí)間內(nèi)撞擊在容器壁單位面積上的分子數(shù)為。假定一邊長為1米的立方箱子，在標(biāo)準(zhǔn)情況下盛有個(gè)氧分子，計(jì)算1秒鐘內(nèi)氧分子與箱子碰撞的次數(shù)。解：氧分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下算術(shù)平均速率 米/秒每邊長為1米的立方箱的總面積 S=611=6米2則次/秒613在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣（He）的內(nèi)摩擦系數(shù)h=1.8910-5帕秒，摩爾質(zhì)量M為0.004千克，平均速率為1.20103米/秒。試求：（1）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)氦原子的平均自由程。（2）氦原子的半徑。解：（1）由公式，則因?yàn)闅怏w密度千克/米3 米（2） 由氦原子直徑米氦原子半徑為米614（1）求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)。（2）若溫度不變，氣壓降到1.3310- 4帕，平均碰撞次數(shù)又為多少？（設(shè)分子有效直徑為10 - 10米）解：（1）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氮?dú)夥肿拥乃阈g(shù)平均速度 米/秒由公式p =nRT得 由平均自由程得 平均碰撞次數(shù)（2）氣壓降低之后的平均碰撞次數(shù)為 615若在標(biāo)準(zhǔn)壓強(qiáng)下，氫氣分子的平均自由程為610 - 8米，問在何種壓強(qiáng)下，其平均自由程為1厘米？（設(shè)兩種狀態(tài)的溫度一樣）解：按p = nKT 和，有 ，則即616如果理想氣體的溫度保持不變，當(dāng)壓強(qiáng)降為原值的一半時(shí)，分子的平均碰撞頻率和平均自由程如何變化？分析：在溫度不變的條件下，分子的平均碰撞頻率，而分子的平均自由程，由此可得壓強(qiáng)變化時(shí)，平均碰撞頻率和平均自由程的變化。解：由分析知，當(dāng)壓強(qiáng)由p0降至p0/2時(shí)，平均碰撞頻率為又因，故當(dāng)壓強(qiáng)減半時(shí)，平均自由程為