福建農(nóng)林大學(xué)考試試卷 樣卷 參考答案 200X 200X 學(xué)年第 X 學(xué)期 課程名稱： 有限元法 考試時(shí)間 120分鐘 專業(yè) 年級(jí) 班 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào) 一 二 三 四 五 六 七 八 總得分 得分 評(píng)卷人 得分 一、名詞解釋（每小題4分，共20分） 1、有限元法 有限元法是一種把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體的一種近似數(shù)值計(jì)算 方法。它以有限個(gè)結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力來表示結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)和內(nèi)力狀態(tài)，用結(jié)點(diǎn)位 移表示外力，建立以結(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的平衡方程，求解結(jié)點(diǎn)位移，再求應(yīng)變和應(yīng) 力等。 2、離散化 將分析的結(jié)構(gòu)劃分成有限個(gè)單元體，并在單元體的指定點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，把相鄰的單元 體在結(jié)點(diǎn)處連接起來，組成單元的集合體。 3、完備單元 位移模式滿足以下兩個(gè)條件的單元： （1）位移模式必須包含單元的剛體位移（2） 位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變。 試卷第 1 頁 （共 10 頁） 4、兩單元平均法 把環(huán)繞某一結(jié)點(diǎn)的各單元常應(yīng)力加以平均，用以表示該結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。 5、位移模式 假定單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是其坐標(biāo)的某種（簡單）函數(shù)。即單元內(nèi)各點(diǎn)位移可以由 單元結(jié)點(diǎn)位移插值得出。選擇位移模式，實(shí)質(zhì)上是用什么樣的位移函數(shù)去近似的描 述實(shí)際位移的變化規(guī)律。 得分 二、 （本題滿分20分） 二、 一平面桁架及其結(jié)點(diǎn)和單元的編號(hào)如圖1， 各桿截面積均為A， 彈性模量均為E， 桿和桿的長度為 L。求： （1）各桿在單元坐標(biāo)系下的剛度矩陣，并請(qǐng)標(biāo)出 各單元坐標(biāo)系； （2）桿和桿在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣 e k e k 。 P y3 3 P x3 y O x 1 2 圖 1 試卷第 2 頁 （共 10 頁） 解： （1） y 1 2 x 對(duì)于單元，i=1，j=2, 0 = 單元?jiǎng)偠染仃嚍?（3分） x 3 對(duì)于單元，i=1，j=3, 45 = 單元?jiǎng)偠染仃嚍?（4 分） y 1 x 3 對(duì)于單元，i=2，j=3, 90 = 單元?jiǎng)偠染仃嚍?（3分） 2 y 注：標(biāo)出各單元坐標(biāo)系各得 1 分 00 00 0000 e EA EA LL K EA EA LL 0000 = 22 00 22 0000 22 00 22 0000 e EA EA LL K EA EA LL = 00 0000 00 0000 e EA EA LL K EA EA LL = 試卷第 3 頁 （共 10 頁） （2）整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?22 00 cos sin 0 0 cos sin 0 0 s i nc o s0 0 0000s i nc o s0 0 00c o ss i n 00c o ss i n 00 00s i nc o s 00s i nc o s 0000 cos sin cos cos si e Te KTKT EA EA ll EA EA ll EA EA EA EA llll = = = 22 22 22 nc o s sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin EA EA EA EA llll EA EA EA EA llll EA EA EA EA llll 對(duì)于單元 （3 分） （ 對(duì)于單元 4 分） 00 0000 00 0000 e EA EA LL K EA LL EA = 2 e EA EA EA EA LLLL EA EA EA EA LLLL K EA EA EA EA LLLL EA EA EA EA LLLL = 4 試卷第 4 頁 （共 10 頁） 得分 三、 （本題滿分6分） 三、圖 2 為一空間剛架等截面直梁單元，結(jié)點(diǎn)為 i、j, 參考點(diǎn)為 k，k 位于水平面 內(nèi)。要求： （1）畫出y、z軸； （2）寫出各結(jié)點(diǎn)位移和對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力列陣。 j （1）如圖所示（3 分） k i y 圖 2 z （2）結(jié)點(diǎn)位移列陣： （3分） 結(jié)點(diǎn)力列陣： 得分 四、 （本題滿分11分） 四、平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的結(jié)點(diǎn)為i、j、m。單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移與結(jié)點(diǎn)位移 之間的關(guān)系如下： 。 已知u = m m j j i i m j i m j i v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 i =1.610 -2 mm， u j =2.110 -2 mm, T zj yj xj j j j zi yi xi i w v ) , , , , , , , ( = i i e w v u u , , , , T zj yj xj j j j zi yi xi i i i e M M M W V U M M M W V U F ) , , , , , , , , , , , ( = 試卷第 5 頁 （共 10 頁） u m =1.910 -2 mm, v i =v j =v m =0, xi =1.110 -2 ， Pa i 400 = 。要求： （1）寫出N j 與x、y 的關(guān)系式； （2）寫出a j 、b j 、c j 與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式； （2）說明u j、 v m 和 xi 的意義； （3）求 xj 和 xm ； （4）求 j 。 （1） （2分） () jjjj （2） （3分） / 2 b xc y =+ m yx y y cxx = = = Na jm ii jmi jim ax by （3）u j j結(jié)點(diǎn)在X方向的位移 v m m 結(jié)點(diǎn)在Y方向的位移 （3分） xi i結(jié)點(diǎn)在X方向的應(yīng)變 （4） xj xm 1.110 -2 （2分） （5） j =4 0 0 P a （1分） 試卷第 6 頁 （共 10 頁） 得分 五、 （本題滿分11分） 五、 （1）有限元法用于解決工程問題會(huì)產(chǎn)生誤差嗎？如果會(huì)，請(qǐng)分析誤差可能由哪 些原因引起? （2）檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果有哪些方法？ （3）檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的先后次序如何？為什么？ （1）會(huì)。 （1分） 四類誤差來源： （4分） 理論模型本身誤差 建模誤差 方程組求解過程的誤差 有限元計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)的編程誤差 （2）檢驗(yàn)有限元計(jì)算結(jié)果方法： （3分） 與解析解的比較 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 與他人結(jié)果的比較 （3）先檢查位移，后檢查應(yīng)力。 （1分） 因?yàn)椋河邢拊ń⒌氖且越Y(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的代數(shù)方程組，所以首先得出的是位 移，而應(yīng)力是由結(jié)點(diǎn)位移求得的。 （2分） 試卷第 7 頁 （共 10 頁） 得分 六、 （本題滿分11分） 六、 （1） 寫出雙線性位移模式， 并指出反映剛體位移和常量應(yīng)變的系數(shù)分別是哪個(gè)？ （2）寫出平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，它和平面矩形單元相比哪個(gè)精度 高？ （3）對(duì)平面矩形單元任意兩相鄰單元在公共邊界上的位移和應(yīng)變、應(yīng)力是否連 續(xù)？為什么？ （1） xy y x v xy y x u 8 7 6 5 4 3 2 1 + + + = + + + = 反映剛體位移的系數(shù)： 1 、 5 ，反映常量應(yīng)變的系數(shù)： 2 、 3 、 6 、 7 （4 分） （2） y x v y x u 6 5 4 3 2 1 + + = + + = 平面矩形單元精度高。 （3分） （3）位移連續(xù)；而應(yīng)變、應(yīng)力不連續(xù)。 （2分） 在單元的邊界上位移分量是按線性變化的， （固定 x，它是 y 的線性函數(shù)；固定 y, 它是 x 的線性函數(shù)） ，故稱為雙線性位移模式，又因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)相鄰單元在公共邊 界的兩結(jié)點(diǎn)位移相同，所以在公共邊界上的位移是連續(xù)的，滿足協(xié)調(diào)性條件。 而矩形單元在位移模式中包含 xy項(xiàng)，因此B和S矩陣中的元素不再是常量，在單 元范圍內(nèi)是呈線性變化的應(yīng)力場，所以在不同單元的公共邊界應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)允遣贿B 續(xù)的。 （2分） 試卷第 8 頁 （共 10 頁） 得分 七、 （本題滿分11分） 七、一平面剛架的結(jié)構(gòu)模型及其結(jié)點(diǎn)和單元的編號(hào)如圖 3。采用梁單元進(jìn)行有限元 分析，坐標(biāo)系如圖所示。要求： （1）計(jì)算半帶寬，圖上結(jié)點(diǎn)編號(hào)是否已達(dá)到最小半 帶寬要求； （2） 寫出頭 4個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值； （3） 若橫梁的截面為 40mm40mm2mm 的方管，試求它的扭轉(zhuǎn)慣性矩J k ； （4）如用ANSYS軟件平面梁單元來建模分析，應(yīng) 選什么單元？ y P P 520 700 500 2 4 6 8 O x 500 1 3 5 7 圖 3 （1）B=（d+1）H=（21）39 （3分） 已達(dá)到最小半帶寬要求 （1分） （2）1（0，250，0） ，2（0，250，0） ，3（520，250，0） ，4（520，250，0） （2分） （3） （3分） （4）選用 Beam3單元 （2分） 2 24 12 2( ) 2(38 38) /(38 / 2 38 / 2) 109744 () k bh Jm m bh tt = + = + 試卷第 9 頁 （共 10 頁） 得分 八、 （本題滿分10分） 八、單元?jiǎng)偠染仃嚭涂倓偠染仃嚫饔心男┬再|(zhì)？ （1）單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)： 方陣 反映了單元的固有性質(zhì)。系數(shù)取決于單元長短、截面幾何參數(shù)、材料彈性模量等。 對(duì)稱陣 奇異矩陣，即行列式=0 是建立在單元坐標(biāo)系上的。 （2）總剛度矩陣的性質(zhì)： 對(duì)稱陣 稀疏性 帶形分布規(guī)律 奇異性 是建立在整體坐標(biāo)系上的。 （每小點(diǎn) 1分） 試卷第 10 頁 （共 10 頁）