*§6正態(tài)分布A組1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=12e-(x-)222,和(>0)都是實數(shù)B.f(x)=22e-x22C.f(x)=122e-(x-1)24D.f(x)=12ex22解析:根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=12e-(x-)222進行判斷.答案:B2.設隨機變量服從正態(tài)分布N(2,9),若P(>c+1)=P(<c-1),則c=()A.1B.2C.3D.4解析:因為N(2,9),所以正態(tài)密度曲線關于x=2對稱,又概率表示它與x軸所圍成的面積,所以(c+1)+(c-1)2=2,所以c=2.答案:B3.服從正態(tài)分布N(0,1)的隨機變量X在區(qū)間(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為P1,P2,則()A.P1>P2B.P1<P2C.P1=P2D.不確定解析:XN(0,1),正態(tài)曲線關于y軸對稱.隨機變量在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率相等,即P1=P2.答案:C4.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2,2),P(4)=0.84,則P(<0)=()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84解析:由N(2,2),可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2,易知P(<0)=P(>4)=1-P(4)=1-0.84=0.16.答案:A5.在正態(tài)分布N0,19中,隨機變量在(-,-1)(1,+)內(nèi)的概率為()A.0.997B.0.046C.0.03D.0.003解析:=0,=13,P(x<-1或x>1)=1-P(-1x1)=1-P(-3x+3)=1-0.997=0.003.答案:D6.在某項測量中,測量結果服從正態(tài)分布N(1,2)(>0).若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則在(0,2)內(nèi)取值的概率為. 解析:服從正態(tài)分布N(1,2),在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同,均為0.4.在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4+0.4=0.8.答案:0.87.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是,(x)=122e-(x+2)28(xR),則E(2X-1)=. 解析:=2,=-2,EX=-2.E(2X-1)=2EX-1=2×(-2)-1=-5.答案:-58.在一次測試中,測量結果X服從正態(tài)分布N(2,2)(>0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求:(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率;(2)P(X>4).解(1)由XN(2,2),得對稱軸為x=2,畫出示意圖,P(0<X<2)=P(2<X<4),P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=121-P(0<X<4)=12×(1-0.4)=0.3.9.已知某地農(nóng)民工年均收入服從正態(tài)分布,某密度函數(shù)圖像如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)百分比.解設農(nóng)民工年均收入N(,2),結合圖像可知=8 000,=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達式為P(x)=12e-(x-)222=15002e-(x-8 000)22×5002,x(-,+).(2)P(7 500<8 500)=P(8 000-500<8 000+500)=0.683,P(8 000<8 500)=12P(7 500<8 500)=0.341 5.此地農(nóng)民工年均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)百分比為34.15%.B組1.設隨機變量X服從正態(tài)分布N12,2,集合A=x|x>X,集合B=xx>12,則AB的概率為()A.14B.13C.12D.23解析:由AB得X12.=12,PX12=12.答案:C2.關于正態(tài)曲線的性質(zhì):曲線關于直線x=對稱,并且曲線在x軸上方;曲線關于y軸對稱,且曲線的最高點的坐標是0,12;曲線最高點的縱坐標是12,且曲線無最低點;越大,曲線越“高瘦”;越小,曲線越“矮胖”.其中正確的是()A.B.C.D.答案:D3.(2016·武漢市重點中學高二期末聯(lián)考)隨機變量N(2,10),若落在區(qū)間(-,k)和(k,+)的概率相等,則k等于()A.1B.10C.2D.10解析:區(qū)間(-,k)和(k,+)關于x=k對稱,x=k為正態(tài)曲線的對稱軸,k=2,故選C.答案:C4.某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為f(x)=12·10e-(x-80)2200(xR),則下列命題不正確的是()A.該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B.分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學成績方差為100解析:因為=80,=10,所以A,D正確,根據(jù)3原則知C正確.答案:B5.已知XN(0,1),則X在區(qū)間(-,-2)內(nèi)取值的概率為. 解析:因為XN(0,1),所以X在區(qū)間(-,-2)和(2,+)內(nèi)取值的概率相等.又知X在(-2,2)內(nèi)取值的概率是0.954,所以X在(-,-2)內(nèi)取值的概率為1-0.9542=0.023.答案:0.0236.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(,2),且P(<1)=12,P(>2)=0.4,則P(0<<1)=. 解析:由P(<1)=12得=1,所以隨機變量服從正態(tài)分布N(1,2),所以曲線關于x=1對稱.因為P(<2)=0.6,所以P(0<<1)=0.6-0.5=0.1.答案:0.17.導學號43944046假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.(1)求p0的值;(參考數(shù)據(jù):若XN(,2),有P(-<X+)=0.683,P(-2<X+2)=0.954,P(-3<X+3)=0.997)(2)某客運公司用A,B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務,每車每天往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊,并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運成本最小,那么應配備A型車、B型車各多少輛?解(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800,502),故有=800,=50,P(700<X900)=0.954.由正態(tài)分布的對稱性,可得p0=P(X900)=P(X800)+P(800<X900)=12+12P(700<X900)=0.977.(2)設A型、B型車輛的數(shù)量分別為x,y,則相應的營運成本為(1 600x+2 400y)元.依題意,x,y還需滿足:x+y21,yx+7,P(X36x+60y)p0.由(1)知,p0=P(X900),故P(X36x+60y)p0等價于36x+60y900.于是原問題等價于求滿足約束條件x+y21,yx+7,36x+60y900,x,y0,x,yN,且使目標函數(shù)z=1 600x+2 400y達到最小的x,y.作可行域如圖所示,可行域的三個頂點坐標分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由圖可知,當直線z=1 600x+2 400y經(jīng)過可行域的點P時,直線z=1 600x+2 400y在y軸上截距z2 400最小,即z取得最小值.故應配備A型車5輛、B型車12輛.8.導學號43944047為了解一種植物的生長情況,抽取一批該植物樣本測量高度(單位:cm),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求該植物樣本高度的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)假設該植物的高度Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù)x,2近似為樣本方差s2,利用該正態(tài)分布求P(64.5<Z<96).附:11010.5,若ZN(,2),則P(-<Z<+)=0.683,P(-2<Z<+2)=0.954.解(1)x=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.(2)由題意知,ZN(75,110),從而P(64.5<Z<75)=12×P(75-10.5<Z<75+10.5)=12×0.683=0.341 5,P(75<Z<96)=12×P(75-2×10.5<Z<75+2×10.5)=12×0.954=0.477.所以P(64.5<Z<96)=P(64.5<Z<75)+P(75<Z<96)=0.341 5+0.477=0.818 5.