13太原理工大學碩士數(shù)理統(tǒng)計重點1統(tǒng)計量與抽樣分布1.1基本概念： 總體X的樣本X1，X2，Xn，則T(X1，X2，Xn)即為統(tǒng)計量樣本均值樣本方差修正樣本方差樣本k階原點矩樣本k階中心矩經(jīng)驗分布函數(shù) 其中Vn(x)表示隨機事件出現(xiàn)的次數(shù),顯然,則有 n nl 二項分布B(n,p):EX=np DX=np(1-p)l 泊松分布: l 均勻分布U(a,b): l 指數(shù)分布: l 正態(tài)分布: 當時， 1.2統(tǒng)計量： T是的充分統(tǒng)計量與無關T是的完備統(tǒng)計量要使Eg(T)=0,必有g(T)=0且h非負T是的充分統(tǒng)計量T是的充分完備統(tǒng)計量是的充分完備統(tǒng)計量1.3抽樣分布： 分布： T分布： 當n>2時，ET=0 F分布： 補充：n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度n 的概率密度n 的概率密度l 函數(shù)： l B函數(shù)： 1.4次序統(tǒng)計量及其分布：X(k)的分布密度：X(1)的分布密度：X(n)的分布密度：2參數(shù)估計2.1點估計與優(yōu)良性： 的均方誤差：若是無偏估計，則對于的任意一個無偏估計量，有，則是的最小方差無偏估計，記MVUE相合估計(一致估計): 2.2點估計量的求法： 矩估計法：1 求出總體的k階原點矩:2 解方程組 (k=1,2,.,m)，得即為所求最大似然估計法：1 寫出似然函數(shù)，求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m2 解似然方程得到，即最大似然估計 i=1,2,.,m補充：n 似然方程無解時，求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計2.3MVUE和有效估計： T是的充分完備統(tǒng)計量，是的一個無偏估計為的惟一的MVUE最小方差無偏估計的求解步驟：1 求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計量T2 求出，則是的一個無偏估計或求出一個無偏估計，然后改寫成用T表示的函數(shù)3 綜合，是的MVUE或者：求出的矩估計或ML估計，再求效率，為1則必為MVUET是的一個無偏估計，則滿足信息不等式，其中或，為樣本的聯(lián)合分布。最小方差無偏估計達到羅-克拉姆下界有效估計量效率為1無偏估計的效率：是的最大似然估計，且是的充分統(tǒng)計量是的有效估計2.4區(qū)間估計： 一個總體的情況： 已知，求的置信區(qū)間：未知，求的置信區(qū)間：已知，求的置信區(qū)間：未知，求的置信區(qū)間：兩個總體的情況：，均已知時，求的區(qū)間估計：未知時，求的區(qū)間估計：未知時，求：非正態(tài)總體的區(qū)間估計：當時， ，故用Sn代替Sn-13統(tǒng)計決策與貝葉斯估計3.1統(tǒng)計決策的基本概念：三要素、統(tǒng)計決策函數(shù)及風險函數(shù)三要素：樣本空間和分布族、行動空間（判決空間）、損失函數(shù)統(tǒng)計決策函數(shù)d(X):本質上是一個統(tǒng)計量，可用來估計未知參數(shù)風險函數(shù)：是關于的函數(shù)3.2貝葉斯估計： 1 求樣本X=(X1,X2,.,Xn)的分布：2 樣本X與的聯(lián)合概率分布：3 求關于x的邊緣密度4 的后驗密度為：取時的貝葉斯估計為：貝葉斯風險為：取時，貝葉斯估計為：補充：n 的貝葉斯估計：取損失函數(shù)，則貝葉斯估計為n3.3minimax估計對決策空間中的決策函數(shù)d1(X),d2(X),.，分別求出在上的最大風險值 在所有的最大風險值中選取相對最小值，此值對應的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。4假設檢驗4.1基本概念： 零假設通常受到保護，而備選假設是當零假設被拒絕后才能被接受。檢驗規(guī)則：構造一個統(tǒng)計量T(X1,X2,.,X3)，當H0服從某一分布，當H0不成立時，T的偏大偏小特征。據(jù)此，構造拒絕域W第一類錯誤（棄真錯誤）：第二類錯誤（存?zhèn)五e誤）：勢函數(shù)：當時，為犯第一類錯誤的概率當時，為犯第二類錯誤的概率4.2正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗： 一個總體的情況： 已知，檢驗：未知，檢驗：已知，檢驗：未知，檢驗：兩個總體的情況：，未知時，檢驗：未知時，檢驗：單邊檢驗：舉例說明，已知，檢驗：構造，給定顯著性水平，有。當H0成立時，因此。故拒絕域為4.3非參數(shù)假設檢驗方法： 擬合優(yōu)度檢驗: 其中Ni表示樣本中取值為i的個數(shù)，r表示分布中未知參數(shù)的個數(shù)科爾莫戈羅夫檢驗： 實際檢驗的是斯米爾諾夫檢驗： 實際檢驗的是4.4似然比檢驗明確零假設和備選假設：構造似然比：拒絕域：5方差分析5.1單因素方差分析： 數(shù)學模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 組間離差平方和當H0成立時，構造統(tǒng)計量，當H0不成立時，有偏大特征且應用：n 若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值再解題n 輔助量：5.2兩因素方差分析： 數(shù)學模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 因素B引起的離差平方和當H0成立時，因素A引起的離差平方和當H0成立時，輔助量：構造統(tǒng)計量：6回歸分析6.1一元線性回歸：回歸模型：i=1,2,.,n.的估計： 分布：的估計： 6.2多元線性回歸： 回歸模型： i=1,2,.,n.參數(shù)估計：7多元分析初步7.1定義及性質： 其中為X的均值向量，為X的協(xié)方差矩陣Y=CX+b，則若，剛7.2參數(shù)的估計與假設檢驗： 樣本均值向量 樣本離差陣最大似然估計 最小方差無偏估計