應(yīng)用高等數(shù)學(xué)公式總匯（含答案） 應(yīng)用高等數(shù)學(xué)公式總匯（含答案） 一、函數(shù)的極限： 1、數(shù)列的極限： 2、四則混合運(yùn)算 若，，C為常數(shù) （1） AB （2） AB （3）= 3、兩個(gè)重要極限： （1） （2） 變形： 4、無窮小量： 設(shè) （1）若，f（x）是g（x）的 高階 無窮小 （2）若，f（x）是g（x）的 低階 無窮小 （3）若，f（x）是g（x）的 同階 無窮小 （4）若，f（x）是g（x）的 等價(jià) 無窮小 （5）若，f（x）是g（x）的 k階 無窮小 5、等價(jià)替換： 若x→x0，f（x）~ f1（x），g（x）~ g1（x） 則 6、常用等價(jià)形式： 當(dāng)f（x）→0時(shí) （1）sinf（x）~ f（x） （2）arc sinf（x）~ f（x） （3）tanf（x）~ f（x） （4）arc tanf（x）~ f（x） （5）In（1+f（x））~ f（x） （6）ef（x）-1~ f（x） （7）1-cosf（x）~ （8）（1+f（x））α-1~ αf（x） 二、函數(shù)的連續(xù)： 1、間斷點(diǎn)： （1）第一類間斷點(diǎn)：f-（x0）、f+（x0）均 存在的 間斷點(diǎn) ⑴跳躍間斷點(diǎn)： f-（x0）≠f+（x0） ⑵可去間斷點(diǎn)： f-（x0）=f+（x0） （2）第二類間斷點(diǎn)：f-（x0）、f+（x0）至少有一個(gè) 不存在的 間斷點(diǎn) ⑴無窮間斷點(diǎn)： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個(gè)為 ∞ ⑵振蕩間斷點(diǎn)： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個(gè) 振蕩不存在 三、導(dǎo)數(shù)： 1、定義：= 2、導(dǎo)數(shù)的常見形式： （1） （2） （3） 3、切線方程： 若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））， 則 y-y0=（x-x0） 注： （1）如果=∞，則 x=x0 （2）如果=0，則 y=y0 4、法線方程： 若直線過點(diǎn)P（x0，f（x0））， 則 y-y0=（x-x0） 5、基本公式： （1） 0 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） 6、四則運(yùn)算： 都有導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） （4） 推論： （1） （2） （3） 7、反函數(shù)求導(dǎo)法則： 設(shè)y=f（x）與x=（y）（（y）≠0） 則 或= 8、n次導(dǎo)的常見公式： （1）= （2） （3）= 9、參數(shù)方程求導(dǎo)： 設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，其中x=≠0，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 10、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)： 若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[（x）]的導(dǎo)數(shù) 11、隱函數(shù)求導(dǎo)： （1）方程F（x，y）=0兩邊求導(dǎo)，解出 （2）公式法：由F（x，y）=0，則 （3）利用微分形式的不變性，方程兩邊求微分，然后解出 注：y是x的函數(shù) 12、對數(shù)求導(dǎo)： 將函數(shù)關(guān)系式兩邊取自然對數(shù)（成為隱函數(shù)形式），化簡，然后兩邊兩邊求導(dǎo)，最后兩邊乘以y（x） 注：適用于多個(gè)因式的乘、除、乘冪構(gòu)成或冪指函數(shù)（y=u（x）v（x）） 13、高階導(dǎo)數(shù)： （1）二階導(dǎo)數(shù)： （2）三階導(dǎo)數(shù)： （4）n階導(dǎo)數(shù)： 14、中值定理： （1）拉格朗日定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得 推論1：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，你們函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是一個(gè)常數(shù) 推論2：如果函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)，即：f（x）= g（x）+C，x（a，b） （2）羅爾定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得 0 （3）柯西定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得= 15、洛必達(dá)法則： （1）型： 設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）滿足： ⑴ 0 ⑵在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ，且 0 ⑶ 存在或?yàn)闊o窮 有：= （2）型： 設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）滿足： ⑴ ⑵在點(diǎn)x0=的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ，且 0 ⑶ 存在或?yàn)闊o窮 有：= （3）其他未定型： ⑴0∞型：f（x）g（x）轉(zhuǎn)化成 ，一般將In、arc留在分子上 ⑵∞-∞型：通過通分、分子有理化、倒數(shù)代換或代數(shù)、三角恒等變形化為型或型 ⑶型：f（x）g（x）= eg（x）Inf（x） = 16、函數(shù)單調(diào)性判定： 設(shè)函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo) （1）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)，，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞 增 ； （2）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)，，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞 減 ； 17、函數(shù)的極值： （1）如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義，且對于x0近旁的任何一點(diǎn)x（x≠x0）的函數(shù)值f（x）均有： ⑴f（x）<f（x0）,則f（x0）稱為函數(shù)y=f（x）的 極大值 ，點(diǎn)x0稱為函數(shù)y=f（x）的 極大值點(diǎn) ⑵f（x）>f（x0）,則f（x0）稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值 ，點(diǎn)x0稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值點(diǎn) （2）駐點(diǎn)： 0 的點(diǎn) （3）極值第一充分條件： 設(shè)點(diǎn)x0是f（x）可能的極值點(diǎn)（或不存在） ⑴當(dāng)；,則x0為極大值點(diǎn) ⑵當(dāng)；,則x0為極小值點(diǎn) ⑶當(dāng)， 同號(hào) ，則x0不是極值點(diǎn) （4）極值的第二充分條件： 設(shè)y=f（x）在點(diǎn)x0處有一、二階導(dǎo)數(shù)，且= 0 ⑴如果 > 0，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處取得最小值f（x0） ⑵如果 < 0，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處取得最大值f（x0） 18、曲線凹凸性： （1）若對于x（a，b）時(shí)，，則曲線在（a，b）上為 凹 ，用符號(hào)“ ” 表示 （2）若對于x（a，b）時(shí)，，則曲線在（a，b）上為 凸 ，用符號(hào)“ ” 表示 6、曲線拐點(diǎn)： 設(shè)f（x）在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且 0 ，若x0兩側(cè) 改變 符號(hào)，則 （x0，f（x0）） 為曲線的拐點(diǎn) 19、曲線的漸近線： （1）水平漸近線：如果函數(shù)y=f（x）的定義域是無窮區(qū)間，且，則y= b （2）垂直漸近線：如果函數(shù)y=f（x）在x=x0處間斷，且，則x= x0 （3）斜漸近線：如果函數(shù)y=f（x）定義在無窮區(qū)間，且，，則y= ax+b 20、經(jīng)濟(jì)學(xué)與導(dǎo)數(shù)： （1）利潤：L（Q）= R（Q）-C(Q) （2）邊際利潤： （3）函數(shù)彈性： （4）需求彈性（供給函數(shù)）： 注： ⑴當(dāng)|η| < 1時(shí)，為低彈性，此時(shí)需求變動(dòng)幅度 小于 價(jià)格變動(dòng)幅度。且 > 0，收益R（p）單調(diào) 遞增 ，即價(jià)格隨總收益的增加而增加 ⑵當(dāng)|η| > 1時(shí)，為高彈性，此時(shí)需求變動(dòng)幅度 大于 價(jià)格變動(dòng)幅度。且 < 0，收益R（p）單調(diào) 遞減 ，即價(jià)格隨總收益的增加而減少 ①當(dāng)|η| = 1時(shí)，為單位彈性，此時(shí)需求變動(dòng)幅度 等于 價(jià)格變動(dòng)幅度。且 = 0，收益R（p）取得 最大值 四、微分： 1、定義：dy= 2、基本公式： （1）d（c）= 0 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） 3、四則混合 都有微分 （1） （2） （3） （4） 5、應(yīng)用： （1）計(jì)算函數(shù)改變量的近似值：△y≈dy= （2）計(jì)算函數(shù)值的近似值：f（x0+△x）≈ f（x0）+ （3）當(dāng)x0=0時(shí)，|x|很小時(shí)，有f（x）≈ f（0）+ 注：|△x|相對于x0很?。ㄔ叫≡胶茫? 推論： ⑴ ⑵ex≈ 1+x ⑶In（1+x）≈ x ⑷sinx≈ x （x用弧度制表示） ⑸tanx≈ x （x用弧度制表示） 五、不定積分： 1、定義： 2、基本公式： （1） （2） （k為常數(shù)） （3） （4） （5） （a>0且a≠1） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （a>0） （20） （a≠0） （21） （a≠0） （22） （a>0） 3、性質(zhì)： （1） （2） （3） （4） （5） （k≠0） （6） 4、換元積分法： （1）第一類換元積分法（湊微分法）：= F[（x）]+C （2）常見形式： ⑴ （a≠0） ⑵ （a≠0） ⑶ （a≠0） ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ （3）第二類換元積分法： （4）無理代換（根式代換）： ⑴當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，令x= tn （t>0） ⑵當(dāng)被積函數(shù)中含和時(shí)，令x=tp（t>0），p是m和n的 最小公倍數(shù) ⑶當(dāng)被積函數(shù)中含（a、b為常數(shù)且a≠0）時(shí)，令ax+b= tn （t>0） （5）三角代換： ⑴若被不定積分f（x）含時(shí)，令x= |a|sint ⑵若被不定積分f（x）含時(shí)，令x= |a|sect ⑶若被不定積分f（x）含時(shí)，令x= |a|tant 注：并且需要回代 ⑴ ⑵ ⑶ （6）分部積分法： 或 六、基本積分表： 1、含有a+bx的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、含有的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 3、含有的積分： （1） （2） （3） （|x|<a） （4） （|x|>a） 4、含有abx2的積分： （1） （2） （a>0，b>0） （3） （4） （5） （6） （7） 5、含有的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 6、含有的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） 7、含有的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 8、含有的積分： （1） （2） 9、含有的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 10、含有的積分： （1） （2） （3） （4） 11、含有三角函數(shù)的積分：一部分見上 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） = （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） 12、含有反三角函數(shù)的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 13、含有指數(shù)函數(shù)的積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 14、含有對數(shù)函數(shù)的積分： （1） （2） （3） （4） 七、定積分： 1、定義： 2、上下限交換： 3、上下限相等（即a=b）：= 0 4、性質(zhì)： 設(shè)f（x）、g（x）在[a，b]上可積， （1） k （k為常數(shù)） 注： ① b-a ② k（b-a） （2） （3）積分區(qū)間的可加性： + （4）傳遞性： （在[a，b]上f（x）≤g（x）） 注： ①當(dāng)f（x）≥0時(shí)，則≥ 0 ②當(dāng)|f（x）|可積時(shí)，≤ （5）估值性：n（b-a） ≤≤ m（b-a） （m和n分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值） （6）中值性：= f（ξ）（b-a） （a≤ξ≤b） （7）均值性：= 5、計(jì)算方法： 1、微積分基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：= = F（b）-F（a） （F（x）是f（x）的原函數(shù)） 2、換元積分法：= （，） 3、分部積分法： = - 或= - 4、函數(shù)的奇偶性簡化： （1）奇：= 0 （2）偶：= 2 6、應(yīng)用： （1）面積： ⑴上下曲，左右直： （a<x<b） ⑵上下直，左右曲： （c<y<d） （2）旋轉(zhuǎn)體的體積： ⑴繞x軸的旋轉(zhuǎn)體： （a<x<b） ⑵繞y軸的旋轉(zhuǎn)體： （c<y<d） （3）平面曲線的弧長： 曲線y=f（x）從x=a到x=b的曲線弧長L： （a<x<b） 24