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______________________________________________________________________________________________________________ 與三角形有關(guān)的角教案 李天明 從容說課 三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用．又因為三角形是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形．在幾何里，常常把多邊形分割成若干個三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究他們．因此對三角形性質(zhì)的研究就顯得十分重要． 在小學已學習過三角形的內(nèi)角的有關(guān)知識，知道三角形的內(nèi)角和為180°，但是為什么是180°而不去研究．在這里要求學生掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明．在證明過程中通過一題多解、一題多變，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展；由內(nèi)角中的等量關(guān)系和外角中的不等關(guān)系，讓學生體會相等與不等關(guān)系的簡單證明．引導學生從內(nèi)和外，相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考． 在教學中，首先讓學生動手操作，把三角形的三個內(nèi)角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結(jié)出結(jié)論．再尋求多渠道、不同途徑的解決問題的方法，使學生經(jīng)歷實驗──思考──交流──總結(jié)──運用的過程．讓他們不僅掌握知識點，還要知道為什么、做什么用，使學到的數(shù)學知識與實際生活聯(lián)系起來．避免了數(shù)學的枯燥無味和脫離實際的現(xiàn)象，使數(shù)學真正運用到實際中去． 教學課時 三維目標 一、知識與技能 1．掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單運用． 2．掌握三角形的外角的定義，三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明； 3．體會幾何中不等關(guān)系的簡單證明． 二、過程與方法 1．通過探索“三角形內(nèi)角和定理”及其推論，培養(yǎng)學生的探索能力和實踐操作能力； 2．在學習了三角形的內(nèi)角和外角后，能運用所學知識解決簡單的問題，訓練學生對所學知識的運用能力． 三、情感態(tài)度與價值觀 1．通過讓學生積極參與數(shù)學學習活動，培養(yǎng)學生對數(shù)學的好奇心與求知欲； 2．由具體實例的引導，讓學生初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗數(shù)學活動充滿著探索與研究． 教學重點三角形內(nèi)角和定理及推論． 教學難點三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和運用． 教具準備投影片三張： 第一張（記作7．2A）；第二張（7．2B）；第三張（7．2C）． 教學過程 一、創(chuàng)設(shè)問題情境，導入新課 在小學我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180°，但究竟為什么是180°，我們沒有去研究，本節(jié)課我們來回答這個問題． 二、動手試一試，你會有收獲 活動1 問題： 在紙上畫一個三角形，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個內(nèi)角的和是否為180°？ 設(shè)計意圖： 旨在讓學生親身實驗一下，對所研究的問題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲．通過親身經(jīng)歷，體會從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學問題． 師生活動： 讓學生人人畫一個三角形，并把三個角裁下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論． 生：三個角拼在一起，會得到一個180°的角． 師：為什么是180°呢？ 生：因為三個角合起來形成一個平角，而平角等于180°，所以三個角的和為180°． 師：大家得出的結(jié)論相同嗎？你們畫的三角形都一樣嗎？如果不一樣，你能得出什么結(jié)論呢？ 生：我們互相交流一下，結(jié)論都是一樣的，但所畫的三角形并不完全一樣，所以說明三角形三個內(nèi)角的和與形狀沒有關(guān)系，只要是三角形，其內(nèi)角和就一定為180°． 師：大家回答得非常棒．但這只是實驗，由觀察與實驗得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學證明來驗證，那么怎樣證明呢？請同學們看投影片． （出示投影片7．2A） 在圖7．2-1（1）中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右兩側(cè)，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)一條過點A的直線L，移動后的∠B和∠C各有一條邊在L上．想一想，L與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個圖你能想出說明三角形內(nèi)角和等于180°這個結(jié)論正確的方法嗎？ 請大家思考后再互相交流． 生：因為移動后的∠C與未移動時的∠C相等，而他們又是內(nèi)錯角，由平行線的裁定可知，直線L與邊BC平行，所以可以過△ABC的頂點A作直線L平行于△ABC的邊BC，由平行線的性質(zhì)與平角的定義可知∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家能寫出證明過程嗎？ 這是一個文字命題，證明時應(yīng)先干什么呢？ 生：需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證． 師：下面請一位同學完整地寫出過程． 生：如圖7．2-2，已知△ABC,求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：過A作直線DE∥BC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 師：再觀察圖7．2-2（2）．輔助線的作法與圖7．2-1（1）一樣嗎？證明方法相同嗎？ 生：輔助線的作法不同．移動前的∠A和移動后的∠A相等，且是內(nèi)錯角的位置關(guān)系，可知直線L與邊AB平行，同時移動前和移動后的∠B是同位角也應(yīng)相等，所以三個角拼在一起構(gòu)成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°． 師：能寫出證明過程嗎？ 生：已知、求證和上面相同． 證明：如圖7．2-3延長BC到D，過C作CE∥AB． ∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD． ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°， ∴∠A+∠ACB+∠B=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 師：利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補怎樣？課下討論．從上面的兩種證明方法中，大家能否找到它們的異同點？它們的思路是否一致呢？ 生：相同點是：都是把三角形的三個內(nèi)角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內(nèi)角和是180°；不同的是：輔助線的作法不同，前者是過A點作邊BC的平行線，后者是過C點作邊AB的平行線．但不管是過三角形的哪一個頂點，作另一邊的平行線，它們的思路基本一致，就是通過平行線，利用平行線的性質(zhì)，通過同位角或內(nèi)錯角相等，把三個角都拼到一起，構(gòu)成一個平角，從而得證． 師：很好．大家的證明過程寫的非常好，分析的非常棒，找到了解決問題的思路．根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？ 生：還可以這樣作輔助線，如圖7．2-4作CA的延長線AD，過點A作∠DAE=∠C，則AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因為∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個角轉(zhuǎn)移到三角形的一個頂點處．只要把它們拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉(zhuǎn)移到其他地方呢？請大家討論． 生：如圖7．2-5，在BC上任取一點D，過點D作DE∥AB交AC于E，再過點D作DF∥AC交AB于F． ∵DE∥AB， ∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵DF∥AC， ∴∠3=∠C，∠4=∠A． ∴∠2=∠A． ∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家討論的非常棒．可見大家已掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明，并能根據(jù)思路拓展，由于時間關(guān)系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關(guān)問題，比如點在△ABC的內(nèi)部？外部呢？ 活動2 出示投影片7．2B． 例：如圖7．2-6，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？ 師生活動： 師：請大家先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出． 生：C島在A島的北偏東50°方向，指∠DAC=50°；B島在A島的北偏東80°方向，指∠DAB=80°；C島在A島的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度數(shù)． 師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出∠ACB的度數(shù)． 生：要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度數(shù)．而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°． 生：他做的不對，∠CBA不等于50°．因為∠EBA不是90°而是因為AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°． ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°． 師：哪一位同學能把過程完整地寫一下呢？ 生：解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE， ∴∠BAD+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． 在△ABC中． ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：從C島看A、B兩島的視角∠ACB=90°． 師：大家看，過C點作AD的平行線CF，則AD∥CF∥BE，……往后課下完成． 嘗試反饋鞏固練習 （出示投影片7．2C） 1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°． 求∠B，∠C． 2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2． 求∠A，∠B，∠C． 3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A． 求∠A，∠B，∠C． 4．如圖7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB邊上的高． 求∠DBC的度數(shù)． 設(shè)計意圖： 利用三角形內(nèi)角和定理求某些角的度數(shù)． 師生活動： 生：1．解：∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=140°． ∵∠B-∠C=30°， ∴∠B=∠C+30°， ∴∠C+30°+∠C=140°． ∴∠C=55°，∠B=85°． 2．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：2， ∴設(shè)∠A=x°，∠B=∠C=2x°． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴5x°=180°， ∴x=36°． ∴∠A=36°，∠B=∠C=72°． 3．解：∵∠A+∠B=80°， ∴∠C=180°-80°=100°． ∵∠C=2∠A，∴∠A=∠C=50°， ∴∠B=180°-∠A-∠B=30°． 4．解：∵∠C=∠ABC=2∠A． ∴∠A=36°，∠C=72°． ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°． ∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°． 活動3 問題： 探究三角形外角的定義，外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系． 設(shè)計意圖： 旨在掌握三角形外角的定義的基礎(chǔ)上，利用三角形內(nèi)角和定理，推導出外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系． 師生活動： 師：前面我們學習了三角形的內(nèi)角，也稱為三角形的角，還掌握了內(nèi)角和定理，下面我們來探究一下三角形的外角． 生：顧名思義，三角形的內(nèi)角是三角形內(nèi)部的角，那么三角形的外角就是三角形外部的角．如圖7．2-8，∠BAC、∠B、∠C是三角形的內(nèi)角，∠BAE、∠CAD、∠EAD是三角形外部的角，稱為三角形的外角． 師：這位同學的分析似乎有道理，大家認為怎么樣？小組討論后交流． 生：不正確，不能這樣想當然．外角不是外部的角，而是三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，如∠DAC、∠EAB、∠DAE雖然在三角形的外部，但它的兩邊都是三角形的延長線，不符合外角的定義，所以它不是外角． 師：這位同學說出了外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線，那么在上面的圖7．2-8中，滿足條件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？請大家思考后作答． 生：不是．在三角形每個頂點處都有兩個外角，所以一個三角形有6個外角，而且同一頂點處的兩個外角是對頂角，應(yīng)該相等． 師：大家的分析很詳細．那么這些外角與內(nèi)角之間有沒有關(guān)系，如果有，存在什么關(guān)系呢？將是下面我們要解決的問題． 如圖7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一個外角．能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？你能進一步說明任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？ 生：∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACB+∠ACD=180°． ∴∠ACD=∠A+∠B=130°． 所以三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和． 師：根據(jù)剛才這位同學的邏輯，那么∠ACD=∠A+∠ACB，∠ACD=∠B+∠ACB成立嗎？ 生：不成立． 再如圖7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．則∠ACB=110°．因為∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立嗎？ 生：不成立． 師：為什么呢？那剛才的結(jié)論成立嗎？ 生：不成立．在上圖中有結(jié)論∠ACD=∠A+∠B，本題中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B與∠ACD不相鄰，所以上面的結(jié)論應(yīng)改為：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和． 師：那么外角與其中一個不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系呢？ 生：因為兩個角的和等于外角，所以外角應(yīng)大于其中任何一個內(nèi)角． 師：由此可知三角形內(nèi)角和定理的推論． 1．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和． 2．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角． 嘗試反饋鞏固練習 1．已知：如圖7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角． 求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°． 設(shè)計意圖： 鞏固三角形內(nèi)角和及其推論． 師生活動： 生：證明：∵∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°． 2．已知：如圖7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連結(jié)DE．求證：∠1>∠2． 設(shè)計意圖： 體會幾何中不等關(guān)系的簡單證明． 師生活動： 證明：∵∠1是△ABC的外角， ∴∠1>∠3． ∵∠3是△DCE的外角， ∴∠3>∠2， ∴∠1>∠2． 三、課時小結(jié) 本節(jié)課共同探索了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個內(nèi)角拼在一起，拼成一個平角；熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角和定理；理解三角形外角的性質(zhì)，并能解簡單問題． 板書設(shè)計 7．2與三角形有關(guān)的角 活動一（探究三角形內(nèi)角和） 活動二（例題講解） 活動三（探究三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角間的關(guān)系） 活動與探究 在前面討論三角形內(nèi)角和定理的證明時，證明的思路是把三角形的三個角拼到一起，構(gòu)成一個平角，根據(jù)平角的定義得證．可以把三個角“湊”到一個頂點處，也可以把三角形“湊”到一邊上，那么能否把三個角“湊”到三角形的內(nèi)部和外部呢？ 如下圖： 過P點分別作三邊的平行線ST、MN、QR． 在左上圖中，∠A=∠QST=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR， ∠C=∠NRP=∠SPQ， ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°． 在右上圖中，∠A+∠ATS=∠SPN，∠B=∠1=∠NPR，∠C=∠2=∠SPQ． ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°． 以上幾種證法，都是在把三角形的三個內(nèi)角剪下拼在一起，構(gòu)成一個平角的實驗基礎(chǔ)上產(chǎn)生的．特別是添加了輔助線，構(gòu)造出了新圖形，形成了新的關(guān)系，把未知數(shù)化成已知．下面這一種證法十分有趣，不直接從內(nèi)角的角度考慮問題，而是從外角入手，應(yīng)用了運動的觀點來解決問題． 一個人沿著一個三角形廣場繞圈跑步，設(shè)他站在AB邊上任意一點P處，面向B點前進，到達B點向左移動一個角度∠1，面向C點前面，到達C點后向左再轉(zhuǎn)動一個角度∠2，再面向A點前進，到達A點后再向左轉(zhuǎn)動一個角度∠3，最后又回到P點，仍面向B點站立，則他在這個過程中共轉(zhuǎn)了一周，即∠1+∠2+∠3=360°． 證明：∵∠1=180°-∠ABC， ∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°． ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學習課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-