第2，3，11章 習(xí)題解答習(xí)題2-11. 若自然數(shù)不是完全平方數(shù).證明是無理數(shù). 證明 反證法. 假若且互質(zhì)，于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設(shè)矛盾.2. 設(shè)是兩個不同實數(shù).證明在和之間一定存在有理數(shù). 證明 不妨設(shè)<. 因為>0, 所以存在正整數(shù),使得<<,即<<, 且可知存在整數(shù)<, 從而有<.綜上可得 <<,由此導(dǎo)出<<,即<<，其中是有理數(shù).3. 設(shè)為無理數(shù).證明存在無窮多個有理數(shù)(,為整數(shù)，)使得.證明 反證法. 假若只有有限個有理數(shù)滿足不等式,即 < , 令取 , 且選取整數(shù), 使得 但因是正整數(shù)，故又有, 從而可知 , 這與假設(shè)矛盾.習(xí)題2-21求下列數(shù)集的上、下確界.（1） （2）（3） （4）.答案： (1) 上確界1,下確界0; (2) 上確界,下確界2; (3) 上確界1,下確界-1； (4) 上確界1,下確界0.2設(shè)，驗證. 證 由得是的一個下界.另一方面，設(shè)也是的下界，由有理數(shù)集在實數(shù)系中的稠密性，在區(qū)間中必有有理數(shù)，則且不是的下界.按下確界定義， .3用定義證明上（下）確界的唯一性.證明 設(shè)為數(shù)集的上確界，即.按定義，有.若也是的上確界且.不妨設(shè)，則對有即 矛盾.下確界的唯一性類似可證.4試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，且上下確界中至少有一個屬于該數(shù)列.趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界. 證法1 設(shè)為收斂數(shù)列，則非空有界，由確界存在原理，存在.若，則為常數(shù)數(shù)列，于是，；若且，則存在兩個子列使，這與收斂相矛盾.由此可得，與至少有一個屬于.證法2 設(shè)，若為常數(shù)列，則結(jié)論顯然成立；若不是常數(shù)列，不妨設(shè)，對，當(dāng)時，而在鄰域外，只有的有限多項.在這有限項中必存在的最大項或最小項，于是，的上下確界中至少有一個屬于.若 則有下界，所以必有下確界；若，則有上界，所以必有上確界.5證明：單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限. 證 設(shè)數(shù)列單調(diào)減少且有下界，根據(jù)確界存在原理有下確界，記.由定義，(1) ； (2) 使.因為單調(diào)減少，所以當(dāng)時，有.于是有 ，故得 .習(xí)題2-31用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界. 證 設(shè)是的一個下界，不是的下界，則. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則取. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則??；， 按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，且滿足：是的下界，不是的下界. 由區(qū)間套定理 ，且. 下證： 都有，而，即是的下界.由于，從而當(dāng)充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界.2. 設(shè)在上無界. 證明必存在,使得在的任意鄰域內(nèi)無界. 證明 由條件知，在上或上無界，記使在其上無界的區(qū)間為；再二等分，記使在其上無界的區(qū)間為，繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，滿足在上無界.根據(jù)區(qū)間套定理，且. 因為對任意的，存在，當(dāng)時，有，從而可知在上無界. 3. 設(shè),在上滿足,若在上連續(xù), 在上單調(diào)遞增.證明存在,使. 證明 記且二等分.若，則記若則記.類似地,對已取得的二等分,若，則記；若，則記按此方式繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，其中 根據(jù)區(qū)間套定理可知，且有 .因為在上連續(xù)，所以 注意到 可得 ，再由 可知 ， .習(xí)題2-41. 證明下列數(shù)列發(fā)散(1) , (2) , 證 (1) 因為， 所以發(fā)散.(2) 因為 所以發(fā)散.2證明:單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列.證明 必要性顯然成立. 充分性. 不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且存在，有，現(xiàn)證.因為，所以當(dāng)時有.注意到單調(diào)增加且，取，則當(dāng)時，有 于是有 .3. 設(shè)極限存在,證明. 證明 (1) 假若 或 ，顯然題設(shè)極限不存在，矛盾. (2) 假若，設(shè) 令，則有從而得 ，由可知. 又由可知.再由可知. 此結(jié)果與等式矛盾.4. 設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有,且.證明.證明 因為，根據(jù)海涅歸結(jié)原理，且，都有.又因為 ， 所以 .根據(jù)數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則 ， 從而.5. 設(shè)在的一個鄰域內(nèi)有定義.若對任意滿足下列條件的數(shù)列,都有.證明. 證明 反證法. 假若，則使得取使得取，使得取，使得，.，數(shù)列滿足，且，但與矛盾，所以.6. 證明的充要條件是:對每個嚴(yán)格單調(diào)遞增的正無窮大都有.習(xí)題2-51. 設(shè)是有界數(shù)列.若滿足.證明存在和子列、使.證明 因為數(shù)列有界，由致密性定理，存在和子列，使得 .又因為 ，所以 ，從而有 .2設(shè)有界數(shù)列發(fā)散.證明:存在兩個子列和收斂于不同的極限. 證明 因為有界，由致密性定理，必有收斂的子列，設(shè). 又因為不收斂，所以存在，在以外，有的無窮多項，記這無窮多項所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列，設(shè) ，顯然 .3用致密性定理證明：若在上無界，則存在，使在 的何鄰域內(nèi)無界. 證明 由于在上無界，故 ，使.特別取 ，使， ，使 .于是，得點(diǎn)列.因為 ，由致密性定理， 中必有收斂子列，使得. 由于 ，根據(jù)子列的性質(zhì)，此即在 的任何鄰域內(nèi)無界.4. 設(shè)定義在上的函數(shù)對任意,均存在極限.證明在上有界. 證明 證法1反證法. 假定在上無界，則，使得，. 因為是有界數(shù)列，故存在子列，使得，. 由此可知，極限不存在，與題設(shè)矛盾.證法2 由函數(shù)極限的局部有界性，與，使得. 是的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理，存在的有限開覆蓋. 取，則，必屬于中某一個，于是.5. 設(shè)函數(shù)在上只有第一類間斷點(diǎn).證明在上有界.證明 反證法. 假若在上無界，不妨設(shè)無上界，于是使.因為有界，所以存在收斂子列.若是的連續(xù)點(diǎn)，則有矛盾.若是的第一類間斷點(diǎn)，則有或，亦矛盾.習(xí)題2-61設(shè)在內(nèi)有定義，. 若對任意的，存在及，使得，有，證明:存在，對一切，有.證明 作開區(qū)間集，覆蓋. 根據(jù)有限覆蓋定理，存在的有限子覆蓋，記為 當(dāng)時，有.令，用插項法可得 ， .2. 設(shè)在上連續(xù)且恒正,試用有限覆蓋定理證明: 在上存在正的下界.3. 用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理.證明 設(shè)為區(qū)間套，要證存在，使.用反證法.假若都不是的公共點(diǎn)，于是，使得，因而. 作開區(qū)間集，它覆蓋了.由有限覆蓋定理，存在有限開覆蓋覆蓋.現(xiàn)取，而，這與 相矛盾. 由此可知存在，使.習(xí)題2-71. 用柯西收斂準(zhǔn)則判定下列數(shù)列的收斂性(1) (2) (3) .解 (1) 收斂. 因為 (2) 收斂. 因為 (3) 收斂. 設(shè) ，則 2. 滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列?(1) 對任意自然數(shù),都有(2) ,(3) .解 (1) 對任意自然數(shù),都有，即當(dāng)時，有 故是柯西列.(2) 因為 ，所以 .再由(3)，取即可得證. (3) 記 ，顯然，是遞增有界數(shù)列，因而是收斂數(shù)列，也是柯西列. 再根據(jù)不等式 ，可知 是柯西列.3證明存在的充要條件是：對任意給定的，存在，當(dāng) 時，恒有.證明 必要性.設(shè)，則，當(dāng)時，恒有 .于是，當(dāng)時，有 .充分性.已知，當(dāng) 時，有 .于是，對上述，當(dāng)時，有，從而有 .根據(jù)數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則可知 收斂，再由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系得到 存在.習(xí)題3-11. 設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且和存在(有限).問在上是否有界?是否能取得最值? 解 在閉區(qū)間上構(gòu)造輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，從而在上有界. 由于，故在上也有界，即存在，使得 . 令 ，則有 .條件同上，但在上卻不一定能取得極值. 例如：2. 試用確界存在原理或有限覆蓋定理證明有界性定理. 證明 （1）用確界存在原理證. 設(shè)在上有界.，則非空且有上界，由確界存在原理，存在. 下面要證 并且，以使，即在上有界.反證法。若，由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，在內(nèi)有界，即存在，使，這與相矛盾，所以. 再證在上有界. 因為在點(diǎn)連續(xù)，所以存在，使在上有界；再由可知在上有界，于是在上有界.（2）用有限覆蓋定理證. 已知在上連續(xù)，則在上每一點(diǎn)的極限存在，因此存在點(diǎn)的鄰域，使在該鄰域內(nèi)有界，這里的正數(shù)及與點(diǎn)有關(guān).由于上的每一點(diǎn)都得到這樣一個鄰域（即開區(qū)間），這些開區(qū)間的全體構(gòu)成一個開區(qū)間集，它覆蓋了. 根據(jù)有限覆蓋定理，在開區(qū)間集中必有有限個開區(qū)間覆蓋，記這有限個開區(qū)間為 ，相應(yīng)的分別記為. 令，則有 .注：對于區(qū)間端點(diǎn)和，可以用延拓的方法將及換為開區(qū)間及， 并考慮函數(shù) 3. 設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù),若.證明. 證明 反證法. 假定結(jié)論不成立，則有，使得 .因為連續(xù)，所以在上有界，從而，使得時，有由此可知，使 ，這與矛盾.4. 設(shè)在內(nèi)連續(xù),且.證明在內(nèi)可取得最小值. 證明 因為，故有，且，當(dāng)時，有 . 由于在-X，X上連續(xù)，故可取得最小值，從而在內(nèi)可取得最小值.5. 設(shè)在上連續(xù),若開區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)均非的極值點(diǎn).證明在上單調(diào). 證明 容易知道，的最大、最小值點(diǎn)不在內(nèi)，因此不妨假定是最小值，是最大值，此時是遞增的.事實上，若存在，使得，則是上的最大值，是最小值. 而在上，則是最大值，是最小值. 由此得出是的極大值點(diǎn)，矛盾.6. 設(shè)在上連續(xù),且對任意總存在使.證明在上存在零點(diǎn). 證明 由于在上連續(xù)，故在上也連續(xù)，設(shè)為其最小值.又依題設(shè)，存在，使得 ，這只有.7. 用有界性定理證明最值存在定理.證明 因為在上連續(xù)，所以有界，從而存在上、下確界、.現(xiàn)證使（對類似可證）.假若不存在這樣的，則對有.令，易知在上連續(xù)，從而有界.不妨設(shè)但因是的上確界，故存在使矛盾.習(xí)題3-21 . 設(shè),.證明:方程在和內(nèi)恰好各有一個實根.證明 令 ，則在和內(nèi)連續(xù)，是的無窮型間斷點(diǎn). 由，則有 ， .從而必存在，使. 對在上應(yīng)用零點(diǎn)定理，則在內(nèi)至少存在一個根.又由于，故在內(nèi)單調(diào)減，所以恰有一個實根. 類似證明在內(nèi)也恰有一個實根.2. 閉區(qū)間上具有介值性的函數(shù)是否一定在上連續(xù)? 解 如果一個函數(shù)可以取到它的任何兩個函數(shù)值之間的一切值，則稱此函數(shù)具有介值性質(zhì).閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有介值性，但反之不真. 例如 具有介值性，但在不連續(xù). 又例如 雖然取介于之間的所有數(shù)作為其函數(shù)值，但是在上并不連續(xù).3. 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間（）上連續(xù)，且和存在，證明：可取到介于和之間的一切值.證明 作輔助函數(shù)在上連續(xù)，當(dāng)時，.4. 設(shè)在上連續(xù), ,.證明存在使. 證法1 因為在上連續(xù)，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使. 證法2 因為有界，所以存在收斂子列.而在上連續(xù)，故有.5. 設(shè)在上連續(xù), .證明：存在,使得. 證明 設(shè) ，則 ， .因為，所以，故存在，使得，即. 令 ，則 .6. 設(shè)在上連續(xù), 是任一自然數(shù). (1) 若.證明存在,使；(2) 若.證明存在使. 證明 (1) 作，則有 由此，相加得 若有，使得 ，則取，即得所證.若對一切均有，則必存在，使，從而可知在與之間存在，使得 因此，取 即可得證.(2) 作 ，證法同(1).習(xí)題3-31. 判斷下列函數(shù)的一致連續(xù)性. (1) ,; (2) ,;(3) ,; (4) ,.解 (1) 因為所以 只要取，則，當(dāng)時，就有 故在上是一致連續(xù)的. (2)(3) 取. 任給，取， 當(dāng)充分大時，有，但是 故在區(qū)間非一致連續(xù).(4)2. 設(shè),在有限開區(qū)間內(nèi)均一致連續(xù).證明也在內(nèi)一致連續(xù).若換為無限區(qū)間,結(jié)論還成立嗎? 證明 易知,在有界，設(shè)，則有 由此可知，在內(nèi)一致連續(xù).若換為無限區(qū)間,結(jié)論不一定成立. 例如在一致連續(xù)，而在不一致連續(xù). 又如.3. 設(shè)在有限開區(qū)間內(nèi)連續(xù). 證明在內(nèi)一致連續(xù)的充要條件是:極限和均存在. 證明 必要性. 由在內(nèi)一致連續(xù)可知，當(dāng)時，. 于是，對中滿足 的任意兩點(diǎn)，可知 ，從而有 .根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限存在. 類似證明 存在.充分性. 作函數(shù) 顯然，在上連續(xù)，由康托定理在上一致連續(xù)，當(dāng)然在內(nèi)也一致連續(xù).又因為，所以在內(nèi)一致連續(xù).4. 設(shè)在有限開區(qū)間內(nèi)一致連續(xù).證明在內(nèi)有界. 證明 由3題直接可得.5. 設(shè)在有限區(qū)間上有定義,證明在上一致連續(xù)的充要條件是把柯西列映射成柯西列,即對任何柯西列,也是柯西列. 證明 必要性. 設(shè)在上一致連續(xù)，則，使得 .設(shè) 滿足，于是對上述，從而有 .充分性 反證法.假若在上不一致連續(xù)，于是，但.由致密性定理，；因為，故. 數(shù)列收斂于，因而是柯西列.但由，可知不是柯西列，與假設(shè)矛盾.習(xí)題11-11. 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域. (1) ； (2) . 解 (1) 設(shè) ，當(dāng) 時，因為 ，所以級數(shù)絕對收斂； 又因為，令 ，得，所以，當(dāng)即時，級數(shù)也絕對收斂. 當(dāng) 時，有，故級數(shù)發(fā)散.綜合以上結(jié)果，該級數(shù)的收斂域為.(2) 當(dāng)時，有，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，有，故時級數(shù)發(fā)散.所以，級數(shù)的收斂域為.2. 討論函數(shù)項級數(shù)的斂散域. 解 如果，由于，所以，當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，由可知級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由可知級數(shù)也發(fā)散；當(dāng)時，由Abel判別法可知級數(shù)收斂. 如果，從可知， 當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂（Cauchy判別法）；當(dāng)時，由知級數(shù)發(fā)散.習(xí)題11-21. 證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂. 證明 因為而且 ， 故結(jié)論成立.2. 設(shè)在區(qū)間上一致收斂于,且對任意有.試問是否存在,使當(dāng)時,對任意有?解 否. 例如：在內(nèi)一致收斂于，且.但是對任何正整數(shù)，存在和， 使3. 設(shè)在上收斂于,且在上連續(xù). (1)若在上單調(diào)遞增. 證明在上一致收斂于; (2) 證明在上一致收斂于的充要條件是:對中任一收斂點(diǎn)列有.證明 (1) 由的連續(xù)性可知，對任給的，存在分割使得 又存在，使當(dāng)時，有 從而可知，對任意的，有.注意到是遞增的，故有.從而得到 .(2) 證明 必要性. 由一致收斂性可知，當(dāng)時，有 又由的連續(xù)性知，存在，當(dāng)時，有 從而得到 .充分性. 反證法.假定不一致收斂于，則以及，使得 （）且不妨假定，由的連續(xù)性及題設(shè)可知，當(dāng)時，有， .從而得到 ，這與（）式矛盾.習(xí)題11-31. 在定理11.3.1 (定理11.3.1)和定理11.3.3(定理11.3.3)中,若將區(qū)間改為開區(qū)間或無限區(qū)間,結(jié)論是否仍然成立?2. 在定理11.3.3 (定理11.3.3)的條件下,能否推出一致收斂?3. 在定理11.3.3 (定理11.3.3) 中將條件(2)減弱為: 在中某一點(diǎn)處收斂.其結(jié)論不變,試給出證明.4. 利用定理11.3.1證明下列函數(shù)項級數(shù)不一致收斂. (1) , (2) ,. 證明 (1) ，在上不連續(xù)，所以級數(shù)不一致收斂.(2) ， 在不連續(xù)，所以級數(shù)不一致收斂.5. 設(shè)(例11.2.3),試問在上是否一致收斂?是否有,? 證明 （1）. 取則不趨于，故在上不一致收斂 （2） 由于在處，所以，在處不成立.6. 證明在上是連續(xù)的. 證明 因為，使得，所以只需證明該級數(shù)在上是一致收斂的. 由于 又注意到 ，當(dāng)時有 .根據(jù)M判別法可知，該級數(shù)在上一致收斂，這說明在點(diǎn)處連續(xù)，由的任意性可知在上連續(xù).7. 證明( 為歐拉常數(shù)). 證明 由于，故在上一致收斂.從而有 （C為歐拉常數(shù)）8. 證明在上連續(xù)可導(dǎo). 證明 首先，由 ，可知該級數(shù)在上一致收斂，從而在上連續(xù). 又因為，而在上一致收斂. 根據(jù)逐項求導(dǎo)定理可知 ，由于每一項連續(xù)，所以在上連續(xù). 習(xí)題11-41. 討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性.（1） ， ；（2） ， ；（3） ， （i）， （ii）；（4） ， （i）， （ii）.解 （1） . ， 故一致收斂. （2），令 ，得 . 當(dāng)且僅當(dāng)時.所以，當(dāng)時，在上一致收斂.（3） . （i）當(dāng)時， 故在一致收斂.（ii）當(dāng) 時，對于，無論取多大，當(dāng)時，總有.故在不一致收斂. （4），.（i）當(dāng)時，對于，無論取多大，當(dāng)時，總有，故在不一致收斂.（ii）當(dāng)時，故在一致收斂.2. 討論下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.（1） ， ;（2） ， ;（3） ， ;（4） ， ;（5） ， ;（6） ， .解（1）（2）因為，而收斂，由M判別法可知所論級數(shù)一致收斂.（3）（4）因為 ，而收斂，由M判別法所論可知級數(shù)一致收斂.（5）設(shè)，.因為 ， 當(dāng)時一致收斂，當(dāng)固定時關(guān)于是單調(diào)的，且，.根據(jù)判別法，所論級數(shù)一致收斂.（6）設(shè).由于，故 ， ，即級數(shù)的部分和序列有界.又，單調(diào)且，根據(jù)判別法，所論級數(shù)一致收斂.3. 設(shè)，. 證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性. 證明 因為，所以對每個在上單調(diào)增加，從而有 .又知當(dāng) 時，有，所以.由M判別法可知 在上一致收斂. 由于 在上連續(xù)， 故和函數(shù)在上連續(xù)、可積.可微性討論如下：由連續(xù)，且可知，在上一致收斂.綜上可得，和函數(shù)在上可微.習(xí)題11-51. 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,求下列冪級數(shù)的收斂半徑.(1) ; (2) ;(3) ,; (4) ;(5) ; (6) .2. 求下列冪級數(shù)的收斂域.(1) ; (2) ;(3) ; (4) . 解 (1) 因為 , 所以當(dāng)時，根據(jù)萊布尼茲判別法，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散. 收斂域 .(2)(3)比值(4) 因為， 所以.當(dāng) 時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散. 收斂域 .3. 證明性質(zhì)11.5.1,并據(jù)此求的和. 習(xí)題11-51. (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6).2. (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 3. .